對兩道小學(xué)數(shù)學(xué)題解的評析

肖鑒鏗

例1 從1~9這9張牌中任取4張，這4個數(shù)所組成的和或是奇數(shù)或是偶數(shù)，哪種可能性更大？

這是蘇教版數(shù)學(xué)六年級奧數(shù)讀本第92頁練習(xí)十二中的第12題。在該書224頁給出了這樣的“參考答案”：

“因?yàn)檫@9個數(shù)非奇即偶（共有五奇四偶），從選出的4個數(shù)組成的和來看，如果是奇數(shù)，只有這樣兩種可能：（1）奇+偶+偶+偶，（2）奇+奇+奇+偶；如果是偶數(shù)，就有三種可能：（1）偶+偶+奇+奇，（2）偶+偶+偶+偶，（3）奇+奇+奇+奇。由此看出，組成的和是偶數(shù)的可能性大。”

在上述解答中，存在著一種隱蔽的失誤。從概率論的觀點(diǎn)看，“和是奇數(shù)”與“和是偶數(shù)”都是“復(fù)合事件”?！昂褪瞧鏀?shù)”由兩個“子事件”組成，“和是偶數(shù)”由三個“子事件”組成。上述解答實(shí)際上只完成了對子事件多寡的分析，而由此就認(rèn)定子事件多的復(fù)合事件發(fā)生的可能性大，是缺乏依據(jù)的。為說明這一點(diǎn)，不妨先來看看下面的補(bǔ)充例題：

有2偶4奇共6個數(shù)，從中任選4個，問所組成的和是奇數(shù)多還是偶數(shù)多？

受過中等師范教育的小學(xué)教學(xué)教師都不難運(yùn)用排列組合與概率的知識來解答本題。

分析與解：設(shè)“和為奇數(shù)”為事件A，A只有一種情況：“一偶三奇”；設(shè)“和為偶數(shù)”為事件B，B則包含兩種情況：“四奇”與“兩偶兩奇”。不妨將這兩個子事件分別記為B1與B2。

事件A發(fā)生的概率為P（A）=。事件B發(fā)生的概率為P（B）=P（B1）+P（B2）

P（A）>P（B）。

在這里，“倒掛”的現(xiàn)象發(fā)生了：子事件多的復(fù)合事件的概率反而小了！

由此表明，僅憑子事件的眾寡來推斷復(fù)合事件概率的大小，犯了“依據(jù)不足”的毛病。所以真要解答例1，還應(yīng)繼續(xù)下去，將革命進(jìn)行到底。不揣淺陋，試解如下：

設(shè)“和為奇數(shù)”是事件A，并記A1為“一奇三偶”、A2為“三奇一偶”，則A=A1+A2。又設(shè)“和為偶數(shù)”是事件B，并記B1為“兩奇兩偶”、B2為“四奇”、B3為“四偶”，則B=B1+B2+B3。

P（A）=P（A1）+P（A2）。

P（B）=P（B1）+P（B2）+P（B3）。

P（A）

故“和為偶數(shù)”的可能性略大。

在這里，由于“和”只有兩種情況：非奇即偶，故A與B已構(gòu)成一個“完備事件組”，也就是說，A、B的概率之和等于1。若運(yùn)用這一性質(zhì)，則在求出P（A）=后，立即可得P（B）=1。

顯然，無論是否運(yùn)用對立事件的概率公式，上述解法都已超出小學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。

例2 如果的商是整數(shù)，那么商是奇數(shù)還是偶數(shù)？

這題與例1同出一書，是該書第92頁練習(xí)十二中的第6題。第243頁的“參考答案”中給出了本題的解法：

“因?yàn)?×3×7×…×1989×1991的積一定是奇數(shù)，又因?yàn)椋?993-1）÷2+1=997，說明1+3+5+7+…+1991+1993中加數(shù)的個數(shù)是奇數(shù)，所以和為奇數(shù)，因此商是奇數(shù)。”

我原以為，既要求學(xué)生判斷商是奇數(shù)還是偶數(shù)，這個商肯定是整數(shù)無疑。只是由于要證明商是整數(shù)已超出小學(xué)生之能力，故不作此要求，只在題中用“如果……的商是整數(shù)”這個假設(shè)一語帶過而已。然而，就在我動手來證明商是整數(shù)時(shí)，卻發(fā)現(xiàn)了問題。

利用等差數(shù)列的求和公式易知：

1+3+5+7+…+1991+1993=（1+1993）÷2×997=997×997=9972。

原式=。分子、分母約去一個997后，得。而997是1000以內(nèi)最大的質(zhì)數(shù)（又稱素?cái)?shù)），此分?jǐn)?shù)已不可再約。從想證明商是整數(shù)出發(fā)，卻證得了商不是整數(shù)，這是我始料未及的，題中的假設(shè)原來竟是虛晃一槍！難道我們要誤導(dǎo)小學(xué)生去證明一個違反事實(shí)的結(jié)論？

例1的題解依據(jù)不足，例2的題解假設(shè)不真。例1的正確解答超出了小學(xué)生的能力，例2則直接與數(shù)學(xué)的真實(shí)性、嚴(yán)肅性相悖。看來這兩道題還是不出給小學(xué)生做為好。