轉(zhuǎn)化與化歸：解三角題的利器

漆光宗

通過(guò)對(duì)前面兩篇文章的學(xué)習(xí)，相信同學(xué)們對(duì)轉(zhuǎn)化與化歸思想已經(jīng)有了一定的了解，匈牙利著名數(shù)學(xué)家路莎·彼得在名著《無(wú)窮的玩藝》中曾指出：“數(shù)學(xué)家們往往不是對(duì)問(wèn)題進(jìn)行正面攻擊，而是不斷地將它變形，直到把它轉(zhuǎn)變成能夠解決的問(wèn)題，”實(shí)際上，中學(xué)數(shù)學(xué)中，這種化歸方法的應(yīng)用無(wú)處不在.下面就以我們剛剛學(xué)習(xí)的三角函數(shù)為例，來(lái)進(jìn)一步領(lǐng)略運(yùn)用轉(zhuǎn)化與化歸思想解題的魅力.

一、把待求角轉(zhuǎn)化為已知角，實(shí)現(xiàn)角的變換

看來(lái)轉(zhuǎn)化與化歸思想的運(yùn)用應(yīng)遵循從簡(jiǎn)的原則，即轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決或容易解決的問(wèn)題，需要注意觀察與發(fā)現(xiàn)已知條件與所求問(wèn)題的聯(lián)系，這里特別是已知角與所求角的關(guān)系，角的轉(zhuǎn)化是簡(jiǎn)化運(yùn)算的關(guān)鍵.

常見(jiàn)的單角化復(fù)角的變換方式有：

三角函數(shù)中的公式比較多，我們?cè)诮忸}時(shí)必須善于用聯(lián)系的觀點(diǎn)去觀察角與角之間的關(guān)系，采用轉(zhuǎn)化與化歸的思想，把復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題來(lái)解決.另外三角公式中的α和β是任意的，它們可以是單角也可以是復(fù)角，同時(shí)角與角之間的關(guān)系不是固定不變的，在一定條件下它們是相互轉(zhuǎn)化的.

二、將求角的問(wèn)題化歸為求三角函數(shù)值

分析 觀察結(jié)論，要求α+β，可以將目標(biāo)化歸為求角α+β的某一個(gè)三角函數(shù)值，比如正弦或余弦，它們應(yīng)該都是特殊值，再結(jié)合角的范圍求出角來(lái).

為什么算正弦會(huì)多了一個(gè)值呢？在求解之前我們?cè)趺慈ヅ袛鄳?yīng)該算哪個(gè)函數(shù)呢？從函數(shù)角度來(lái)看這個(gè)問(wèn)題，其實(shí)是已知函數(shù)值，求自變量的問(wèn)題，因?yàn)閍+p∈（0，π），余弦函數(shù)在（0，π）上是單調(diào)的，一個(gè)函數(shù)值只對(duì)應(yīng)一個(gè)自變量，而正弦函數(shù)在（0，π）上不單調(diào)，先增后減，一個(gè)函數(shù)值對(duì)應(yīng)著兩個(gè)自變量，因此應(yīng)該利用單調(diào)性來(lái)做出判斷，選取恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)加以計(jì)算.

那算正切行嗎？正切函數(shù)在（0，π）上單調(diào)嗎？增，做出圖象（如圖1），發(fā)現(xiàn)一個(gè)函數(shù)值也只對(duì)應(yīng)著一個(gè)自變量.因此，只要選取滿足一個(gè)函數(shù)值對(duì)應(yīng)一個(gè)自變量的函數(shù)就可以.通過(guò)這個(gè)例子，我們更能體會(huì)到，轉(zhuǎn)化與化歸還得遵循等價(jià)性.

三、利用y=sin x的圖象與性質(zhì)解決三角函數(shù)問(wèn)題

一般有關(guān)三角函數(shù)的定義域與值域問(wèn)題，最值問(wèn)題，以及對(duì)函數(shù)單調(diào)性、周期性等性質(zhì)的研究，通常借助化歸思想，利用輔助角公式將函數(shù)解析式變形為y=Asin（ωx+φ+b（或y=Acos（ωx+φ+b）的形式，再利用前文《千變?nèi)f化終歸一》中介紹的方法將函數(shù)y=Asin（ωx+φ）+b（或y=Acos（ωx+φ）+b）的性質(zhì)研究轉(zhuǎn)化為利用函數(shù)y=sinx（或y=cosx）的圖象和性質(zhì)解決問(wèn)題.

四、部分三角函數(shù)的最值問(wèn)題可化歸為二次函數(shù)最值問(wèn)題來(lái)解決

分析 先利用三角函數(shù)的基本公式的變形，利用倍角公式降冪，再配方利用化歸思想將問(wèn)題轉(zhuǎn)換為二次函數(shù)的最值問(wèn)題來(lái)解決.

故當(dāng)sin2x=-1時(shí)y取得最大值10，當(dāng)sin2x=l時(shí)y取得最小值6.

利用化歸思想解題時(shí)，轉(zhuǎn)化的途徑和方法不一定相同，但有一個(gè)共同的規(guī)律，就是在待解決的問(wèn)題和已解問(wèn)題之間架起一座聯(lián)系的橋梁，在解綜合題時(shí)，由于有些條件比較隱蔽，或所給的條件比較分散，或是所求的結(jié)論比較復(fù)雜，這時(shí)我們就更需要熟練運(yùn)用化歸的思想，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為我們比較熟悉的問(wèn)題，從而較快地找到解題思路.