從Bergman空間到Dirichlet空間的廣義Cesàro算子*

孟 一 梅

(杭州電子科技大學(xué) 理學(xué)院, 浙江 杭州 310018)

本文中，所有出現(xiàn)的p，q，α，β均滿足0-1。C表示與H(B)上函數(shù)無關(guān)的正常數(shù)，且不同的位置可以代表不同的數(shù)。文中“A≌B”表示存在正常數(shù)C使得C-1A≤B≤CA。

1 Tg的有界性和緊性

引理 2.1 設(shè)p≤q，g∈H(B)， 則

定理 2.1 設(shè)q

證明：(B)?(A) 是顯然的；

(A)?(C)的證明：

首先，當(dāng)f，g∈H(B)時，可直接計算得出：

R(Tgf)(z)=f(z)Rg(z)。

其中dμ(z)=|Rg(z)|q(1-|z|2)βdV(z)。

由文獻(xiàn)[4]中定理4可得：

(1)

因此，對任意?>0，存在δ>0使得：

(2)

2 Tg的本性模

定理 3.1 設(shè)g∈H(B)，則當(dāng)p≤q時，

(3)

(4)

證明：

則當(dāng)Q∈K時，由Tgfζj(0)=0可得：

由本性模的定義和上面的估計式，有

(5)

(6)

(7)

(8)

其中ck是給定的與n和k有關(guān)的常數(shù)。設(shè)0

(9)

(10)

由引理2.1可知Tgρ是緊的。從而由(8)、(9)和(10)式可得：

故由文獻(xiàn)[7](P15)中定理1.12得：

(11)

由(5) 、(6)和 (11)式即可得出估計式(3)。

(12)

(13)

由(12) 和 (13)可得估計式(5)。證畢。

3 結(jié) 語

本文在文獻(xiàn)[1-6]的基礎(chǔ)上進(jìn)一步探討了復(fù)合算子Tg的有界性和緊性，完善了文獻(xiàn)[6]的結(jié)論，并給出了Tg本性模的估計式，在多復(fù)變函數(shù)空間算子研究領(lǐng)域具有一定的理論價值和應(yīng)用前景。

參考文獻(xiàn)：

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