一種基于矩陣三對角化分解的DOA估計算法?

邱新建，山拜·達拉拜，薛鳳鳳（.新疆大學信息科學與工程學院智能信號處理實驗室，烏魯木齊80046；2.解放軍68207部隊，甘肅酒泉75000；.空軍工程大學電訊工程學院，西安70077）

一種基于矩陣三對角化分解的DOA估計算法?

邱新建1，2，山拜·達拉拜1，薛鳳鳳3
（1.新疆大學信息科學與工程學院智能信號處理實驗室，烏魯木齊830046；2.解放軍68207部隊，甘肅酒泉735000；3.空軍工程大學電訊工程學院，西安710077）

針對DOA（Direction of Arrival）估計在低信噪比的情況下估計性能下降的問題，根據(jù)陣列協(xié)方差矩陣共軛對稱的特點，采用基于Givens變換的三對角化分解方法對協(xié)方差矩陣進行三對角化，同時利用蓋氏（Gerschgorin）圓遞推方法準確估計信號子空間的秩，然后再對三對角矩陣進行對角化，估計出噪聲子空間，利用噪聲子空間與導向矢量正交實現(xiàn)波達方向估計，改善了低信噪比背景下估計的誤差性能和穩(wěn)健性。計算機仿真證明了算法的有效性。

陣列信號處理；DOA估計；三對角化分解；Givens變換；子空間估計

1 引言

波達方向估計現(xiàn)在已經(jīng)被廣泛應用于通信、雷達、聲納等眾多領域，最常用的算法是Schmit提出的多重信號分類（Multiple Signal Classification，MUSIC）算法［1］。對MUSIC算法進行改進的算法很多，這些算法步驟大致相同，都需要先對陣列的協(xié)方差矩陣進行特征分解，通過比較分解得到的特征值的數(shù)值大小來分離信號子空間和噪聲子空間，然后利用噪聲子空間與信號導向矢量的正交特性來估計信號到達方向。當在低信噪比時協(xié)方差矩陣特征值的擾動會非常大，分離信號子空間與噪聲子空間將變得很困難，估計得到的值方差很大，往往難以滿足實際要求。文獻［2-3］通過引入多級維納濾波器（Multistage Wiener Filter，MSWF）提高了DOA估計的抗噪性能和分辨率，但該類算法依賴于參考信號的先驗知識，而在實際中先驗知識很難得到。文獻［4-5］將生物進化算法與DOA估計問題結合起來，有效地克服了噪聲的影響，但是生物進化算法計算量大，一方面很難滿足實時要求，同時也難將這種算法向多維方面推廣，應用范圍有限。

本文通過分析樣本協(xié)方差矩陣，采用三對角化分解等一些數(shù)學工具，能夠降低估計方差，同時提高噪聲子空間估計值的準確度，尤其在低信噪比的情況下性能更優(yōu)越。

2 信號模型

信號模型如圖1所示，陣列為N元直線陣，陣元間距為d，假設陣元均為各向同性陣元，P個信號入射到陣列天線，入射角為θi（i=1，2，…，P），則陣列數(shù)據(jù)可表示為

