如何在數(shù)學(xué)教育中發(fā)現(xiàn)并欣賞美

黃成剛

眾所周知，數(shù)學(xué)在我們的基礎(chǔ)教育中占有很大的份量，是我們的文化中極為重要的組成部分。她不但有智育的功能，也有其美育的功能。數(shù)學(xué)美深深地感染著人們的心靈，激起人們對(duì)她的欣賞。下面從幾個(gè)方面來(lái)欣賞數(shù)學(xué)美。

一、簡(jiǎn)潔美

愛(ài)因期坦說(shuō)過(guò)：“美，本質(zhì)上終究是簡(jiǎn)單性?！彼€認(rèn)為，只有借助數(shù)學(xué)，才能達(dá)到簡(jiǎn)單性的美學(xué)準(zhǔn)則。物理學(xué)家愛(ài)因期坦的這種美學(xué)理論，在數(shù)學(xué)界，也被多數(shù)人所認(rèn)同。樸素，簡(jiǎn)單，是其外在形式。只有既樸實(shí)清秀，又底蘊(yùn)深厚，才稱(chēng)得上至美。

歐拉給出的公式：V－Ｅ＋Ｆ＝２，堪稱(chēng)“簡(jiǎn)單美”的典范。世間的多面體有多少？沒(méi)有人能說(shuō)清楚。但它們的頂點(diǎn)數(shù)Ｖ、棱數(shù)Ｅ、面數(shù)Ｆ，都必須服從歐拉給出的公式，一個(gè)如此簡(jiǎn)單的公式，概括了無(wú)數(shù)種多面體的共同特性，能不令人驚嘆不已？由她還可派生出許多同樣美妙的東西。如：平面圖的點(diǎn)數(shù)Ｖ、邊數(shù)Ｅ、區(qū)域數(shù)Ｆ滿足V－Ｅ＋Ｆ＝２，這個(gè)公式成了近代數(shù)學(xué)兩個(gè)重要分支——拓?fù)鋵W(xué)與圖論的基本公式。由這個(gè)公式可以得到許多深刻的結(jié)論，對(duì)拓?fù)鋵W(xué)與圖論的發(fā)展起了很大的作用。

在數(shù)學(xué)中，像歐拉公式這樣形式簡(jiǎn)潔、內(nèi)容深刻、作用很大的定理還有許多。比如：

圓的周長(zhǎng)公式：C=2πR

勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊平方。

平均不等式：對(duì)任何正數(shù)

數(shù)學(xué)的這種簡(jiǎn)潔美，用幾個(gè)定理是不足以說(shuō)清的，數(shù)學(xué)歷史中每一次進(jìn)步都使已有的定理更簡(jiǎn)潔。正如偉大的希而伯特曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)學(xué)中每一步真正的進(jìn)展都與更有力的工具和更簡(jiǎn)單的方法的發(fā)現(xiàn)密切聯(lián)系著”。

二、對(duì)稱(chēng)美

在古代“對(duì)稱(chēng)”一詞的含義是“和諧”、“美觀”。事實(shí)上，譯自希臘語(yǔ)的這個(gè)詞，原義是“在一些物品的布置時(shí)出現(xiàn)的般配與和諧”。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派認(rèn)為，一切空間圖形中，最美的是球形；一切平面圖形中，最美的是圓形。圓是中心對(duì)稱(chēng)圓形——圓心是它的對(duì)稱(chēng)中心，圓也是軸對(duì)稱(chēng)圖形—— 任何一條直徑都是它的對(duì)稱(chēng)軸。

梯形的面積公式：Ｓ＝ ，

其中ａ是上底邊長(zhǎng)，ｂ是下底邊長(zhǎng)，其中ａ-１是首項(xiàng)，ａｎ是第ｎ項(xiàng)，這兩個(gè)等式中，ａ與ａ１是對(duì)稱(chēng)的，ｂ與ａｎ是對(duì)稱(chēng)的。

h與n是對(duì)稱(chēng)的。

對(duì)稱(chēng)不僅美，而且有用。

電磁波的波動(dòng)方程：

其中，Ｂ為磁場(chǎng)強(qiáng)度，Ｅ為電場(chǎng)強(qiáng)度，Ｃ為光速。這個(gè)方程中Ｂ與Ｅ是對(duì)稱(chēng)的，麥克斯韋用純數(shù)學(xué)的方法從這些方程中推導(dǎo)出可能存在的電磁波，這種電磁波后來(lái)被赫芝發(fā)現(xiàn)，由此可得電場(chǎng)與磁場(chǎng)的統(tǒng)一性。

對(duì)稱(chēng)美的形式很多，對(duì)稱(chēng)的這種美也不只是數(shù)學(xué)家獨(dú)自欣賞的，人們對(duì)于對(duì)稱(chēng)美的追求是自然的、樸素的。如格點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，十四世紀(jì)在西班牙的格拉那達(dá)的阿爾漢姆拉宮，存在所有的格點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，而１９２４年才證明出格點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的種類(lèi)。此外，還有格度對(duì)稱(chēng)，如我們喜愛(ài)的對(duì)數(shù)螺線、雪花，知道它的一部分，就可以知道它的全部。李政道、楊振寧也正是由對(duì)稱(chēng)的研究而發(fā)現(xiàn)了宇稱(chēng)不守恒定律。從中我們體會(huì)到了對(duì)稱(chēng)的美與成功。

