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      淺析孤子求解的微擾理論

      2012-04-29 00:00:00陳澤章
      網(wǎng)友世界 2012年8期

      【摘 要】實(shí)際問題中孤子方程通常并不以標(biāo)準(zhǔn)形式出現(xiàn),而是含有阻尼項(xiàng)、增益項(xiàng)、三階色散項(xiàng)等一些較小的附加項(xiàng),將這些附加項(xiàng)當(dāng)作微擾來處理進(jìn)而求解各種非線性偏微分方程,發(fā)展出了多種孤子微擾理論。本文結(jié)合KdV方程詳細(xì)介紹了兩種應(yīng)用范圍最廣的基于逆散射變換(IST)的微擾理論和基于線性編微分方程理論的直接微擾理論。

      【關(guān)鍵詞】孤子;微擾;逆散射變換;非線性偏微分方程

      1895年,兩位荷蘭科學(xué)家科學(xué)家Kortweg與de Vries用一波動(dòng)方程對(duì)孤立波現(xiàn)象進(jìn)行完整的理論分析后,在長波近似和小振幅的假定下,建立了單向運(yùn)動(dòng)淺水波的非線性淺水波方程,即著名的KdV方程[1]:

      (1)

      孤立子理論的基礎(chǔ)便是求解各種非線性偏微分方程。精確孤子解大多存在于由標(biāo)準(zhǔn)方程所描述的理想系統(tǒng)中。而實(shí)際問題中,孤子方程通常不是以標(biāo)準(zhǔn)形式出現(xiàn)的,它一般還含有阻尼項(xiàng)、增益項(xiàng)、三階色散項(xiàng)等一些較小的附加項(xiàng),這時(shí)我們就可以將這些附加項(xiàng)當(dāng)作微擾來處理。孤子微擾論是孤子理論中最有實(shí)用價(jià)值的內(nèi)容之一。至今已發(fā)展出了多種孤子微擾理論,如:基于逆散射變換(IST)的微擾理論,基于線性編微分方程理論的直接微擾理論,哈密頓微擾理論,線性微擾理論,拉格朗日微擾理論,修正守恒律微擾理論,奇點(diǎn)微擾理論等,其中,IST微擾理論和直接微擾理論是兩種應(yīng)用范圍最廣、處理問題能力最強(qiáng)、系統(tǒng)性最完善的孤子微擾理論。接下來我們便以KdV方程(1)為例,簡單介紹這兩種主要的孤子微擾理論。

      1.基于逆散射變換(IST)的微擾理論

      逆散射變換(inverse sacttering transformation)方法被廣泛用來求解各類非線性系統(tǒng)的問題[2]。其主要思路如下:首先對(duì)某個(gè)非線性偏微分方程引入一對(duì)相容的線性方程(又稱Lax方程)

      (2)

      (3)

      其中方程(2)是的本征值方程,和分別是的本征值和本征函數(shù)。如果獨(dú)立于時(shí)間,相應(yīng)的一對(duì)線性算子和(Lax對(duì))滿足的相容條件為

      (4)

      然后求解與Lax方程(2)和(3)相對(duì)應(yīng)的逆散射問題,得到含有散射數(shù)據(jù)的逆散射方程。在無反射條件下,由方程的約斯特(Jost)解獲得孤子解。對(duì)于KdV方程(1),Lax對(duì)被選為:

      (5)

      (6)

      不同的非線性方程有不同的Lax對(duì),它們滿足的相容性條件是相應(yīng)非線性方程的等價(jià)形式。這種方法在數(shù)學(xué)上具有很高的嚴(yán)性謹(jǐn),將它用于許多非線性方程,都可得到單孤子、雙孤子和多孤子解,是較經(jīng)典的孤子理論之一。

      當(dāng)不考慮微擾時(shí),假設(shè)非線性方程具有Lax對(duì)和,當(dāng)給這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程一個(gè)微擾項(xiàng)時(shí),則受微擾的方程Lax對(duì)不再滿足方程的相容條件(4),而應(yīng)滿足:

      (7)

      這便是用Lax形式表示的孤子的微擾方程。

      當(dāng)存在微擾時(shí),算子仍滿足(2)式,不過不同于與前面標(biāo)準(zhǔn)方程是,式(2)中的不再獨(dú)立于時(shí)間,并且本征函數(shù)也不再滿足第二個(gè)Lax方程(3)。由于只保留了第一個(gè)Lax方程,此時(shí)引入的Jost解的解析性和漸近行為都與未受微擾時(shí)的系統(tǒng)的—致,逆散射方程也會(huì)保留相同的形式,只是散射數(shù)據(jù)隨時(shí)間的演化不能再利用方程(3)來得到,需要另行設(shè)法求出。

      由于放棄了第二個(gè)Lax方程(3)(因?yàn)槠湟巡怀闪?,則必須用其它方程替代,來求出散射數(shù)據(jù)隨時(shí)間的演化.將方程(2)對(duì)時(shí)間進(jìn)行偏微商,

      對(duì)應(yīng)于分立譜有:

      (8)

      對(duì)應(yīng)于連續(xù)譜有:

      (9)

