判斷函數(shù)一致連續(xù)性的幾種方法

李啟龍

摘要：函數(shù)的一致連續(xù)性是數(shù)學(xué)重要的概念，目前關(guān)于一致連續(xù)的判別方法主要是利用一致連續(xù)的定義和Cantor定理， 通過(guò)判斷函數(shù)一致連續(xù)性的兩種方法：導(dǎo)數(shù)判斷法和極限判斷法，以及對(duì)這兩種方法的相關(guān)定理的證明、實(shí)例介紹應(yīng)用，使得對(duì)函數(shù)一致連續(xù)性的判斷方法簡(jiǎn)單化、明了化。

關(guān)鍵詞：一致連續(xù)；導(dǎo)數(shù)判斷法；極限判斷法

弄清函數(shù)一致連續(xù)性的概念和掌握判斷函數(shù)一致連續(xù)性的方法無(wú)疑是學(xué)好函數(shù)一致連續(xù)理論的關(guān)鍵。數(shù)學(xué)分析中只給出的關(guān)于一致連續(xù)的判別方法主要是用一致連續(xù)性的定義和Cantor定理，為了使我們對(duì)函數(shù)一致連續(xù)性理論的全面掌握，作為對(duì)教材內(nèi)容的適當(dāng)擴(kuò)充和補(bǔ)充，我另外歸納總結(jié)了以下兩種判斷函數(shù)一直連續(xù)的方法。

一、預(yù)備知識(shí)

定義 設(shè)函數(shù)f（x）定義在區(qū)間I上，若對(duì)于任意的ε>0，存在δ>0，對(duì)任意的x1，x2∈I。只要x1-x2<δ，就有f（x1）-f（x2）<ε，則稱(chēng)f（x）在I上一致連續(xù)。

引理1若函數(shù)f（x）在［a，b］及［b，c］都一致連續(xù)，則f（x）在［a，c］上一致連續(xù)。

注：改［b，c］為［b，+∞］時(shí)，結(jié)論也成立。

引理2設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間I上滿(mǎn)足Lipschitz條件，即存在常數(shù)L>0，使得對(duì)I上任意x'，x''兩點(diǎn)，都有f（x'）-f（x''）≤Lx'-x''，則f（x）在區(qū)間I上一致連續(xù)。

二、主要結(jié)論

1. 導(dǎo)數(shù)判斷法

從一致連續(xù)函數(shù)的定義及非一致連續(xù)函數(shù)的圖像分析易知，函數(shù)的一致連續(xù)性與函數(shù)“陡度”有關(guān)，函數(shù)在某點(diǎn)附近的“陡度”大，曲線(xiàn)在該點(diǎn)附近的切線(xiàn)斜率的絕對(duì)值就大，反之亦然，若函數(shù)可導(dǎo)，則“陡度”大小與導(dǎo)數(shù)值的“大小”有關(guān)，故有如下導(dǎo)數(shù)判斷法。

定理1設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間I上可導(dǎo)，且f'（x）在區(qū)間I上有界，則函數(shù)f（x）在區(qū)間I上一致連續(xù)。

證明：由已知，f'（x）在區(qū)間I上有界，于是存在常數(shù)M使得對(duì)x∈I，有f'（x）≤M（M>0）。由微分中值定理，對(duì)任意的x1，x2∈I，有f（x1）-f（x2）=f'（x）x1-x2≤Mx1-x2。即f（x）在區(qū)間I上滿(mǎn)足Lipschitz條件，于是由引理2知f（x）在區(qū)間I上一致連續(xù)。

注：f'（x）在I上有界是f（x）在I上一致連續(xù)的充分而非必要條件。例如函數(shù)f（x）=xx在（0，1）上一致連續(xù)。事實(shí)上，f（x）=xx在（0，1）內(nèi)連續(xù)，且f（x）=1，f（x）=1，但是f'（x）=（exlnx）'=exlnx［lnx+1］→-∞（x→0+）。

定理2 若函數(shù)f（x）在區(qū)間［a，+∞）（或（-∞，b］）上可導(dǎo)，且=+∞（或f'（x）=-∞，則f（x）在［a，+∞）（或（-∞，b］ ）上非一致連續(xù)。

證明：對(duì)于δ>0，取x1=n，x=n+（n為充分大的自然數(shù))，滿(mǎn)足x1-x2=<δ，且當(dāng)n→δ時(shí)，x1，x2→+∞。根據(jù)微分中值定理，存在ξ介于x1與x2之間，使得f（x1）-f（x2）=f'（ξ）?x-x=f'（ξ）→∞+（n→∞）。即f（x）在區(qū)間［a，+∞）上不一致連續(xù)。同理可證另一情況。

