定積分初步

鄢文俊

定積分的概念不僅明示了定積分的形成過程，而且明示了解決這一類問題的步驟與方法——分割、近似代替、求和、取極限．在局部范圍內運用了 “以直代曲” “以不變代變”和“逼近”的思想．同時，概念還體現(xiàn)了幾何意義和物理意義．定積分知識的運用，無疑會對數(shù)學和其它科學乃至實用技術的發(fā)展產生巨大的影響！

1. 定積分運算中的“四步曲”——分割、近似代替、求和、極限

例1用定義計算[01(2x-x2)dx]，并從幾何上解釋這個值表示什么？

解[01(2x-x2)dx][=201xdx-01x2dx]，下面先求[01xdx]的值．

第一步——分割：在區(qū)間[[0,1]]上等間隔地插入[n-1]個點，將區(qū)間[[0,1]]等分成[n]個小區(qū)間[[i-1n,in](i=1,2,?,n)]，每個小區(qū)間的長度為[Δx=in-i-1n=1n].

第二步——近似代替：取[ξi=in(i=1,2,?,n)]，第[i]小區(qū)間中對應小矩形面積為：[ξi?Δx=in?1n=in2].

第三步——求和：

[Sn=i=1nin?1n=1n2?n(n+1)2=n+12n].

第四步——取極限：

[01xdx=limn→∞Sn=limn→∞n+12n=12]．

同理可求得[01x2dx=13].

所以[01(2x-x2)dx=2×12-13=23]．

由定積分的幾何意義可知，這個值表示由直線[y=2x,x=1]和曲線[y=x2]所圍成的圖形的面積．

2. 定積分運算中的“二步曲”——特定形式和、極限

例2將代數(shù)式[limn→∞(1n+1+1n+2+?+12n)]改寫成定積分形式．

解第一步——改為特定形式的和：

[1n+1+1n+2+?+12n]

[=i=1n1n+i=i=1nnn+i?1n=i=1n11+in?1n]

[=i=1nf(in)?1n]，

取[f(x)=11+x,ξi=in]，[ξi]其中為區(qū)間[[0,1]]被等分后的第[i]個區(qū)間[[i-1n,in](i=1,2,?,n)]的右端點．

第二步——取極限：

[limn→∞i=1nf(in)?1n=0111+xdx]，

故[limn→∞(1n+1+1n+2+?+12n)=0111+xdx]．

例3彈簧在拉伸的過程中，力[f(x)=kx]（[k]為常數(shù)，[x]為伸長量），用定積分表示將彈簧從平衡位置拉長1m所做的功．

解因為力是變力，在彈簧拉伸過程中變力所做的功可以近似地寫成特定形式的和：

[Wn=i=1nΔWi=i=1nk?i-1n?1n]，

于是，[W=limn→∞Wn=limn→∞i=1nk?i-1n?1n=01kxdx].

例4將單位圓[x2+y2=1]繞[x]軸旋轉一周得到球形容器，試將該容器的容積用定積分表示出來．

解先考查單位圓位于[y]軸右側的旋轉問題，近似地寫成特定形式的和：

[Vn=i=1nΔVi=i=1nπf2(ξi)?Δx=i=1nπy2?Δx=i=1nπ(1-x2)?Δx.]

于是，[V=2limn→∞Vn=2limn→∞i=1nπ(1-x2)?Δx]

[=201π(1-x2)dx]．

3. 定積分運算中的“一步曲”——牛頓-萊布尼茨公式

德國人萊布尼茨從“微分三角形”中認識到：求曲線的切線依賴于縱坐標之差與橫坐標之差的比值；求曲邊圖形的面積則依賴于在橫坐標的無限小區(qū)間上的縱坐標之和或無限薄的矩形之和，他認為求和與求差是可逆的！同樣地，英國人牛頓從物理學的角度也發(fā)現(xiàn)了相似的可逆性．于是他們就都研究了微分與反微分之間的互逆關系，從而創(chuàng)立了微積分基本定理：如果[f(x)]是區(qū)間[[a,b]]上的連續(xù)函數(shù)，并且[F(x)=f(x)]，那么[abf(x)dx=F(b)-F(a)]．

