關(guān)于極大子群的s－完備和s－θ完備

高 輝， 高勝哲， 尹 麗

（大連海洋大學(xué)理學(xué)院，遼寧大連 116023）

關(guān)于極大子群的s－完備和s－θ完備

高 輝， 高勝哲， 尹 麗

（大連海洋大學(xué)理學(xué)院，遼寧大連 116023）

通過s－完備和s－θ完備的概念，揭示了它們之間的關(guān)系，并通過它們研究群的可解性和超可解性.

極大子群；s－完備；s－θ完備；可解；超可解

Deskins在文［1］中引入了有限群的極大子群的完備概念，并研究了極大完備的性質(zhì)對有限群結(jié)構(gòu)的影響.但由于完備對商群不具有遺傳性，無法使用歸納法.為解決這一問題，文［2］中引入了極大子群的θ－偶的概念，這一方法為研究有限群的結(jié)構(gòu)提供了一個很好的工具.為了揭示極大子群的完備與θ－偶之間的內(nèi)在聯(lián)系，文［3］中引入了極大子群的θ－完備這一概念.但以往的研究都是通過極大完備或極大θ－完備來研究群的結(jié)構(gòu)，為了得到更好的結(jié)論，將對賦予的“極大”這一條件去掉，文［4］和文［5］中分別給出了極大子群的s－完備和s－θ完備這一概念.本文通過它們的概念來研究它們的聯(lián)系，同時得到了群的可解性及超可解性的一些新的判別準則.

1 預(yù)備引理

引理1設(shè)Σ是具有對子群遺傳和同態(tài)不變的群論性質(zhì)，M是G的極大子群，C是M的s－完備使得C／K（C）是Σ－群，則下列結(jié)論之一成立：

（i）MG?C，則存在關(guān)于M的一個正規(guī)θ－完備C1使得C1／MG是Σ－群；

（ii）MG≤C，則C是M的s－θ完備；

（iii）MG≤C，則C是M的θ－完備，但C不是M的s－θ完備，即存在關(guān)于M的一個正規(guī)θ－完備C＊使得C是C＊的極大子群.

證（i）若MG?C，則CMG不是M的完備.否則，由C＜CMG，設(shè)K＜CMG，使C是K的極大子群，由文獻［4］引理2.2知，K是M的完備.而C是M的s－完備，由s－完備的定義得K不是M的完備，矛盾.所以K（CMG）?M，于是存在G的主因子C1／B且C1?M，BM＝M，從而K（C）MG≤B＜C1≤K（CMG）≤CMG.因此C1／B是Σ－群.顯然B＝MG和C1是M的正規(guī)θ－完備.

（ii）若MG≤C，則C＝CMG∈θI（M）.顯然K（C）＝MG.若C是M的正規(guī)θ－完備，則C是M的s－θ完備，即（ii）成立.

（iii）若C是M的非正規(guī)θ－完備，在θI（M）中取極小者C＊使C?C＊，則C是C＊的極大子群.因C是M的s－完備，由s－完備的定義C＊?I（M），即存在A?C＊且A?G，但A?M.若AMG＜C＊，則AMG／MG是C＊／MG的非平凡正規(guī)子群，矛盾.所以AMG＝C＊且C＊?G.

引理2設(shè)M是G的極大子群，C是M的s－完備（s－θ完備）使得C／K（C）（C／MG）是冪零且G＝MC.假設(shè)K／MG是G／MG的唯一極小正規(guī)子群且K／MG非可解，則C／MG是2－群且｜G∶M｜＝2的方冪.

證若MG?C，由引理1知K／MG冪零，矛盾.因此MG?C且K（C）＝MG.若C不是M的s－θ完備，由引理1知C／MG是K／MG的極大子群且Z（K／MG）＝1.由文［6］的Rose定理知C／MG是K／MG的Sylow 2－子群.于是｜G∶M｜＝｜C／MG∶M／MG∩C／MG｜＝2的方冪.

若C是M的s－θ完備，設(shè)C是H的極大子群，則H不是M的θ－完備.于是CK＝H.因H／MG非可解且Z（H／MG）＝1.由文［6］中的Rose定理知C／MG是H／MG的Sylow 2－子群且｜G∶M｜＝2的方冪.

2 主要結(jié)果

定理1設(shè)G是有限群，則下列條件是等價的：

（i）G可解；

（ii）對于G的每個c－極大子群M，存在關(guān)于M的s－完備C使C／K（C）冪零，或者Sylow 2－子群的冪零類≤2或者G＝MC；

（iii）對于G的每個c－極大子群M，存在關(guān)于M的s－θ完備C使C／MG冪零，或者Sylow 2－子群的冪零類≤2或者G＝MC.

證 （i）?（ii）.由G可解知，G的主因子皆為交換群.對于任意的極大子群M，令集合A＝｛U｜U?G，G＝UM｝非空，在A中取極小者C，則C是M的一個正規(guī)完備，當然C是M的一個s－完備.而C／K（C）是G的一個主因子，則（ii）成立.

