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      均值不等式在一個(gè)問(wèn)題解決中的應(yīng)用

      2012-04-29 05:13:58畢德毅逯艷
      考試周刊 2012年23期
      關(guān)鍵詞:幾何平均方根調(diào)和

      畢德毅 逯艷

      問(wèn)題:求證++…+>1

      由于此問(wèn)題是一個(gè)與自然數(shù)有關(guān)的命題,因此可以使用數(shù)學(xué)歸納法解決.又由于此問(wèn)題左端可看做一函數(shù)(數(shù)列),因而可通過(guò)構(gòu)造函數(shù)的方式解決.在此,本文主要討論使用均值不等式來(lái)求解.

      均值不等式:設(shè)a,a,…,a是n個(gè)正數(shù),則

      ≤≤≤

      即調(diào)和平均值H(n)≤幾何平均值G(n)≤算術(shù)平均值A(chǔ)(n)≤均方根平均值Q(n),

      等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a=a=…=a時(shí)成立.

      (1)幾何平均小于算術(shù)平均

      ++…+

      ≥(2n+1)

      =

      而≥1,k≤n

      ∵(n+k)(3n+2-k)≤()=(2n+1)

      當(dāng)且僅當(dāng)n+k=3n+2-k,即n=k-1時(shí),取等號(hào),而n=k-1≤k,所以不能取等號(hào).

      ∴>1

      ∴>1

      ∴++…+>1

      (2)調(diào)和平均小于算術(shù)平均

      ++…+≥==1

      當(dāng)且僅當(dāng)==…=時(shí)取等號(hào),故等號(hào)取不到.

      ∴++…+>1

      (3)算術(shù)平均大于幾何平均

      ∵+>2>2=

      +>2>2=

      ……

      +>2>2=

      ∴++…+>+=1

      基金項(xiàng)目:山東省研究生教育創(chuàng)新計(jì)劃資助項(xiàng)目資助(課題編號(hào)SDYY11154);魯東大學(xué)—煙臺(tái)市教育局校地聯(lián)合教學(xué)改革項(xiàng)目成果(課題編號(hào)412——20101206)。

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