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    圓錐曲線專題強化

    2012-04-09 03:00:14張婧
    關(guān)鍵詞:準線雙曲線切線

    張婧

    某企業(yè)投入81萬元經(jīng)銷某產(chǎn)品,經(jīng)銷時間共60個月,市場調(diào)研表明,該企業(yè)在經(jīng)銷這個產(chǎn)品期間第x個月的利潤函數(shù)f(x)=1,1≤x≤20(x∈N*),

    110x,21≤x≤60(x∈N*)(單位:萬元).為了獲得更多的利潤,企業(yè)將每月獲得的利潤再投入到次月的經(jīng)營中.記第x個月的利潤率為g(x)=第x個月的利潤第x個月的資金總和,例如g(3)=f(3)81+f(1)+f(2).

    (1) 求g(10);

    (2) 求第x個月的當(dāng)月利潤率;

    (3) 求該企業(yè)經(jīng)銷此產(chǎn)品期間,哪一個月的當(dāng)月利潤率最大,并求出該月的當(dāng)月利潤率.18. (本小題滿分16分)

    如圖,A,B是橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左右頂點,M是橢圓上異于A,B的任意一點,若橢圓C的離心率為12,且右準線l的方程為x=4.

    (1) 求橢圓C的方程;

    (2) 設(shè)直線AM交l于點P,以MP為直徑的圓交直線MB于點Q,試證明:直線PQ與x軸的交點R為定點,并求出R點的坐標(biāo).

    綜合測試(二)第3頁19. (本小題滿分16分)

    已知數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足Sn=t(Sn-an+1)(t為常數(shù),且t≠0,t≠1).

    (1) 求{an}的通項公式;

    (2) 設(shè)bn=a2n+Sn?an,若數(shù)列{bn}為等比數(shù)列,求t的值;

    (3) 在滿足條件(2)的情形下,設(shè)cn=4an+1,數(shù)列{cn}的前n項和為Tn,若不等式12k4+n-Tn≥2n-7對任意的n∈N*恒成立,求實數(shù)k的取值范圍.

    20. (本小題滿分16分)

    已知函數(shù)f(x)=-x3+x2+b,g(x)=alnx.

    (1) 若f(x)在x∈-12,1上的最大值為38,求實數(shù)b的值;

    (2) 若存在x∈[1,e],使得g(x)≤-x2+(a+2)x成立,求實數(shù)a的取值范圍;

    (3) 在(1)的條件下,設(shè)F(x)=f(x),x<1,

    g(x),x≥1,對任意給定的正實數(shù)a,曲線y=F(x)上是否存在兩點P,Q,使得△POQ是以O(shè)(O為坐標(biāo)原點)為直角頂點的直角三角形,且此三角形斜邊中點在y軸上?請說明理由.綜合測試(二)第4頁通性通法Tong Xing Tong Fa通性通法Tong Xing Tong Fa

    以圓錐曲線的定義、方程、基本量為命題的基本元素,在與圓錐曲線自身多知識點的綜合、或與向量、導(dǎo)數(shù)、立體幾何、函數(shù)、三角、不等式等內(nèi)容的交會處設(shè)置的有關(guān)求參數(shù)范圍、最值、過定點、求面積或存在性問題成為數(shù)學(xué)高考命題的主流。常見的有以下三種考查類型:

    一、 圓錐曲線的基本量的計算

    圓錐曲線基本量的計算是高考填空題必考題型,重點是求離心率問題。

    【例1】設(shè)F是雙曲線x2a2-y2b2=1的右焦點,雙曲線的兩漸近線分別為l1、l2,過F作直線l1的垂線,分別交l1、l2于A,B兩點.若OA,AB,OB成等差數(shù)列,且向量BF與FA同向,則雙曲線的離心率e=.

    分析本題綜合了向量與數(shù)列知識,關(guān)鍵是尋求a,c的等量關(guān)系,直接解A,B坐標(biāo)求解顯然運算量太大。若能抓住直角三角形三邊成等差數(shù)列,再結(jié)合圖形特征∠AOB=2∠AOF就解決問題了。

    解由題意得:l1:bx-ay=0,

    ∴FA=bca2+b2=b.

    設(shè)OA=m,AB=m+d,OB=m+2d,

    在Rt△OAB中(m+2d)2=m2+(m+d)2,則m=3d.即OA=3d,AB=4d,OB=5d.

