立體幾何專題強(qiáng)化

通性通法Tong Xing Tong Fa通性通法Tong Xing Tong Fa類型一空間中點線面位置關(guān)系的證明

【例1】如圖，平面PAC⊥平面ABC，點E、F、O分別為線段PA、PB、AC的中點，點G是線段CO的中點，AB=BC=AC=4，PA=PC=22．

求證：（1） PA⊥平面EBO；

（2） FG∥平面EBO．

分析（1） 可利用“線線垂直”來證明“線面垂直”。先證明OE⊥PA，BO⊥PA；

（2） 證明直線與平面平行常用的方法有：一是判定定理（線線平行推出線面平行）；二是面面平行的性質(zhì)定理（面面平行推出線面平行）。

證明由題意可知，△PAC為等腰直角三角形，△ABC為等邊三角形．

（1） 因為O為邊AC的中點，所以BO⊥AC，

因為平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，

BO計矯鍭BC，所以BO⊥平面PAC．

因為PA計矯鍼AC，所以BO⊥PA，

在等腰三角形PAC內(nèi)，O，E為所在邊的中點，所以O(shè)E⊥PA，

又BO∩OE=O，所以PA⊥平面EBO.

（2） 連接AF交BE于Q，連接QO．

因為E、F、O分別為邊PA、PB、PC的中點，

所以AOOG=2，且Q是△PAB的重心，

于是AQQF=2=AOOG，所以FG∥QO.

因為FGて矯鍱BO，QO計矯鍱BO，所以FG∥平面EBO．

點撥要證“線面平行”，也可以轉(zhuǎn)化為證“面面平行”，通過取PE的中點H，利用平面FGH∥平面EBO證得。

類型二存在性問題

【例2】在長方體ABCDA1B1C1D1中，E,F分別是AD,DD1的中點，AB=BC=2，過A1、C1、B三點的平面截去長方體的一個角后.得到如圖所示的幾何體ABCDA1C1D1，且這個幾何體的體積為403.

（1） 求A1A的長；

（2） 在線段BC1上是否存在點P，使直線A1P與C1D垂直，如果存在，求線段A1P的長，如果不存在，請說明理由.

分析(1) 求幾何體ABCDA1C1D1的體積通過補形。

（2） ①存在性的問題，可通過分析——下結(jié)論——證明。

②若在線段BC1上存在點P，使A1P與C1D垂直。由三點D1,A1,P確定的平面交CC1于Q。由于C1D與A1D1垂直，只要C1D與D1Q垂直即可。

（3） 在直角梯形A1PQD1中可求線段A1P的長。

解（1） ∵VABCDA1C1D1=VABCDA1B1C1D1-VBA1B1C1

=2×2×AA1－13×12×2×2×AA1

=103AA1=403,∴AA1=4.

（2） 在平面CC1D1D中作D1Q⊥C1D交CC1于Q，過Q作QP∥CB交BC1于點P，則A1P⊥C1D.

因為A1D1⊥平面CC1D1D,C1D計矯鍯C1D1D,∴C1D⊥A1D1，而QP∥CB,CB∥A1D1,∴QP∥A1D1，

又∵A1D1∩D1Q=D1,∴C1D⊥平面A1PQD1，

且A1P計矯鍭1PQD1,∴A1P⊥C1D.

∵△D1C1Q∽△C1CD,∴C1QCD=D1C1C1C,

∴C1Q=1,又∵PQ∥BC,∴PQ=14BC=12.

∵四邊形A1PQD1為直角梯形，且高D1Q=5,∴A1P=2－122+5=292.

