“用方程解決問題”起始教學的策略和細節(jié)處理

用方程解決問題的學習主要包括兩個步驟：一是列方程，就是針對某些問題，從分析數(shù)量間的相等關(guān)系入手，通過設(shè)元建立方程；二是解方程，就是運用等式的性質(zhì)，使問題得到解決。用方程解決問題與之前學生熟知的算術(shù)方法解決問題，在思維方式上有很大區(qū)別。對于作為初學者的學生來講，筆者認為，我們首先要規(guī)范“用方程解決問題”的基本思路；其次要讓學生體會到“用方程解決問題”的優(yōu)越性；最后，要求學生嚴格按等式性質(zhì)作為依據(jù)解方程。從而使學生在起始教學階段，就能深刻地體會到用方程解決逆向思維問題的優(yōu)越性，并形成正確的“用方程解決問題”的基本思路。

一、滲透建模思想，規(guī)范“用方程解決問題”的基本思路

小學生（五年級）在初次接觸一個實際問題到最終建立方程（即建模）的過程中，一般要經(jīng)過如下幾個環(huán)節(jié)：（1）用自己的語言或思維描述數(shù)學問題；（2）抽象成用數(shù)學語言或思維表達數(shù)學問題；（3）用數(shù)學符號（代數(shù)思想）建立方程（建模）。

我們解決上述“稍復(fù)雜的方程”教學時安排了這樣幾項學習活動。

1.審清題目

審題、找關(guān)鍵詞句都很容易，學生很快就找出了“白色皮比黑色皮的2倍少4塊”。但是，題目審?fù)曛笫欠窬驼嬲斫忸}意了呢？找到關(guān)鍵詞句后又是否能從中找出數(shù)量間的相等關(guān)系呢？學生能不能把題目中抽象的數(shù)學語言化為自身的具體的自然語言呢？

帶著這些思考，我們在教學時組織學生根據(jù)題目意思自己來設(shè)計語言表述。學生中一時產(chǎn)生了諸多不同表述。如：黑色皮的2倍少4塊是白色皮；白色皮加4塊等于黑色皮的2倍；黑色皮的2倍減去4塊等于白色皮；黑色皮的2倍減去白色皮等于4塊……

對于這些不同表述，我們選擇了畫線段圖，并從中讓學生體會、感悟和發(fā)現(xiàn)：不同的表述方式描述同一件事，都可以形成一個等式。

找數(shù)量關(guān)系是根據(jù)題意列方程的關(guān)鍵。有些數(shù)學問題數(shù)量關(guān)系復(fù)雜，學生一時不易找出隱含的數(shù)量關(guān)系，以至列不出方程。因此找題中的數(shù)量關(guān)系應(yīng)在教學中引起高度重視。訓練找數(shù)量關(guān)系，可以從數(shù)量關(guān)系比較明顯的問題開始，再過渡到數(shù)量關(guān)系較復(fù)雜的問題。可以組織學生找數(shù)量關(guān)系的專項練習，例如：

今年比去年長高了8厘米。

第一根比第二根短3米。

蘋果樹是梨樹的2倍。

把這些關(guān)鍵語句翻譯成等式。比如出示“今年比去年長高了8厘米”，學生翻譯成：今年-去年=8厘米，去年+8厘米=今年，今年-8厘米=去年?！?/p>

通過基本訓練，使學生熟練掌握找出題目中數(shù)量關(guān)系式的技能。

2.畫線段圖

要讓學生充分參與“線段圖”的形成過程，采用師生合作學習為主的策略。直觀的線段圖可以幫助學生進行思維，通過線段圖解決問題。結(jié)合學生討論，教師逐步呈現(xiàn)一幅“半成品”——用一條線段表示黑色皮的塊數(shù)（如圖1），然后提示學生根據(jù)線段圖上的內(nèi)容（問題、描述性的話、線段）找出表示黑色皮和白色皮之間相等關(guān)系的句子，讓學生充分理解，討論并畫出白色皮的線段圖（如圖2），再根據(jù)圖或文字找出數(shù)量關(guān)系等式。

線段圖能使抽象的數(shù)量關(guān)系具體化，使隱含的數(shù)量關(guān)系明朗化。對于較復(fù)雜的題目，可借助線段圖找數(shù)量關(guān)系。如：“有兩袋大米，甲袋大米的重量是乙袋大米的1.2倍。如果再往乙袋里裝5千克大米，兩袋就一樣重了。原來兩袋大米各有多少千克？”根據(jù)題意，可以畫出下面的線段圖。