    設(shè)∠AOF=α,則∠AOB=2α,

    ∴tan2α=ABOA=4d3d=43,

    又tan2α=2tanα1-tan2α,∴tanα=12=ba.

    ∴a=2b,∴e=52.

    點撥若能結(jié)合圖形特征利用等積法可使問題更簡化?!逽△AOB=S△AOF+S△BOF,即12AB?a=12OA?b+12OB?b=12(OA+OB)?b=AB?b,∴a=2b,∴e=52。

    二、 最值問題

    最值問題常采用設(shè)好自變量,建立目標(biāo)函數(shù),再求函數(shù)的最值的方法。涉及最值問題,解決此類問題一般利用三角函數(shù)有界性、函數(shù)單調(diào)性及基本不等式等知識求解,有時也利用圖形幾何意義求解。

    【例2】如圖,已知A是拋物線y2=2x上的動點,過A作圓(x-1)2+y2=1的兩條切線分別切圓于E、F兩點,交y軸于B、C兩點.

    (1) 當(dāng)A點坐標(biāo)為(8,4)時,求直線EF的方程;

    (2) 當(dāng)A點的橫坐標(biāo)大于2時,求△ABC面積的最小值.

    分析問題(1)可利用圓的切線方程給出直線AE,AF的方程后,從這兩個式子的結(jié)構(gòu)的共同性,得到“(x1,y1),(x2,y2)是方程7(x-1)+4y=1的解”,從而使問題迎刃而解;

    問題(2)的關(guān)鍵是利用直線和圓相切的條件得出“|k1(1-a)+b|1+k21=1和k2(1-a)+b1+k22=1”,通過對式子整理,再從式子結(jié)構(gòu)的共同性,構(gòu)建一元二次方程,問題就很容易解決了。

    解(1) 設(shè)切點E,F的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),則切線AE的方程為:(x1-1)(x-1)+y1y=1,切線AF的方程為:(x2-1)(x-1)+y2y=1.

    因為點A的坐標(biāo)為(8,4),所以7(x1-1)+4y1=1,7(x2-1)+4y2=1.

    由此可知,(x1,y1),(x2,y2)是方程7(x-1)+4y=1的解,

    所以過點E,F的直線方程為7(x-1)+4y=1,即7x+4y-8=0.

    (2) 設(shè)A點坐標(biāo)為(a,b),則b2=2a.設(shè)切線AE,AF的方程分別為y-b=k1(x-a),y-b=k2(x-a),即k1x-y+b-k1a=0,k2x-y+b-k2a=0.

    由題意得|k1(1-a)+b|1+k21=1,

    整理得(a2-2a)k21+2b(1-a)k1+b2-1=0.

    同理得(a2-2a)k22+2b(1-a)k2+b2-1=0.

    由此可知,k1和k2是方程(a2-2a)k2+2b(1-a)k+b2-1=0的兩個不同實根,

    所以k1+k2=-2b(1-a)a2-2a,k1k2=b2-1a2-2a.

    由k1x-y+b-k1a=0知yB=b-ak1,

    由k2x-y+b-k2a=0知yC=b-ak2,

    所以S△ABC=12|BC|?a=12|yB-yC|?a

    =a22|k1-k2|=a22(k1+k2)2-4k1k2

    =a222b(1-a)a2-2a2-4b2-1a2-2a.

    將b2=2a代入上式得,

    S△ABC=a2a-2=(a-2)+4a-2+4≥8.

    當(dāng)且僅當(dāng)a=4∈(2,+∞),△ABC的面積取最小值8,此時b=±22.

    (經(jīng)檢驗方程(a2-2a)k2+2b(1-a)k+b2-1=0有兩個不同實根).

    點撥在解題過程中,靈活抓住信息特征,利用出現(xiàn)的兩組數(shù)所滿足的式子的相同特征來構(gòu)建二元一次方程,或者利用出現(xiàn)的兩個數(shù)的和與積來構(gòu)建一元二次方程,靈活解決圓錐曲線中的綜合性問題。

    三、 存在性問題

    為考查學(xué)生的猜想,推理和探索能力,近幾年全國各地的數(shù)學(xué)高考試卷在圓錐曲線這部分內(nèi)容上設(shè)置了一系列的存在性問題,給原本靜態(tài)的問題賦予了動態(tài)活力,使問題更具開放性,對考生的考查更直觀,區(qū)分度更大。

    【例3】設(shè)b>0,橢圓方程為x22b2+y2b2=1,拋物線方程為x2=8(y-b).如圖所示,過點F(0,b+2)作x軸的平行線,與拋物線在第一象限的交點為G.已知拋物線在點G的切線經(jīng)過橢圓的右焦點F1.

