解析自行車的動力特性——自行車到底能跑多快

劉錫昌

(菏澤工業(yè)學(xué)校,山東 荷澤 274000)

自行車以輕便、環(huán)保、使用成本低等特點(diǎn)頗為世人青睞,現(xiàn)在自行車的種類和檔次都在逐步提高,變速自行車也是中學(xué)生的時(shí)尚,平時(shí)騎行者悠然于市街,或急馳于道路,那么自行車到底能跑多快？

雖然自行車是由兩個(gè)輪子、一副鏈輪安在一個(gè)穩(wěn)定支架上,結(jié)構(gòu)看似簡單,但它的動力學(xué)內(nèi)容很豐富,本文將利用物理學(xué)綜合知識予以解析.

1 自行車的受力特征

設(shè)騎行者質(zhì)量為m,人與車總質(zhì)量為M,前和后輪半徑為R,前后鏈輪半徑為r0和r,傳動比為(一般2.5～2.8),腳踏曲柄半徑為L,鏈條主動拉力和被動拉力分別為T1和T2;并且設(shè)前車輪、前鏈輪、后輪轉(zhuǎn)動慣量分別為I1、I0、I2,近似有

下面我們詳細(xì)分析自行車的運(yùn)動和受力特征.

自行車不同于其他動力車輛,它的動力就是人的踏動力,通過簡單的傳動關(guān)系,把依賴于自身重量的踏動力轉(zhuǎn)化為推動力,從而提高整體速度,這是一套完美的運(yùn)動結(jié)構(gòu).人憑自身重力mg或部分重量踏曲柄,對于前鏈輪產(chǎn)生一個(gè)主動力矩q1,前鏈輪對于自行車做定軸轉(zhuǎn)動,根據(jù)剛體轉(zhuǎn)動方程有

則

其中,β0是曲柄或前鏈輪的角加速度.通過鏈條傳動拉力T1和T2作用于后鏈輪,對于后鏈輪產(chǎn)生一個(gè)動力矩q2,那么后輪在q2作用下產(chǎn)生加速轉(zhuǎn)動,對后輪使用剛體轉(zhuǎn)動方程并且忽略鏈條的質(zhì)量等因素有動力矩q2作用于后輪,使后輪產(chǎn)生角加速度β,其中r0β0＝rβ(鏈條加速度),并且Rβ＝a(自行車純滾動時(shí)平動加速度).

(2)計(jì)算主動力矩q1.

為了便于問題討論,設(shè)人全力腳踏曲柄使自行車加速,由于曲柄在重力作用下做定軸轉(zhuǎn)動,踏動力產(chǎn)生主動力矩q1可以通過半圈功的積分計(jì)算得到其有效值,得q1＝2mgL/π.

(3)自行車平動及轉(zhuǎn)動力學(xué)特征.

①自行車后輪在動力矩q2驅(qū)動下,輪胎與地面接觸點(diǎn)有相對滑動趨勢,因而地面對車后輪接觸處產(chǎn)生向前的靜滑動摩擦力f2,該力是整車前進(jìn)的動力(牽引力).

本文考慮如下的二維定位場景(可直接擴(kuò)展至三維)：假設(shè)場景中有M個(gè)外輻射源和N個(gè)接收站，其位置分別已知為和目標(biāo)位置x=[x,y]T為待估參量.那么，目標(biāo)到外輻射源m的距離為

②f2除了是自行車平動的動力,還對后輪產(chǎn)生一個(gè)阻力矩f2R,對于后輪而言有

其中δ是滾動摩擦力矩.

③整車在f2作用下,前車輪是被動輪,因有向前的滑動趨勢,故受到地面向后的靜滑動摩擦力f1,該力產(chǎn)生的力矩使前輪產(chǎn)生轉(zhuǎn)動,即

④整車除了f1、f2作用之外,還受到向后的空氣阻力f3,它們的合力作用下產(chǎn)生平動加速度a,由牛頓定律有

2 自行車的動力學(xué)方程組

聯(lián)立以上得到的方程:

解方程組得到

我們假設(shè)m/M＝0.9(m取70kg,M取80kg),一般自行車κ≈2.6,R＝0.33m,L＝0.18m,有

上式說明自行車獲得的最大加速度是常數(shù)項(xiàng)1.17m/s2,(實(shí)際上,我們按a的綜合表達(dá)式可以得到一般的表示)當(dāng)a＝0時(shí)自行車獲得最大速度.f3是空氣阻力,按風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)給出的風(fēng)阻系數(shù)公式,可以得到空氣阻力f3≈γρAv2/2(其中,γ風(fēng)阻系數(shù),ρ空氣密度,A迎風(fēng)正面投影面積,v速度).

對于一般成人而言,A取0.4m2,γ取0.8(垂直平面體大約是1.0,球體大約是0.5);取20℃,1個(gè)標(biāo)準(zhǔn)大氣壓時(shí),ρ＝1.2kg/m3,f3≈0.19v2＝1.17M,得到v＝22m/s.

對于專業(yè)運(yùn)動員,γ可能更小些如0.6,A也更小些大約為0.3m2,κ更大些如4,那么v可以達(dá)到23m/s.

3 影響自行車獲得最大速度的因素

自行車獲得最大速度的一般表達(dá)式為

公式第1項(xiàng):人的重量和曲柄半徑積,屬于動力項(xiàng).第二項(xiàng):自行車的變速比與動力輪半徑積,屬于傳動項(xiàng).第三項(xiàng):空氣阻力、空氣密度、迎風(fēng)面積,屬于阻力項(xiàng).由此看來,決定自行車最大速度的關(guān)系十分明了,專業(yè)運(yùn)動員身體前傾、穿緊身衣都是為了減小A;減小傳動比似乎可行,但是人的生理決定了腳的蹬踏頻率有限,例如人類百米極限大約每秒4.5步,所以這一項(xiàng)還是大一點(diǎn)好一些;增大人的重量比較有效,但是質(zhì)量大必然會增大A.另外,最大速度與自行車的質(zhì)量沒有關(guān)系.

若按百米極限大概每秒4.5步來計(jì)算專業(yè)自行車運(yùn)動員的運(yùn)動速度.

v′＝4.5κπR＝4.5×4×3.14×0.35m/s＝19.8m/s＝71km/h.

據(jù)資料記載:環(huán)法自行車選手在平路賽段時(shí)可以達(dá)到67km/h(18.6m/s),而奧運(yùn)會場地自行車速度賽可以達(dá)到20m/s,這個(gè)結(jié)果與理論計(jì)算有一定的出入.由于物理學(xué)的計(jì)算通常都是建立在抽象模型之上,例如蹬踏頻率較高時(shí)重力產(chǎn)生的有效力矩減小了等,實(shí)際的結(jié)果與理論有出入也是可以理解的.

通過以上對自行車的動力學(xué)特性分析可以看出,不論普通人還是專業(yè)運(yùn)動員都可以借助自行車達(dá)到較高的運(yùn)動速度23m/s(82.8km/h).影響自行車達(dá)到最大速度的因素有以下很多:如空氣密度、氣壓、身體姿勢、傳動比、身體質(zhì)量等,當(dāng)然還有人的其他因素如體能和生理?xiàng)l件,自行車的品質(zhì)以及路面狀況和風(fēng)速度等并沒有考慮其中,實(shí)際所能達(dá)到的最大速度與理論計(jì)算會有一定的差別.自行車結(jié)構(gòu)雖然簡單,但它所蘊(yùn)含的物理學(xué)知識還是相當(dāng)豐富的.