隨機信號功率譜估計

1引言

功率譜估計（PSD）是利用給定的一組樣本數(shù)據(jù)估計一個平穩(wěn)隨機信號的功率譜密度，它能給出被分析對象的能量隨頻率分布的情況。在雷達信號處理中可以根據(jù)回波信號的功率譜密度、譜峰的寬度、高度和位置可以確定運動目標(biāo)的位置、輻射強度和運動速度。功率譜估計是數(shù)字信號處理的重要研究內(nèi)容之一。功率譜估計可以分為經(jīng)典譜估計（非參數(shù)估計）和現(xiàn)代譜估計（參數(shù)估計）。經(jīng)典的功率譜估計有2種：一種是直接法；另一種是間接法。直接法就是先計算N個數(shù)據(jù)的傅里葉變換，然后取頻域和其共軛的乘積得到功率譜；間接法則是先計算N個樣本數(shù)據(jù)的估計自相關(guān)函數(shù)，然后再計算自相關(guān)數(shù)據(jù)的傅里葉變換得到功率譜。間接法的主要方法有最大熵譜分析法（AR模型法）、Pisarenko諧波分解法、Prony提取極點法、Prony譜線分解法以及Capon最大似然法。其中周期圖法和最大熵譜分析法是信號處理中最具代表性的方法。

2周期圖法

2.1周期圖譜估計

周期圖法是直接將信號的采樣數(shù)據(jù)x（n）進行Fourier變換求取功率譜密度估計的方法。它的特點是：先取信號序列的離散傅里葉變換，然后取其幅頻特性的平方并除以序列長度，由于序列的離散傅里葉變換具有周期性，因而這種功率譜也具有周期性。

假定有限長隨機信號序列為x（n）。它的Fourier變（2）

其中，F(xiàn)FT[x（n）]為對序列x（n）的Fourier變換，由于FFT[x（n）]的周期為N，求得的功率譜估計以N為周期，因此這種方法稱為周期圖法。

2.2周期圖法的性質(zhì)差的分析，以此來說明周期圖法來作為功率譜估計的不可靠性。

在信號處理中通常用偏差和方差這兩種基本的統(tǒng)計量來度量估計子的性能，設(shè)a為一個帶估計量的變量，a贊是它的一個估計。估計的均方差（MSE）為

下面是對一隨機信號分別取長度為256和1024的功率譜估計：

從圖1中可以看出，采用周期圖法估計得到的功率譜很不平滑，也就是估計的協(xié)方差比較大，而且采用增加采樣點的方法也不能使周期圖變得更加平滑，這是周期圖法的缺點。

周期圖法的優(yōu)點是能應(yīng)用離散傅里葉變換的快速算法來進行估值。用有限長樣本序列的Fourier變換來表示隨機序列的功率譜，只是一種估計或近似，不可避免存在誤差。為了減少誤差，使功率譜估計更加平滑，可采用分段平均周期圖法（Bartlett法）、加窗平均周期圖法（Welch法）等方法加以改進。

3AR模型法

現(xiàn)代信號功率譜估計為了克服經(jīng)典功率譜估計分辨率不高，不適合短序列的處理的缺點而提出來的。它不像經(jīng)典功率譜估計那樣隱含著對數(shù)據(jù)加窗處理，而是認為一個廣義平穩(wěn)的信號可以分解為一個確定信號和不確定的信號之和，這個不確定的信號可以看成是一個均值為零，方差為滓2白色噪聲激勵一個物理線性系統(tǒng)生成的，這是現(xiàn)代譜估計的理論模型，稱之為ARMA模型。它的傳遞函數(shù)可以表示為：（9）

（9）式稱為Yule-Walk方程?，F(xiàn)代譜估計的各種算法都是為了求這個理論模型的參數(shù)。最大熵譜分析法是比較有代表性的方法之一，它把信息熵的概念引入到信號處理中，又是稱為時序譜分析法。它以數(shù)據(jù)的自相關(guān)序列rxx（0），rxx（1），rxx（p）為基礎(chǔ)，外推自相關(guān)序列rxx（p+1），rxx（p+2），…保證信息熵最大。就有可能克服經(jīng)典譜估計的缺點。

下面是對圖1中的隨機信號用最大熵譜法的功率譜估計。

由圖2可見，最大熵譜法估計的功率譜曲線很平滑。這一方法選定的是全極點的模型（即AR模型），用該模型進行功率譜估計需通過levinson_durbin遞推算法由正則方程求得AR的參數(shù)a1，a2，…ap及滓2棕。在該方法中選用的全極點濾波器的階數(shù)取得越大，能夠獲得的窗口外的信息越多，但計算量也越大，需要根據(jù)情況折中考慮。

4總結(jié)

通過以上的分析和仿真可以看出以下特性:經(jīng)典功率譜估計的譜分辨率差，方差比較大，分辨率反比于有效信號的長度。所以不能僅僅依靠增加采樣點才提高分辨率?，F(xiàn)代譜估計的模型是假定隨機平穩(wěn)過程是通過白噪聲激勵一線性時不變系統(tǒng)產(chǎn)生的隱含著數(shù)據(jù)和自相關(guān)函數(shù)的外推，不像經(jīng)典譜估計那樣把給定的采樣點以外的數(shù)據(jù)看成零，因而現(xiàn)代譜的分辨率較高，而且估計出的譜線十分平滑，這些從圖1和圖2對比可以清楚地看出。