因此，定積分運算就多了“一步曲”這種方法，上述四個例題中的定積分都可以用公式法求得相應的值：

[01(2x-x2)dx=(x2-13x3)10=F(1)-F(0)=23]（其中[F(x)=x2-13x3]）；

[0111+xdx=ln(1+x)10=F(1)-F(0)=ln2]（其中[F(x)=ln(1+x)]）；

[01kxdx=12kx210=F(1)-F(0)=12k]（其中[F(x)=12kx2]）；

[V=201π(1-x2)dx=2π(x-13x3)10]

[=F(1)-F(0)=43π]（其中[F(x)=2π(x-13x3)]）．

4. 定積分運算中的幾何法——與曲邊梯形的面積相關

例5求[-43x+2dx]的值．

解考查函數(shù)[f(x)=x+2]的圖象. 定積分[-43x+2dx]的幾何意義：表示為由直線[x=-4,x=3,y=0]及曲線[y=x+2]所圍成的封閉圖形的面積，于是，

[-43x+2dx][=SΔABC+SΔADE]

[=12AC?BC+12AD?DE]

[=12?2?2+12?5?5=292]．

例6在曲線[y=x2(x≥0)]上的某點[A]處作切線，已知該切線、[x]軸和曲線所圍成圖形的面積為[112]，求切點的坐標及切線方程．

解由題意可設切點[A]的坐標為[(x0,x20)]，則切線方程為[y=2x0x-x20]，可得切線與[x]軸的交點坐標為[(x02,0)]，如上圖所示. 曲線[y=x2(x≥0)]與切線[y=2x0x-x20]、[x]軸所圍成圖形可分割成[S1]和[S2]兩部分，即[S=S1+S2]．

故[S=0x02x2dx+[x02x0x2dx-x02x0(2x0x-x20)dx]]

[=13x3x020+13x3x0x02-(x0x2-x20x)x0x02]

[=x3012=112].

解得[x0=1].

所以切點坐標為[A(1,1)]，切線方程為[y=2x-1].

另解該面積也可以用另一種方式的定積分表示．上述解法中由于選擇的積分變量是[x]，導致要把陰影部分分割成兩個部分，若選擇[y]作為積分變量呢？

[S=0x20(y+x202x0-y)dy]

[=(12y2+x20y2x0-23y32)x200]

[=34x30-23x30=112x30=112].

解得[x0=1].

所以切點坐標為[A(1,1)]，切線方程為[y=2x-1].

綜述1．定積分的幾何意義——與陰影部分的面積有關，定積分的物理意義很寬泛——位移、做功等．其實兩個變量的求積運算很多都可以用它來思考！再比如上述例4中的求體積問題——與面積、高的“乘積”有關！這樣說來，定積分知識的運用可以很廣泛，不只是用在數(shù)學與物理領域中.

2．定積分式的計算方法：（1）利用定義求定積分（定義法），過程繁瑣、受限較多，實際操作性不強；（2）利用微積分基本定理求定積分步驟如下： ①求被積函數(shù)[f(x)]的一個原函數(shù)[F(x)]，②計算[F(b)-F(a)]，（3）利用定積分的幾何意義求定積分．

練習

1．求[-π2π2(sinx+cosx)dx]的值．

2．設[f(x)=x2,x∈[0,1]2-x,x∈[1,2]]，求[12f(x)dx]的值.

3．求拋物線[y2=2x]與直線[y=4-x]圍成的平面圖形的面積．

4．如圖所示，拋物線[y=4-x2]與直線[y=3x]的兩交點為[A、B]，點[P]在拋物線上從[A]向[B]運動．

（1）求使[△PAB]的面積最大的[P]點的坐標[(a,b)];

（2）證明：由拋物線與線段[AB]圍成的圖形，被直線[x=a]分為面積相等的兩部分．

5．平地里有一條小溝，溝沿是兩條長100m的平行線段，溝寬[AB=2m]，橫截面與溝的交線是一段拋物線，頂點為[O]，溝深1.5m，溝中水深1m．

（1）求水面寬；

（2）求溝中有多少立方米水．

答案

1. 2 2. [56]3. 18

4. （1）[(-32,74)]（2）用定積分做（略）

5. （1）[263m]（2）[40069m3]