均值不等式在一個(gè)問(wèn)題解決中的應(yīng)用

畢德毅 逯艷

問(wèn)題：求證++…+＞1

由于此問(wèn)題是一個(gè)與自然數(shù)有關(guān)的命題，因此可以使用數(shù)學(xué)歸納法解決.又由于此問(wèn)題左端可看做一函數(shù)（數(shù)列），因而可通過(guò)構(gòu)造函數(shù)的方式解決.在此，本文主要討論使用均值不等式來(lái)求解.

均值不等式：設(shè)a，a，…，a是n個(gè)正數(shù)，則

≤≤≤

即調(diào)和平均值H（n）≤幾何平均值G（n）≤算術(shù)平均值A(chǔ)（n）≤均方根平均值Q（n），

等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a=a=…=a時(shí)成立.

（1）幾何平均小于算術(shù)平均

++…+

≥（2n+1）

=

而≥1，k≤n

∵（n+k）（3n+2-k）≤（）=（2n+1）

當(dāng)且僅當(dāng)n+k=3n+2-k，即n=k-1時(shí)，取等號(hào)，而n=k-1≤k，所以不能取等號(hào).

∴＞1

∴>1

∴++…+>1

（2）調(diào)和平均小于算術(shù)平均

++…+≥==1

當(dāng)且僅當(dāng)==…=時(shí)取等號(hào)，故等號(hào)取不到.

∴++…+＞1

（3）算術(shù)平均大于幾何平均

∵+＞2＞2=

+＞2＞2=

……

+＞2＞2=

∴++…+＞+=1

基金項(xiàng)目：山東省研究生教育創(chuàng)新計(jì)劃資助項(xiàng)目資助（課題編號(hào)SDYY11154）；魯東大學(xué)—煙臺(tái)市教育局校地聯(lián)合教學(xué)改革項(xiàng)目成果（課題編號(hào)412——20101206）。