如何有效利用中考題

申華娟

近幾年中考的數(shù)學(xué)壓軸題題型多、題意創(chuàng)新，總體來(lái)說，大都呈現(xiàn)“起點(diǎn)低、坡度緩、尾巴略翹”的趨勢(shì)，綜合考查了學(xué)生分析問題和解決問題的能力．因此，教師平時(shí)在綜合題的教學(xué)中，須和學(xué)生一起分析壓軸題的結(jié)構(gòu)及所考查的知識(shí)點(diǎn)．通過教師的解析和點(diǎn)評(píng)，引導(dǎo)學(xué)生探索各種題型的解題規(guī)律，準(zhǔn)確把握解題思路、方法和技巧，以減輕學(xué)生解壓軸題的心理壓力．下面以２０１０年浙江臺(tái)州市中考數(shù)學(xué)壓軸題為例，談?wù)勚锌紨?shù)學(xué)壓軸題的教學(xué)設(shè)計(jì)．

（２０１０ 浙江臺(tái)州市）如圖1，Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ ＝ ９０°，ＢＣ ＝ ６，ＡＣ ＝ ８．點(diǎn)Ｐ，Ｑ都是斜邊ＡＢ上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Ｐ從Ｂ 向Ａ運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)Ｂ重合），點(diǎn)Ｑ從Ａ向Ｂ運(yùn)動(dòng)，ＢＰ ＝ ＡＱ．點(diǎn)Ｄ，Ｅ分別是點(diǎn)Ａ，Ｂ以Ｑ，Ｐ為對(duì)稱中心的對(duì)稱點(diǎn)，ＨＱ⊥ＡＢ于Ｑ，交ＡＣ于點(diǎn)Ｈ． 當(dāng)點(diǎn)Ｅ到達(dá)頂點(diǎn)Ａ?xí)r，Ｐ，Ｑ同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)ＢＰ的長(zhǎng)為ｘ，△ＨＤＥ的面積為ｙ．

（１）求證：△ＤＨＱ∽△ＡＢＣ；

（２）求ｙ關(guān)于ｘ的函數(shù)解析式，并求ｙ的最大值；

（３）當(dāng)ｘ為何值時(shí)，△ＨＤＥ為等腰三角形？

分析 第（１）問是基礎(chǔ)題，求兩個(gè)三角形相似，起點(diǎn)低，絕大部分學(xué)生能比較輕松地給予解答. 根據(jù)Ａ，Ｄ關(guān)于點(diǎn)Ｑ成中心對(duì)稱，可證∠HDQ = ∠A，即可得出結(jié)論．

第（２）問難度不大，自然想到用面積公式表示△ＨＤＥ的面積，利用第（１）小題的結(jié)論，列出比例式，尋求ＨＱ與ＤＱ的關(guān)系，從而建立ｙ與ｘ的函數(shù)解析式. 通過學(xué)生操作活動(dòng)，自剪紙片，按照題意折疊紙片，容易發(fā)現(xiàn)：隨著動(dòng)點(diǎn)Ｐ，Ｑ的運(yùn)動(dòng)，ｘ隨之變化，點(diǎn)Ｄ，Ｅ的位置也會(huì)變化，因此必須分類討論．

第（３）問有一定的難度，根據(jù)第（２）問的分析，很容易想到要根據(jù)ｘ的取值范圍進(jìn)行分類討論. △ＨＤＥ為等腰三角形，沒有說明哪條邊是腰，哪條邊是底邊，因此還要根據(jù)等腰三角形的腰和底邊分類討論，須防止漏解．

