求函數(shù)解析式

樊宏偉

函數(shù)的表示方法有語(yǔ)言描述法、圖示法、列表法、解析法，其中，解析法應(yīng)用最為廣泛.解析法是用函數(shù)關(guān)系式表示函數(shù)的方法，解析式簡(jiǎn)單明了，便于用數(shù)來(lái)研究函數(shù).求函數(shù)解析式的方法有多種，常用的方法有下面幾種：

一、代入法

已知函數(shù)f（x），g（x），求：f[g（x）].代入法就是將g（x）代入f（x）的x中去，并注意函數(shù)f[g（x）]的定義域.

例1 已知f（x）=x2+2x，求f（sinx）.

解 f（sinx）=sin2x+2sinx.

二、待定系數(shù)法

已知函數(shù)解析式的類型，可設(shè)其解析式的形式，根據(jù)已知條件建立關(guān)于待定系數(shù)的方程，從而求出函數(shù)解析式的方法.

例2 已知f（x）是反比例函數(shù)，且過(guò)（1，2）點(diǎn)，求f（x）的解析式.

解 f（x）=kx（k≠0），則有2=k1，解得k=2.

所以f（x）=2x.

小結(jié) 我們只要明確所求函數(shù)解析式的類型，便可設(shè)出其函數(shù)解析式，設(shè)法求出其系數(shù)即可得到結(jié)果.類似的已知f（x）為一次函數(shù)時(shí)，可設(shè)f（x）=kx+b（k≠0）；f（x）為二次函數(shù)時(shí)，根據(jù)條件可設(shè)

①一般式：f（x）=ax2+bx+c（a≠0），

②頂點(diǎn)式：f（x）=a（x-h）2+k（a≠0），

③雙根式：f（x）=a（x-x1）（x-x2）（a≠0）.

三、換元法

換元法就是通過(guò)引入一個(gè)或幾個(gè)新的變量來(lái)替換原來(lái)的某些變量的解題方法，它的基本功能是：化難為易、化繁為簡(jiǎn)，以快速實(shí)現(xiàn)未知向已知的轉(zhuǎn)換，從而達(dá)到順利解題的目的.

已知f[g（x）]是關(guān)于x的函數(shù)，求f（x）的解析式，通常令g（x）=t，由此能解出f（t）的解析式，再用x替換t，便得f（x）的解析式.注意：換元后要確定新元t的取值范圍.

例3 已知f（sinx）=sin2x+2sinx，求f（x）的解析式.

解 設(shè)t=sinx，則f（t）=t2+2t，所以f（x）=x2+2x.

四、消元法

消元法，指通過(guò)消除一些元素，求函數(shù)解析式的方法.

例4 設(shè)f（x）+2f1x=3x-1，求函數(shù)f（x）的解析式.

解 f（x）+2f1x=3x-1，①.令t=1x，則有f1t+2f（t）=3t-1，②，將t換為x，得f1x+2f（x）=3x-1，③.由①③聯(lián)立方程組

f（x）+2f1x=3x-1，f1x+2f（x）=3x-1.解得f（x）=2x-x-13.

分析 如果將題目所給的f（x），f1x看成兩個(gè)元素，那么該等式即可看作二元方程，根據(jù)題意，通過(guò)建立方程組，利用消元法求函數(shù)解析式.

五、賦值法

通過(guò)對(duì)某變量取特殊值求函數(shù)解析式的方法.

例5 已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，并對(duì)一切實(shí)數(shù)x，y都有2f（x+y）=f（x）+3f（y）+x2-5xy-x，求f（x）的解析式.

解 令y=0，得2f（x）=f（x）+3f（0）+x2-x.

令x=y=0，得2f（0）=f（0）+3f（0），

所以f（0）=0，所以f（x）=x2-x，（x∈R）.

六、函數(shù)性質(zhì)法

利用函數(shù)的性質(zhì)如奇偶性、單調(diào)性、周期性等求函數(shù)解析式的方法.

例6 已知函數(shù)y=f（x）是R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=x2-x，求f（x）的解析式.

解 y=f（x）是R上的奇函數(shù)，所以f（-x）=-f（x）.即f（x）=-f（-x），當(dāng)x<0時(shí)，得-x≥0，f（x）=-f（-x）=-[（-x）2-（-x）]=-x2-x.

所以f（x）=x2-x，x≥0，-x2-x，x<0.

七、反函數(shù)法

利用反函數(shù)的定義求反函數(shù)的解析式的方法.

例7 （2012年全國(guó)卷）函數(shù)y=x+1（x≥-1）的反函數(shù)是（）.

A.y=x2-1（x≥0） B.y=x2-1（x≥1）

C.y=x2+1（x≥1）D.y=x2+1（x≥1）

解 由y=x+1（x≥-1），解得x=y2-1（y≥0）.所以函數(shù)y=x+1（x≥-1）的反函數(shù)是y=x2-1（x≥0）.因此選A.

八、抽象函數(shù)的解析式模型

抽象函數(shù)沒(méi)有解析式，但很多抽象函數(shù)也是由有解析式的函數(shù)抽象出來(lái)的.

（1）函數(shù)y=f（x）滿足f（x±y）=f（x）±f（y）.

解析式模型：正比例函數(shù)f（x）=kx.

（2）函數(shù)y=f（x）滿足f（xy）=f（x）f（y）.

解析式模型：冪函數(shù)f（x）=xα，（α為常數(shù)）.

（3）函數(shù)y=f（x）滿足f（x+y）=f（x）f（y）.

解析式模型：指數(shù)函數(shù)f（x）=ax，（a>0，且a≠1）.

（4）函數(shù)y=f（x）滿足f（xy）=f（x）+f（y）.

解析式模型：對(duì)數(shù)函數(shù)f（x）=logax，（a>0，且a≠1）.

（5）函數(shù)y=f（x）滿足f（x+y）=f（x）+f（y）1-f（x）f（y）.

解析式模型：f（x）=tanx.

（6）函數(shù)y=f（x）滿足f（x+y）+f（x-y）=2f（x）·f（y），且f（0）≠0.

解析式模型：f（x）=cosx.

例8 （判斷）函數(shù)y=f（x）滿足f（x+y）+f（x-y）=2f（x）·f（y），且f（0）≠0是（）.

A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)

C.非奇非偶函數(shù)D.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)

用定義來(lái)推斷較麻煩，用模型可得是偶函數(shù).選B.