A為陣列流型矩陣，σ2為噪聲方差。

3 算法描述

3.1 對稱三對角化過程

任何實方陣都可以通過初等旋轉變換或者初等反射變換正交相似于上Hessenberg矩陣，而陣列協(xié)方差矩陣RX為實對稱矩陣時，RX正交相似于三對角矩陣。

證明：設T為旋轉變化的正交矩陣，由已知可得：

所以RX只能正交相似于對稱三對角矩陣。

現(xiàn)在設陣列協(xié)方差矩陣RX=（rij）n×n，取RX后n-1個元素記為

將分解得到的對稱三對角矩陣表示為A=（aij）n×n。

3.2 子空間估計

這里根據(jù)Gerschgorin圓定理［7］，矩陣A的特征值包含在它所有的蓋氏圓的并區(qū)間內。現(xiàn)在根據(jù)矩陣遞推各個蓋氏圓的半徑。

記ΛΔ=（rij）n×n，半徑表示為ρ，蓋氏圓的半徑遞推算法如下。

（1）首先根據(jù)ΛΔ得出第一個半徑

通過上述算法遞推得到ρi（i=1，2，…，n-1）（第n個元素必定為噪聲特征值），則信號子空間列數(shù)的判定準則為

將ρi代入上式，滿足條件的i的取值即為信源數(shù)P。

通過分解可得算法的基本步驟如下：

第一步：對稱三對角分解RX=U

第三步：V=QU得：

第四步：由估計出的噪聲子空間UN可得到信號的空間譜為

其中，a（θ）為空間搜索角度的導向矢量。

4 仿真實驗

在Matlab 2010b平臺下編程，從均方根誤差、算法的穩(wěn)健性和分辨率3個方面來證明本文算法的有效性，分別比較文獻［1］中的MUSIC算法、文獻［2-3］中的MSWF算法，以及文獻［4-5］中的基于粒子群的算法，下面將其表示為PO（Particle Swarm Optimization）算法。實驗中陣列為8個陣元的均勻直線陣，且陣元各向同性，陣元間距為半波長。信號從｛-20°，0°，20°｝3個方向入射，噪聲為時空高斯白噪聲。

4.1 均方誤差實驗

圖2為在不同信噪比的情況下4種算法估計的均方根誤差比較，快拍數(shù)為256。從圖中可以看出，當信噪比高于0 dB時，4種算法的誤差性能基本相同；當信噪比低于-5 dB時，本文算法的性能明顯優(yōu)于其余3種算法，這說明本文算法降低了對噪聲的敏感性，當信噪比在0 dB到15 dB之間時，本文算法和MSWF算法的性能優(yōu)于其余兩種算法，這充分說明了本文算法的有效性。

4.2 快拍數(shù)影響實驗

通過快拍數(shù)和譜峰搜索失敗概率來衡量本文算法的數(shù)值穩(wěn)健性?？炫臄?shù)對均方根誤差的影響反映的是算法在陣列協(xié)方差矩陣估計不準確的情況對估計結果的影響，譜峰搜索失敗概率反映的是在噪聲干擾的情況下算法對子空間估計的準確程度的依賴，從圖3可以看出，在低信噪比時本文算法的性能最先開始好轉，當信噪比上升至0 dB時，MSWF算法的性能與本文算法相當，且優(yōu)于其余兩種算法。

將信噪比變?yōu)?5 dB，其余仿真條件不變，圖4為快拍數(shù)對均方根誤差的影響。仿真結果表明數(shù)據(jù)在150次快拍數(shù)以下時，本文算法表現(xiàn)出了很好的性能，優(yōu)于MSWF算法；當高于150次快拍時兩者性能相當，可以看出本文算法的穩(wěn)健性遠高于其他算法。

頒獎典禮上，最大的主角還是來自全國各地的明星阿姨們。站在聚光燈下，阿姨們感情真摯的獲獎感言，贏得了現(xiàn)場與會人員的陣陣掌聲。聽到宣讀自己的名字，來自福建廈門的盛海霞興奮不已。站在領獎臺上，她激動地說“非常感謝蘭心獎給我們阿姨一個展示自己的舞臺。360行，行行出狀元。今后，我對我從事的職業(yè)會更加感到自豪。我要用自己的案例告訴身邊的朋友：一定要用心做事，甘于奉獻?！?/p>

4.3 分辨率實驗

將信號源設置成兩個，入射角度為｛45°，50°｝，為了減少噪聲對估計結果的影響，將信噪比調整為15 dB。采樣快拍數(shù)為256，圖5顯示了各種算法對5°差異的兩個信號的分辨能力。從圖中可以看出，本文算法的譜峰最“尖銳”，能完全分辨兩個信號，其余算法的性能都有下降，PO算法已無法分辨兩個信號。

5 結論

本文抓住了低信噪比時DOA估計性能差的關鍵，即大的噪聲方差對子空間構成了很大的擾動，給估計值造成很大的方差，使從分解得到的特征值中無法正常估計噪聲子空間，通過使用三對角化分解和Gerschgorin圓理論遞推出圓的半徑，從而獲得了較好的子空間估計結果，降低了特征值的方差。仿真表明，本文算法在誤差性能、穩(wěn)健性和分辨率方面取得了很好的效果，說明本文對DOA估計算法的改進是有效的。本文算法也還存在很多改進之處：

（1）DOA估計的性能與所采用的陣型有很大的關系，本文算法是在最基本的平面陣列的基礎上進行的，對于其他的陣列性能如何，需要進一步分析和仿真；

（2）本文算法的計算量比MUSIC算法略大，在實時性要求高的系統(tǒng)中可能會滿足不了要求。

總之，如何既要滿足低方差、高穩(wěn)健性、高分辨率而又要提高實時性是譜估計研究的屏障，作者將在這方面進行深入的研究。

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［2］Witzgall H E，Goldstein J S.Detection performance of the reduced-rank linear predictor ROCKET［J］.IEEE Transactions on Signal Processing，2003，51（7）：1731-1738.