簡(jiǎn)解

（１） ∵ Ａ，Ｄ關(guān)于點(diǎn)Ｑ成中心對(duì)稱，ＨＱ⊥ＡＢ，

∴ ∠HQD = ∠C ＝ ９０°，ＨＤ ＝ ＨＡ，∴∠HDQ = ∠A，

∴ △ＤＨＱ∽△ＡＢＣ．

（２）①如圖2，當(dāng)0 < x ≤ 2.5時(shí)，

ＥＤ ＝ １０ － ４ｘ，ＱＨ ＝ ＡＱ ｔａｎ Ａ ＝ ■ｘ，

此時(shí)ｙ ＝ ■（１０ － ４ｘ） × ■x = -■x2 + ■x ．

當(dāng)x = ■時(shí)，最大值y = ■．

②如圖3，當(dāng)2.5< x ≤ 5時(shí)，

ＥＤ ＝ ４ｘ － １０，ＱＨ ＝ ＡＱ ｔａｎ∠Ａ ＝ ■ｘ，

此時(shí)ｙ ＝ ■（４x － １０） × ■x = ■x2 - ■x．

當(dāng)x = 5時(shí)，最大值y = ■．

∴ ｙ與ｘ之間的函數(shù)解析式為

ｙ ＝ －■ｘ２ ＋ ■ｘ（０ ＜ ｘ ≤ ２．５），■ｘ２ － ■ｘ（２．５ ＜ ｘ ≤ ５）．

ｙ的最大值是■．

（３）①如圖2，當(dāng)0 < x ≤ ２．５時(shí)，

若ＤＥ ＝ ＤＨ，∵ ＤＨ ＝ ＡＨ ＝ ■ = ■x，ＤＥ ＝ 10 - 4x，

∴ 10 - 4x ＝ ■x，x = ■．

顯然ＥＤ ＝ ＥＨ，ＨＤ ＝ ＨＥ不可能；

②如圖3，當(dāng)２．５ ＜ ｘ ≤ ５時(shí)，

若ＤＥ ＝ ＤＨ，4x - 10 ＝ ■x，x = ■；

若ＨＤ ＝ ＨＥ，此時(shí)點(diǎn)Ｄ，Ｅ分別與點(diǎn)Ｂ，Ａ重合，x = 5；

若ＥＤ ＝ ＥＨ，則△ＥＤＨ∽△ＨＤＡ，

∴ ■ = ■，■ = ■，ｘ = ■．

∴當(dāng)ｘ的值為■，■，５，■時(shí)，△ＨＤＥ是等腰三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題集方程、函數(shù)、幾何證明于一身，有計(jì)算、有證明，具有較強(qiáng)的綜合性．可見，本例題的重點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)是：（１）勾股定理；（２）三角形面積公式；（３）等腰三角形性質(zhì)定理；（４）三角函數(shù)概念或相似三角形性質(zhì)定理；（５）二次函數(shù)表達(dá)式及用配方法或公式法求二次函數(shù)的最值．本題貫徹的數(shù)學(xué)思想是：（１）運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)；（２）方程思想；（３）數(shù)形結(jié)合思想；（４）分類思想；（５）轉(zhuǎn)化思想．

另外，分類討論時(shí)要做到既不重復(fù)又不遺漏，等腰三角形常以腰和底邊為分類標(biāo)準(zhǔn)．動(dòng)點(diǎn)的討論，常以運(yùn)動(dòng)過程中的特殊位置為分界點(diǎn)．

拓展 Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ ＝ ９０°，ＢＣ ＝ ６，ＡＣ ＝ ８． 點(diǎn)Ｑ是斜邊ＡＢ上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Ｑ從Ａ向Ｂ運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Ｄ是點(diǎn)Ａ以Ｑ為對(duì)稱中心的對(duì)稱點(diǎn)， ＨＱ⊥ＡＢ于Ｑ，交ＡＣ于點(diǎn)Ｈ．當(dāng)△ＨＤＣ是直角三角形時(shí)，求ＡＱ的長(zhǎng)度．

學(xué)生討論后教師點(diǎn)撥：△ＨＤＣ是直角三角形，要抓住直角頂點(diǎn)進(jìn)行討論：當(dāng)∠ＤＣＨ ＝ ９０°時(shí)，點(diǎn)Ｄ與點(diǎn)Ｂ重合，此時(shí)點(diǎn)Ｑ為ＡＢ的中點(diǎn)，ＡＱ＝５；當(dāng)∠ＣＤＨ ＝ ９０°時(shí)，由對(duì)稱知識(shí)可知，∠Ａ ＝ ∠ＡＤＨ，從而可以證明∠ＣＤＢ ＝ ∠Ｂ，即ＣＢ ＝ ＣＤ．過Ｃ作ＣＧ⊥ＡＢ于Ｇ，由相似三角形的知識(shí)可求出ＢＧ ＝ ＤＧ ＝ ３．６，ＡＱ ＝ ＤＱ ＝ １．４；當(dāng)∠ＣＨＤ ＝ ９０°時(shí)，由外角知識(shí)可知∠Ａ ＝ ４５°，即這種情況不存在．

課后演練 Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ ＝ ９０°，ＢＣ ＝ ６，ＡＣ ＝ ８．點(diǎn)Ｑ是斜邊ＡＢ上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Ｑ從Ａ向Ｂ運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Ｄ在射線ＡＢ上，且是點(diǎn)Ａ以Ｑ為對(duì)稱中心的對(duì)稱點(diǎn)， ＨＱ⊥ＡＢ于Ｑ，交ＡＣ于點(diǎn)Ｈ．設(shè)ＡＱ ＝ ｘ，△ＨＤＱ與△ＡＢＣ重疊部分的面積為ｙ，求ｙ與ｘ的函數(shù)關(guān)系式，并寫出ｘ的取值范圍．