2. 極限判斷法

定理3 若函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，+∞）內(nèi)連續(xù)，且f（x）和f（x）都存在，則f（x）在（-∞，+∞）上一致連續(xù)。

證明：ε>0，?堝δ1>0，由f（x）=A，當(dāng)x>b時(shí)，有f（x）-A<。從而有x1，x2>b且x1-x2<δ1時(shí)，有f（x1）-f（x2）≤f（x1）-A+f（x2）-A<ε。由此可知f（x）在［b，+∞）上一致連續(xù)。同理可證當(dāng)x1-x2<δ2時(shí)，有f（x1）-f（x2）<ε。

根據(jù)引理1即知f（x）在（-∞，a］上一致連續(xù)。

又f（x）在［a，b］上連續(xù)，因此?堝δ3>0，當(dāng)x1-x2<δ3 時(shí)，有f（x1）-f（x2）<ε，故f（x）在［a，b］上一致連續(xù)。

取δ=min｛δ1，δ2，δ3｝，當(dāng)x1-x2<δ時(shí)，便有f（x1）-f（x2）<ε。

由定義1和引理1知f（x）在（-∞，+∞）上一致連續(xù)。

根據(jù)定理3容易得出以下推論：

推論1 ：函數(shù)f（x）在［a，+∞）內(nèi)一致連續(xù)的充分條件是f（x）在［a，+∞）內(nèi)連續(xù)且f（x）與（x）都存在。

推論2 ：函數(shù)f（x）在［a，+∞）內(nèi)一致連續(xù)的充分條件是f（x）在［a，+∞）內(nèi)連續(xù)且f（x）都存在。

推論3： 函數(shù)f（x）在（-∞，b）內(nèi)一致連續(xù)的充分條件是f（x）在（-∞，b）內(nèi)連續(xù)且f（x）與f（x）都存在。

推論4： 函數(shù)f（x）在（-∞，b］內(nèi)一致連續(xù)的充分條件是f（x）在（-∞，b］內(nèi)連續(xù)且f（x）存在。

定理4 函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上連續(xù)，g（x）在（-∞，+∞）上一致連續(xù)，且f（x）-g（x）=0，f（x）-g（x）=0，則f（x）在（-∞，+∞）上一致連續(xù)。

證明：只需證函數(shù)f（x）在［a，+∞）上一致連續(xù)，對(duì)ε>0，因?yàn)閒（x）-g（x）=0，則?堝X(qián)1>0，當(dāng)x>X1時(shí)，有f（x）-g（x）<。（1）

令X0=X1+1，在［a，X0］上，因?yàn)閒（x）連續(xù)，故必一致連續(xù)，所以?堝0<δ1<1，當(dāng) x1，x2∈［a，X0］且x1-x2<δ時(shí)，有f（x1）-f（x2）<ε。（2）

因?yàn)間（x）在［X1，+∞）上一致連續(xù)，則?堝δ2>0，x1，x2∈［X1，+∞），當(dāng)x1-x2<δ2時(shí)，有g(shù)（x1）-g（x2）<。（3）

令δ＝min（δ1，δ2），對(duì)x1，x2∈［a，+∞），當(dāng)x1-x2<δ，若x1，x2∈［a，X0］時(shí)，有f（x1）-f（x2）<ε。

若x1X1，則由（1），（3），有f（x1）-f（x2）≤f（x1）-g（x1）+g（x1）-g（x2）+g（x2）-f（x2）<++=ε，若x1，x2∈［X0，+∞），由（1），（3），有f（x1）-f（x2）≤f（x1）-g（x1）+g（x1）-g（x2）+g（x2）-f（x2）<++=ε，因此ε＞0，?堝δ＞0，當(dāng)x1，x2∈［a，+∞］，且x1-x2<δ時(shí)，就有f（x1）-f（x2）<ε。

故f（x）在［a，+∞）上一致連續(xù)，同理可證f（x）在（-∞，a］上一致連續(xù)，所以f（x）在（-∞，+∞）一致連續(xù).

參考文獻(xiàn)：

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[2]林遠(yuǎn)華.對(duì)函數(shù)一致連續(xù)性的幾點(diǎn)討論[J].河池師專(zhuān)學(xué)報(bào),2003(4).

（通渭縣雞川中學(xué)）