類型三立體幾何中的最值問題

【例3】如圖，在四棱錐PABCD中，PD⊥平面ABCD，四邊形ABCD是菱形，AC＝6，BD＝8，E是PB上任意一點，△AEC面積的最小值是3．

（1） 求證：AC⊥DE；

（2） 求四棱錐PABCD的體積．

分析（1） 要證明線線垂直即證明線面垂直，即證AC⊥平面PDB；

（2） 求四棱錐的體積，關(guān)鍵是求出高PD的長，可以通過△AEC面積的最小值是3轉(zhuǎn)化求出。

證明(1)連接BD，設(shè)AC與BD相交于點F．

因為四邊形ABCD是菱形，所以AC⊥BD．

又因為PD⊥平面ABCD，AC計矯鍭BCD，所以PD⊥AC．

而PD∩BD＝D，所以AC⊥平面PDB．

E為PB上任意一點，DE計矯鍼DB，

所以AC⊥DE．

（2） 連接EF．由（1），知AC⊥平面PDB，EF計矯鍼DB，所以AC⊥EF．

S△ACE＝12AC?EF，在△ACE面積最小時，EF最小，則EF⊥PB．

S△ACE＝3，12×6×EF＝3，解得EF＝1．

由△PDB∽△FEB，得PDEF=PBFB．

由于EF＝1，F(xiàn)B＝4，PB=PD2+64，

所以PB＝4PD，即PD2+64=4PD．

解得PD＝81515．

VPABCD＝13S鰽BCD?PD＝13×24×81515

＝641515．

牛刀小試

1. 如圖，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AB=4，BC=CD=2,AA1=2,E、E1分別是棱AD、AA1的中點.

（1） 設(shè)F是棱AB的中點,證明：直線EE1∥平面FCC1；

（2） 證明:平面D1AC⊥平面BB1C1C.

2. 已知正三角形PAD所在的平面與直角梯形ABCD垂直，AB⊥AD，AB∥CD，且AD=DC=2,AB=4.在線段PD上是否存在一點M，使得AM∥平面PBC.

3. 如圖，斜三棱柱ABCA1B1C1中，A1C1⊥BC1，AB⊥AC，AB=3，AC=2，側(cè)棱與底面成60°角.

（1） 求證：C1點在平面ABC上的射影H在直線AB上；

（2） 求此三棱柱體積的最小值.

【參考答案】

1. （1） 在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，取A1B1的中點F1，

連接A1D，C1F1，CF1，因為AB=4，CD=2,且AB∥CD，

所以CD

瘙 綊 A1F1，A1F1CD為平行四邊形，所以CF1∥A1D，

又因為E、E1分別是棱AD、AA1的中點，所以EE1∥A1D，

所以CF1∥EE1，又因為EE1て矯鍲CC1，CF1計矯鍲CC1，

所以直線EE1∥平面FCC1.

（2） 連接AC,在直棱柱中，CC1⊥平面ABCD,AC計矯鍭BCD,

所以CC1⊥AC,因為底面ABCD為等腰梯形，AB=4，BC=2,

F是棱AB的中點,所以CF=CB=BF，△BCF為正三角形，

∠BCF=60°,△ACF為等腰三角形，

且∠ACF=30°，

所以AC⊥BC,又因為BC與CC1都在平面BB1C1C內(nèi)且交于點C,

所以AC⊥平面BB1C1C,而AC計矯鍰1AC,

所以平面D1AC⊥平面BB1C1C.

2. 假設(shè)PD上存在點M，使得AM∥平面PBC.

在平面PDC內(nèi)過點M作MN∥DC交PC于N,連接BN,

則面AMNB∩面PBC=NB

AM∥面PBC

AMっ鍼BC軦M∥NB，

又MN∥CD

CD∥AB軲N∥AB，

所以平面AMNB是平行四邊形，

所以MN=AB.

這與MN

所以假設(shè)不成立，

即在線段PD上不存在一點M，使得AM∥平面PBC.

3. （1） 由棱柱性質(zhì)，可知A1C1∥AC.

∵A1C1⊥BC1，∴AC⊥BC1，

又∵AC⊥AB，∴AC⊥平面ABC1，

又AC計矯鍭BC，∴平面ABC⊥平面ABC1，在平面ABC1內(nèi)，過C1作C1H⊥AB于H，則C1H⊥平面ABC，故點C1在平面ABC上的射影H在直線AB上.

（2） 連接HC，由（1）知C1H⊥平面ABC，

∴∠C1CH就是側(cè)棱CC1與底面所成的角，

∴∠C1CH=60°，C1H=CH?tan60°=3CH,

V棱柱=S△ABC?C1H=12AB×AC×C1H

=12×3×2×3CH=33CH.

∵CA⊥AB，∴CH≥AC=2，

∴棱柱體積最小值為33×2=63.

(作者：魯鋒，江蘇省平潮高級中學(xué))階段測試Jie Duan Ce Shi階段測試Jie Duan Ce Shi階段測試(一)第1頁