從圖中很容易得出：甲袋重量-乙袋重量=5千克。

3.列出方程

這時我們可以放手讓學生自己嘗試著去完成，有的學生列出了2x-20=4的方程，有的學生則列出了2x-4=20的方程，還有的學生列出了20+4=2x的方程式。學生列好方程后，引導(dǎo)學生討論列方程式中每一步的含義，并得出“因為方程式左右兩邊數(shù)量關(guān)系相等，所以這個方程正確”，進而突出“方程主要是說明兩事物等價”的本質(zhì)特征。

列方程的實質(zhì)是把題中的“生活語言”轉(zhuǎn)化為“代數(shù)語言”，即把文字數(shù)量關(guān)系式用已知數(shù)與未知數(shù)代入得到方程。教學時，要鼓勵學生根據(jù)不同的數(shù)量關(guān)系式列出不同的方程，然后加以比較，找出比較好的解法，以提高學生靈活運用方程解決實際問題的能力。

小學中的實際問題并不復(fù)雜，一般直接設(shè)未知數(shù)，即求什么設(shè)什么。有時也需間接設(shè)未知數(shù)，即設(shè)與要求的問題緊密相關(guān)的中間問題為x。設(shè)好未知數(shù)后，有時要根據(jù)數(shù)量關(guān)系寫出某些代數(shù)式，這也是列方程中的重要一環(huán)，值得注意的是：根據(jù)某一數(shù)量關(guān)系建立起代數(shù)式，就不能再根據(jù)這一數(shù)量關(guān)系列方程，否則會出現(xiàn)恒等式，而不是我們要求的方程。

4.解方程

在解方程之前，因為出現(xiàn)了三個方程：2x-20=4，2x-4=20，20+4=2x，我們先組織學生討論自己的解題思路，試著讓學生上臺板演。通過比較分析，學生發(fā)現(xiàn)前兩個方程解題思路相似，第3個方程在完成左邊計算之后要利用等式兩邊相等的關(guān)系進行交換。最后再請3個學生對3個方程分別進行驗算。

小學生開始只會解含有一個未知數(shù)的方程，慢慢地會解兩問，也就是兩個未知數(shù)。例如：崗上果園有梨樹和棗樹共190棵，棗樹是梨樹的4倍。梨樹和棗樹各有多少棵？分析：這道題有兩個未知數(shù)?？梢韵仍O(shè)其中一個未知數(shù)為x，根據(jù)題意列方程解答，然后再求出另一個未知數(shù)。

這道題啟發(fā)我們：用一個未知數(shù)表示另一個未知數(shù)是有效的辦法，也是用方程解這類題的總思想。在總思想下具體分三步走：

（1）首先從條件中找到兩個等量關(guān)系。

（2）選其中一個等量關(guān)系用來實現(xiàn)一個未知數(shù)表示另外一個未知數(shù)。

（3）用另一個等量關(guān)系列方程。

在三步走的思考下有了下面的四個方程：

A.設(shè)梨樹為x棵，那么棗樹是（190-x）棵 190-x=4x

B.設(shè)棗樹為x棵，那么梨樹為（190-x）棵 x=（190-x）×4

C.設(shè)梨樹為x棵，那么棗樹為4x棵 x+4x=190

D.設(shè)棗樹為x棵，那么梨樹為（x÷4）棵 x+（x÷4）=190

C方程最好，因為在C方程中沒有減法也沒有除法，計算最簡便。能加能減，寧加不減；能乘能除，寧乘不除。解法C既沒有減法也沒有除法，是最好的解法。

二、自主解決問題，體會“用方程解決問題”的優(yōu)越性

方程解決問題的優(yōu)勢在于降低思維難度。如果我們呈現(xiàn)的問題并不能讓學生有這樣的體驗甚至讓學生感到更困難，那我們便是在故意刁難，從而降低學生學習的積極性，更失去了方程教學的意義和價值。

在實際教學中，我們首先通過選擇典型例題分別用算術(shù)法和方程法進行分析解答，體會這兩種表達方式的不同，表現(xiàn)形式不同，解題思路也不同。讓學生體會方程解法更有一定的優(yōu)勢，對他們進行方程思想的滲透。