［3］于紅旗，劉劍，黃知濤，等.基于多級維納濾波的MU

SIC方法［J］.信號處理，2007，23（6）：937-940.

YU Hong-qi，LIU Jian，HUANG Zhi-tao，et al.A music algorithm based on multi-stage wiener filter［J］.Signal Processing，2007，23（6）：937-940.（in Chinese）

［4］刁鳴，袁熹，高洪元，等.一種新的基于粒子群算法的

DOA估計［J］.系統(tǒng)工程與電子技術，2009，31（9）：2046 -2049.

DIAO Ming，YUAN Xi，GAO Hong-yuan，et al.New method of estimating direction-arrival of moving Sources based on particle swarm algorithm［J］.Systems Engineering and Electronics，2009，31（9）：2046-2049.（in Chinese）

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swarm optimization（PSO）to single-snapshot direction of arrival（DOA）estimation［C］／／Proceedings of 2007 IEEE Antennas and Propagation Society International Symposium. Madrid：IEEE，2007：5287-5290.

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［7］張賢達.現(xiàn)代信號處理［M］.北京：清華大學出版社，2002. ZHANG Xian-Da.Modern signal processing［M］.Beijing：Tsinghua University Press，2002.（in Chinese）

QIU Xin-jian was born in Nanzheng，Shaanxi Province，in 1984.He received the B.S.degree in 2008.He is now a graduate student.His research direction is array signal processing.

Email：tonggong0412＠163.com

山拜·達拉拜（1959—），男，新疆烏魯木齊人，2000年獲博士學位，現(xiàn)為教授，主要研究方向為智能信號處理與陣列信號處理；

SENBAI Dalabaev was born in Urumqi，Xinjiang Uyer Autonomous Region，in 1959.He received the Ph.D.degree in 2000. He is now a professor.His research interests include intelligent signal processing and array signal processing.

薛鳳鳳（1986—），女，陜西西安人，2008年獲學士學位，現(xiàn)為講師，主要研究方向為陣列信號處理。

XUE Feng-feng was born in Xi′an，Shaanxi Province，in 1986.She received the B.S.degree in 2008.She is now a lecturer.Her research direction is array signal processing.

A DOA Estimation Algorithm Based on Matrix Tri-diagonal Decomposition

QIU Xin-jian1，2，SENBAI Dalabaev1，XUE Feng-feng3
（1.Intelligent Signal Processing Laboratory，College of Information Science and Engineering，Xinjiang University，Urumqi830046，China；2.Unit68207 of PLA，Jiuquan 735000，China；3.Telecommunications Engineering Institute，Air Force Engineering University，Xi′an 710077，China）

The direction of arrival（DOA）estimation performance declines in low signal-to-noise ratio（SNR）. According to the array covariance matrix conjugate symmetricalcharacteristic，tri-diagonaldecomposition based on Givens transformation is adopted to three diagonalize covariance matrix，at the same time the cover′s round recursive method is used to estimate signalsubspace ofrank accurately，and then diagonalize the three diagonalmatrix，estimate the noise subspace，and utilize the orthogonal of noise subspace and wire vector to realize DOA estimation.The estimation error and robustness under the low SNR condition are improved.Computer simulation proves the efficiency of the method.

array signal processing；DOA estimation；tri-diagonal decomposition；Givens transformation；subspace estimation

The National Natural Science Foundation of China（No.60971130）

TN911

A

10.3969／j.issn.1001-893x.2012.03.013

邱新建（1984—），男，陜西南鄭人，2008年獲學士學位，現(xiàn)為碩士研究生，主要研究方向為陣列信號處理；

1001-893X（2012）03-0318-05

2011-09-28；

2012-01-04

國家自然科學基金資助項目（60971130）