三、創(chuàng)新美

歐幾里得幾何曾經(jīng)是完美的經(jīng)典幾何學(xué)，其中的公理5：“過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行”和結(jié)論“三角形內(nèi)角和等于二直角”，這些似乎是天經(jīng)地義的絕對(duì)真理。但羅馬切夫斯基卻采用了不同公理5的結(jié)論：“過(guò)直線外一點(diǎn)至少有兩條直線與已知直線平行”，在這種幾何里，“三角形內(nèi)角和小于二直角”，從而創(chuàng)造了羅氏幾何。黎曼幾何學(xué)沒(méi)有平行線。這些與傳統(tǒng)觀念相違背的理論，并不是虛無(wú)飄渺的，當(dāng)我們進(jìn)行遙遠(yuǎn)的天文測(cè)量時(shí)，用羅氏幾何學(xué)是很方便的，原子物理、狹義相對(duì)論中也有應(yīng)用；而愛(ài)因斯坦建立的廣義相對(duì)論中，較多地利用了黎曼幾何這個(gè)工具，才克服了所遇到的數(shù)學(xué)計(jì)算上的困難。每一個(gè)理論都在需要不斷創(chuàng)新，每一個(gè)奇思妙想、每一個(gè)似乎不合理又不可思議的念頭都可能開(kāi)辟新的天地。這種開(kāi)闊了我們的視野、開(kāi)闊了我們心胸、給我們完全不同感受的難到不是切入肌膚的美嗎？如果我們?cè)俅竽懺O(shè)想一下，是不是還存在一個(gè)能包容歐氏幾何和非歐幾何的更廣泛的幾何學(xué)呢？事實(shí)上，通過(guò)高斯曲率可以將三種幾何統(tǒng)一在曲面的內(nèi)在幾何學(xué)中，還可以通過(guò)克萊因幾何學(xué)與變換群的觀點(diǎn)將三種幾何統(tǒng)一起來(lái)。在不斷創(chuàng)新的過(guò)程中，數(shù)學(xué)得到了發(fā)展。

四、統(tǒng)一美

數(shù)的概念從自然數(shù)、分?jǐn)?shù)、負(fù)數(shù)、無(wú)理數(shù)，擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，經(jīng)歷了無(wú)數(shù)次坎坷，范圍不斷擴(kuò)大了，在數(shù)學(xué)及其他學(xué)科的作用也不斷地增大。那么，人們自然想到能否再把復(fù)數(shù)的概念繼續(xù)推廣。

英國(guó)數(shù)學(xué)家哈密頓苦苦思索了15年，沒(méi)能獲得成功。后來(lái)，他“被迫作出妥協(xié)”，犧牲了復(fù)數(shù)集中的一條性質(zhì)，終于發(fā)現(xiàn)了四元數(shù)，即形為a1+a2i+a3j+a4k（a1 ，a2i ，a3j，a4k 為實(shí)數(shù)）的數(shù)，其中ｉ、ｊ、ｋ如同復(fù)數(shù)中的虛數(shù)單位。若a3 ＝a4 ＝０，則四元數(shù)a1+a2i+a3j+a4k 是一般的復(fù)數(shù)。四元數(shù)的研究推動(dòng)了線性代數(shù)的研究，并在此基礎(chǔ)上形成了線性結(jié)合代數(shù)理論。物理學(xué)家麥克斯韋利用四元數(shù)理論建立了電磁理論。

數(shù)學(xué)的發(fā)展是逐步統(tǒng)一的過(guò)程。統(tǒng)一的目的也正如希而伯特所說(shuō)的：“追求更有力的工具和更簡(jiǎn)單的方法”。

愛(ài)因斯坦一生的夢(mèng)想就是追求宇宙統(tǒng)一的理論。他用簡(jiǎn)潔的表達(dá)式E=mc2揭示了自然界中質(zhì)能關(guān)系，這不能不說(shuō)是一件統(tǒng)一的藝術(shù)品。但他還是沒(méi)有完成統(tǒng)一的夢(mèng)想。人類(lèi)在不斷探尋著紛繁復(fù)雜的世界，又在不斷地用統(tǒng)一的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)世界，宇宙沒(méi)有盡頭，統(tǒng)一美也需要永遠(yuǎn)的追求。

數(shù)學(xué)之美，還可以從更多的角度去審視，而每一側(cè)面的美都不是孤立的，她們是相輔相成、密不可分的。她需要人們用心、用智慧深層次地去挖掘，更好地體會(huì)她的美學(xué)價(jià)值和她豐富、深隧的內(nèi)涵和思想，及其對(duì)人類(lèi)思維的深刻影響。如果在學(xué)習(xí)過(guò)程中，我們能與數(shù)學(xué)家們一起探索、發(fā)現(xiàn)，從中獲得成功的喜悅和美的享受，那么我們就會(huì)不斷深入其中，欣賞和創(chuàng)造美。