下面以教材第76頁第8題的教學為例，請學生分別用算術(shù)法與方程法分別解決這一問題，并反饋總結(jié)得到以下思路：

上題解法一中算式的得出是從要求的數(shù)值反推回去，是逆向思維，它要求確定倍數(shù)，找出倍數(shù)相對應(yīng)的量，然后相除得出倍數(shù)的值，這樣難于思考。而解法二是把未知數(shù)當作已知條件，根據(jù)條件的描述找出等量關(guān)系，是由果索因的分析法，是正向思維，便于思考，易于列出關(guān)系式，體現(xiàn)出代數(shù)方程解法的優(yōu)越性。

我們在教學列方程解決問題以后，有些問題嘗試讓學生分別用算術(shù)方法和方程方法來解，學生在用算術(shù)法時會遇到困難，這時就可以體現(xiàn)方程的優(yōu)勢。如，通過比較利用梯形面積公式列方程求高和直接列算式求高，就能讓學生體驗到算術(shù)方法需要逆向思維，每一步都要進行具體分析并給出合理的解釋，難度大且易錯，而一旦將未知量用字母表示并和已知數(shù)一起參加運算，就很容易建立方程，逆向思維的過程被解方程的程式化演算所替代。

學生經(jīng)過一段時間的訓練，慢慢克服了算術(shù)解法的思維定式的影響，促使學生迅速適應(yīng)方程的解法。通過比較逐步分清兩種解法的思路有什么不同，并能根據(jù)題目不同特點，靈活選擇解法。一般來說，順向思維的題宜用算術(shù)解法；逆向思維的題宜用方程解法。

當然，要讓學生領(lǐng)會方程的優(yōu)越性，不能就題論題，而應(yīng)當從方程的視角抓住傳統(tǒng)中眾多類型應(yīng)用題的本質(zhì)，以實質(zhì)上具有同類數(shù)量關(guān)系的問題為主線，突出相應(yīng)的解法要點，達到觸類旁通，體驗方程思想和價值的目的。如用算術(shù)方法解題時學生比較畏懼的“黃豆榨油”問題及作為奧數(shù)內(nèi)容的“雞兔同籠”等問題，通過列方程（比例式）方便地解決更能讓學生體會到方程的必要性和優(yōu)越性，從而對方程思想達到更深層次的認識。當然，這種深層次的認識并非單元教學需要達成的目標，而是應(yīng)當作為長期目標有意識地滲透在平時的教學實踐中，畢竟方程思想的建立是一個長期的不斷深化的過程。

三、發(fā)揮首映效應(yīng)，突出“等式的基本性質(zhì)”作為解方程的依據(jù)

為了統(tǒng)一解方程的思路，發(fā)揮先入為主的作用，在解方程之初就引導(dǎo)學生用等式的基本性質(zhì)作為解方程的依據(jù)，直接避免四則運算的解題思路。

例如：在教學課本第58頁例1時，我們做了如下設(shè)計。

師出示場景圖：

師：你能根據(jù)圖列出方程嗎？（板書：x+3=9）

師出示天平圖：

師：仔細觀察這兩個圖，能說說這兩個圖之間的聯(lián)系嗎？

生：天平左邊的x表示的是大盒子，三塊小正方體表示的是三個球，右邊的9個小正方體表示的是上面總共為9個。

師：怎么樣解這個方程呢？你有什么辦法？把你的辦法先和小組里的同學交流。

學生交流后，教師用課件將天平圖做如下動態(tài)演示，并板書解方程的過程。

教學過程中，從圖例到天平，讓學生在求解的過程中進行數(shù)學模型的變換，進一步體會“相等關(guān)系”?！疤炱健钡某霈F(xiàn)為處理方程提供了一個強有力的智力圖像，用天平平衡的道理，直觀地幫助學生深化對“相等關(guān)系”的理解，幫助學生建立如下規(guī)則：在等式的兩邊進行相同運算的同時，平衡也得到了維持。同時，用天平的動態(tài)演示，引出解方程的步驟，可以直接避免學生出現(xiàn)不同的解題思路。

總之，用方程解決問題，是解決較復(fù)雜問題的重要手段。在小學，人教版五年級開始學習解方程，之后到六年級的分數(shù)除法和正反比例應(yīng)用題時，又根據(jù)需要學習用方程解決問題。實踐證明：方程是學生未來學習的主要方向。在小學數(shù)學五年級“用方程解決問題”起始教學中做好一些準備，就能為日后初中學習一元一次方程做好鋪墊，實現(xiàn)小學到初中的自然過渡。

（作者單位 俞立剛：浙江省杭州市蕭山區(qū)樓塔中心小學 邵漢民：浙江省杭州市蕭山區(qū)教研室）