三角函數(shù)求最值的方法

張貴成

題型1利用有關(guān)三角公式化簡求最值。

例1若f（x）＝cos4x-2sinxcosx-sin4x。（1）求f（x）的最小正周期。（2）若x∈〔0,〕，求f（x）的最大值、最小值。

解：f（x）=cos4x-2sinxcosx-sin4x=(cos2x+sin2x)( cos2x-sin2x)-sin2x=cos2x-sin2x= cos(2x+)，所以f（x）的最小正周期T= = ?仔。

（2）因?yàn)?≤x≤，所以≤2x+ ≤。

當(dāng)2x+= 時(shí)，cos（2x+）取得最大值；

當(dāng)2x+=?仔 時(shí)，cos（2x+）取得最小值-1。

所以f（x）在〔0，〕最大值為1，最小值為- 。

例2已知函數(shù)f（x）＝ cos2x＋sinxcosx+1，x∈R。求當(dāng)取最大值時(shí)，自變量Ｘ的集合？該函數(shù)圖像可由f（x）＝cos2x+經(jīng)過怎樣的變換得到？

解：f（x）=cos2x+sin2x+=sin(2x+)+， 所以f（x）的最大值為，這時(shí)2x+=+2k?仔，x=+k?仔，x的集合為｛x|x=+k?仔｝。

由f（x）＝cos2x+向右平移個(gè)單位得f（x）=sin(2x+)+。

題型2 利用配方法或換元法把三角函數(shù)的最值轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值。（注意區(qū)分有限制條件和無限制條件兩種類型以及隱含條件的挖掘）

例３已知函數(shù)f（x）=2sinθcosθ+sinθ-cosθ(0≤θ≤?仔)，求函數(shù)Ｙ的最值。

解：令t=sinθ-cosθ=sin(θ-)，因?yàn)棣取蔥-，]，所以t∈[-1，]。

則t2=1-2sinxcosx，2sinxcosx=1-t2， f(x)=1-t2+t=-(t-)2+。

當(dāng)t=時(shí)，f（x）的最大值為，

當(dāng)t=-1時(shí)，f（x）的最小值為-1。

例４ 設(shè)函數(shù)f（x）＝sin2x+acosx+a-(0≤x≤ )的最大值為1，求a的值。

解：f（x）＝sin2x+acosx+a-=-cos2x+acosx+a-，

令t=cosx，則t∈[0，1]，

f（x）＝-t2+at+a-=-(t-)2+(+a-)。

分情況討論：

（1）當(dāng)a<0時(shí)，f（x）的最大值為1，a無解；

（2）當(dāng)0

（3）當(dāng)a>2時(shí)，f（x）的最大值為1，a無解。

綜上所述：a= 。

題型3與平面向量、三角形相結(jié)合求最值。

例5三角形ABC的三個(gè)內(nèi)角為A、B、C，求當(dāng)A為何值時(shí)，cosA+2cos取得最大值，并求最大值。

解：由A+B+C=?仔，得=-，所以cos=sin，

cosA+2cos=cosA+2sin=1-2sin2+2sin=-2（sin-)2+。

當(dāng)sin=時(shí)，即A=時(shí)，cosA+2cos取得最大值。

（唐山市豐南區(qū)唐坊高中）