    (1) 求滿足條件的橢圓方程和拋物線方程;

    (2) 設(shè)A、B分別是橢圓長軸的左、右端點,試探究在拋物線上是否存在點P,使得△ABP為直角三角形?若存在,請指出共有幾個這樣的點?并說明理由(不必具體求出這些點的坐標(biāo)).

    分析本題主要考查直線、橢圓、拋物線等平面解析幾何的基礎(chǔ)知識,考查學(xué)生綜合運用數(shù)學(xué)知識進行推理的運算能力和解決問題的能力。第一問運用代數(shù)方法結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解;第二問直角三角形的直角頂點未知,需分類討論,再結(jié)合向量知識得出等量關(guān)系。

    解(1) 解方程組y=b+2,

    x2=8(y-b),(x>0)得x=4,

    y=b+2,∴點G的坐標(biāo)為(4,b+2),由y=18x2+b,得y′=14x,∴在點G的切線l的斜率為k=y′|x=4=14×4=1,∴切線方程為y=x+b-2.令y=0,得x=2-b.又由橢圓方程得F1(b,0),∴2-b=b,得b=1.即橢圓方程和拋物線方程分別為x22+y21=1和x2=8(y-1).

    (2) 分別過點A、B做y軸的平行線,分別交拋物線于M、N點,∠MAB=90°,∠NBA=90°,得△ABM,△ABN為直角三角形.

    若以∠APB為直角,設(shè)P點坐標(biāo)為x,18x2+1,A、B兩點的坐標(biāo)分別為(-2,0)和(2,0),PA?PB=x2-2+18x2+12=164x4+54x2-1=0.關(guān)于x2的二次方程有一正解,∴x有兩解,即以∠APB為直角的Rt△ABP有兩個,

    綜上所述,滿足條件的點共有4個.

    點撥第(1)問求橢圓與拋物線的方程是解析幾何考查的“熱點”,利用代數(shù)法去解決幾何問題的思想方法,利用導(dǎo)數(shù)的運算工具就能求得,難度系數(shù)不大;

    第(2)的設(shè)計是本題的亮點,通過一個開放性問題,考查學(xué)生分類討論的數(shù)學(xué)思想方法,在考慮∠APB為直角時,考查了學(xué)生利用向量的工具性作用的能力以及關(guān)于一元二次方程根的特征判別的能力。

    牛刀小試

    1. 雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右準線l2與一條漸近線交于點P,F是與l2相應(yīng)的焦點.延長FP分別交左準線l1和左支于Q,R,若Q為RP的中點,則雙曲線的離心率e=.

    2. P、Q、M、N四點都在橢圓x2+y22=1上,F(xiàn)為橢圓在y軸正半軸上的焦點.已知PF與FQ共線,MF與FN共線,且PF?MF=0.求四邊形PMQN的面積的最小值和最大值.

    3. 橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率e為22,右焦點為F,右準線l交x軸于T,過橢圓上頂點A作右準線l的垂線,垂足為D,線段DF與橢圓的交點是M.試問:是否存在λ使TA=λTM成立?若存在,求出λ的值;若不存在,試說明理由.

    【參考答案】

    1. 易得Pa2c,abc,Q-a2c,a(a2+c2)bc,由中點坐標(biāo)公式得,R-3a2c,a(3a2+c2)bc,將其代入雙曲線的方程得9a2c2-a2c23a2+c2b22=1,即9e2-1e2e2+3e2-12=1.令1e2=t,得25t2-10t+1=0,解得t=15,得e=5.

    2. 如圖,由條件知MN和PQ是橢圓的兩條弦,相交于焦點F(0,1),且PQ⊥MN,直線PQ、NM中至少有一條存在斜率,不妨設(shè)PQ的斜率為k,又PQ過點F(0,1),

    故PQ的方程為y=kx+1.

    將此式代入橢圓方程得(2+k2)x2+2kx-1=0.

    設(shè)P、Q兩點的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),

    則x1=-k-2k2+22+k2,x2=-k+2k2+22+k2.

    從而|PQ|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=8(1+k2)2(2+k2)2,

    亦即|PQ|=22(1+k2)2+k2.

    ①當(dāng)k≠0時,MN的斜率為-1k,

    同上可得:|MN|=221+-1k22+-1k2.

    (下轉(zhuǎn)第46頁)

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