      上述兩個(gè)方程為非齊次偏微分方程,我們可以先求解其對(duì)應(yīng)的齊次方程,然后利用參數(shù)變易法求解,可導(dǎo)出離散譜,反射系數(shù),正歸化系數(shù)隨時(shí)間的演化關(guān)系.將所定出的散射數(shù)據(jù)隨時(shí)間的演化關(guān)系代回到逆散射方程中就可定解,此解將滿足含微擾項(xiàng)的非線性方程。我們可以看出,整個(gè)理論的核心就在于怎樣確定散射數(shù)據(jù)隨時(shí)間的演化。這種方法在處理孤子微擾問題的能力方面是很強(qiáng)大的,能成功的處理很多孤子微擾問題。如KdV、SG和NLS等非線性方程的孤子微擾問題。然而,這種方法思路迂回曲折。這一理論完全是建立在逆散射變換基礎(chǔ)上的,它要求描述未受微擾影響系統(tǒng)的非線性方程能夠用逆散射法精確求解。而一般情況下,Lax對(duì)算子較難求得,這就使得此理論的應(yīng)用有很大局限性。因而只適用于可積系統(tǒng).同時(shí),對(duì)于那些不懂得或是不熟悉逆散射變換法的人來說想運(yùn)用此理論具有很大難度。

      2.直接孤子微擾理論

      為了更有效和更廣泛地研究非線性系統(tǒng)的孤子問題,J.R.Yan和Y.Tang發(fā)展了一套基于分離變量法的直接孤子微擾理論。這一理論最顯著的特點(diǎn)是它完全不依賴于逆散射變換理論,思路清晰簡潔,易于理解和操作。其次,這一微擾理論對(duì)沒有微擾時(shí)的非線性方程,沒有可積性要求,因此它既適用于可積系統(tǒng),又適用于非可積系統(tǒng),具有較大的普適性和實(shí)用性[3]。已成功處理了十余種不同孤子的微擾問題,這一孤子微擾理論主要思路為:

      2.1 含微擾項(xiàng)孤子方程的線性化

      引入時(shí)間多重尺度:

      ,

      同時(shí)對(duì)孤子解作微擾漸近展開:

      代入含微擾項(xiàng)的非線性方程中,得到關(guān)于孤子零級(jí)、一級(jí)等各級(jí)解的近似方程。其中零級(jí)解的方程正是標(biāo)準(zhǔn)的非線性方程的孤子精確解,只是所得孤子解的孤子參數(shù)會(huì)因?yàn)槲_的影響,而隨時(shí)間發(fā)生緩慢變化。其余各級(jí)修正方程,則變?yōu)榱司€性化的非齊次偏微分方程。在一般情況下,各級(jí)線性方程是可以分離變量(或近似分離變量)的,它們包含一個(gè)共同的不含時(shí)的線性微分算子。這個(gè)線性化的步驟,將求解含微擾的非線性方程的問題轉(zhuǎn)變?yōu)榍蠼飧骷?jí)非齊次線性偏微分方程的問題。

      2.2 線性微分算子和共軛算子的本征值問題

      為求解各級(jí)非齊次線性偏微分方程,首先要解出相應(yīng)的各級(jí)齊次線性偏微分方程。此部分關(guān)鍵是求解各級(jí)方程中所含線性微分算子和共軛算子的本征函數(shù),并用它們來構(gòu)造正交完備的微擾展開基。求本征值問題是孤子微擾理論的一個(gè)難點(diǎn),Yah的理論主要?jiǎng)?chuàng)新之一就是給出一種遞推的方法可以有效地求得和的本征函數(shù),并利用復(fù)變函數(shù)論中留數(shù)定理嚴(yán)格的直接證明本征函數(shù)系的正交性和完備性。

      2.3 各級(jí)非齊次線性偏微分方程的求解

      根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)的分離變量的方法,將各級(jí)修正解和對(duì)應(yīng)的等效源按的完備基展開后,代入各級(jí)非齊次線性偏微分方程,就得到各級(jí)修正解的展開系數(shù)滿足的常微分方程,利用初始條件解得展開系數(shù)即可。由于不含時(shí)間,微擾展開基也獨(dú)立于時(shí)間,因此數(shù)學(xué)計(jì)算比前兩種方法都要簡單。理論上,用這種方法可計(jì)算各級(jí)修正解。

      2.4 獲得孤子參數(shù)的演化方程

      與無微擾的標(biāo)準(zhǔn)非線性方程精確孤子解不同的是,零級(jí)(絕熱)解的參數(shù)會(huì)隨時(shí)間便變量演化。另一方面,各級(jí)修正展開式中的分離譜項(xiàng)通常是發(fā)散的(又稱“久期”項(xiàng)),消除這些“久期”行為就可得到孤子參數(shù)的演化方程。

      在上述方法的基礎(chǔ)上,直接微擾理論又有了一些發(fā)展,如基于Fourier變換法的,基于Laplace變換法的和基于Green函數(shù)的直接法。

      參考文獻(xiàn):

      [1]王明亮.非線性發(fā)展方程和孤立子[M].蘭州:蘭州大學(xué)出版社,1982.

      [2]俞慧友.孤子理論及其在玻色愛因斯坦凝聚中的應(yīng)用[D].長沙:湖南師范大學(xué),2009.

      [3]李彪.孤立子理論中若干精確求解方法的研究及應(yīng)用[D].大連:大連理工大學(xué),2004.

      作者簡介:陳澤章(1982—),男,河南新鄉(xiāng)人,新鄉(xiāng)學(xué)院物理系教師,研究方向:理論物理。

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