（ii）?（iii）.由引理1知，只需考慮情形（iii），則K（C）＝MG，C／MG是K／MG的極大子群，其中K∈θI（M）且K／MG是G／MG的極小正規(guī)子群，于是K是M的s－θ完備.若Sylow 2－子群的冪零類≤2，由D－J－T定理得K／MG可解，從而K／MG交換.若G＝MC，下證K／MG可解.假設(shè)K／MG非可解且設(shè)本原群G／MG有兩個極小正規(guī)子群，則它們均是M／MG在G／MG的補.特別地，K／MG∩M／MG＝1，矛盾.因C／MG是非可解K／MG的冪零極大子群，由引理2知，C／MG∈Syl2（K／MG）且｜G／MG∶M／MG｜＝2的方冪.

假設(shè)L／MG是G／MG的任意無核的極大子群，若｜G／MG∶L／MG｜＝素數(shù)r≠2，則K／MG∩L／MG∈Syl2（K／MG）.由Burnside的paqb階群可解知，K／MG可解，矛盾.若｜G∶L｜＝合數(shù)，由題設(shè)知，存在關(guān)于L的s－完備D，使D／K（D）冪零.若Sylow 2－子群的冪零類≤2，則K／MG可解，矛盾.所以G＝LD.又L／MG的核為1，則LG＝MG.若LG?D，則G的主因子A／LG冪零，矛盾.于是LG＝MG＝K（D），由引理2知｜G∶L｜＝2的方冪.由文［7］中Baer引理知，G／MG有非平凡的可解正規(guī)子群，所以K／MG可解，矛盾.

（iii）?（i）.設(shè)G是滿足條件的極小階反例.顯然Fc（G）≠且G非單群，設(shè)N是G的極小正規(guī)子群且設(shè)Fc（G／N）≠Φ，對于?M／N∈Fc（G／N），則M∈Fc（G）.由文［5］中的引理3.3知，G／N也滿足定理的條件.所以G／N可解，設(shè)N是G的唯一極小正規(guī)子群且N非可解.

若N非可解，則N?L（G），即存在G的極大子群H1∈Fc（G），則G＝H1N且H1G＝1，由題設(shè)知存在關(guān)于H1的s－θ完備C使C冪零，顯然C不是G的正規(guī)子群.否則N≤C，而C冪零，于是N可解，矛盾.由文［5］的引理3.4知，C是E＝CN的極大子群.若Sylow 2－子群的冪零類≤2，由D－J－T定理知，E可解，故N可解，矛盾.從而G＝H1C，由文［6］中的Rose定理知，C∈Syl2（E）.

設(shè)L是G的任意核為1的極大子群，則G＝LN.若｜G∶L｜＝素數(shù)r≠2，不失一般性，假設(shè)C≤L使C是H的極大子群.由s－θ完備知，H不是H1的θ－完備.故存在G的正規(guī)子群包含在H中，所以H＝CN.若C（N∩L）＝CN，則C（N∩L）＝CN＝H，所以N≤L，矛盾.于是N∩L≤C，于是｜N｜＝2ar，所以N可解，矛盾.所以｜G∶L｜＝2.

若｜G∶L｜＝合數(shù)，由題設(shè)知存在關(guān)于L的s－θ完備D，使D冪零，若D的Sylow 2－子群的冪零類≤2，則N可解，矛盾.所以G＝LD，由引理2知｜G∶L｜＝2的方冪.所以N可解，矛盾.

定理2設(shè)G是有限群，則下列條件是等價的：

（i）G超可解；

（ii）對于G的每個M∈Uη（G）＝｛M｜Gu≮M，η（G∶M）含有平方因子｝，存在關(guān)于M的s－完備C，使CG／K（C）循環(huán)；

（iii）對于G的每個M∈Uη（G），存在關(guān)于M的s－θ完備C，使CG／MG循環(huán).

證 （i）?（ii）.類似定理1.

（ii）?（iii）.對于引理1的情形（i），存在正規(guī)s－θ完備C1使／MG＝C1／MG可解.考慮引理1的情形（iii），則K（C）＝MG且C／MG是K／MG的極大子群，其中K∈θI（M）且K是M的正規(guī)θ－完備.由G／MG可解，而K／MG是G／MG的極小正規(guī)子群，則K／MG可解，于是K／MG＝KG／MG交換.

（iii）?（i）.首證G可解.假設(shè)G非可解并且G是一個極小階反例.選取N?G具有盡可能大的階使得G／N非可解，那么G／N有唯一極小正規(guī)子群U／N且U／N非可解，從而U／N≤（G／N）u≤GuN／N.

若Uη（G／N）＝?，由文［9］定理1得G／N可解，矛盾.所以對任意M／N∈Uη（G／N），即存在M∈Uη（G），由假設(shè)存在關(guān)于M的s－θ完備C，使CG／MG循環(huán)，由U／N的唯一極小性知，N＝MG且U／N≤CG／N可解，矛盾.

其次證G超可解.不妨設(shè)G非單，令N是G的極小正規(guī)子群且設(shè)Uη（G／N）≠?.由文［5］引理3.3知G／N滿足定理的條件，由G的極小性得G／N超可解且設(shè)N是G的唯一極小正規(guī)子群.于是Φ（G）＝1，即存在G的極大子群H使得G＝HN且HG＝1.因N≤Gμ，故Gμ不包含在H中.若η（G∶H）無平方因子，則η（G∶H）＝｜N｜＝p，矛盾，其中p是｜G｜的某個素因子.于是H∈Uη（G），由題設(shè)知，存在關(guān)于H的s－θ完備C，使CG循環(huán).因CG≠1且CG?G，由N≤CG循環(huán)群，矛盾.

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［4］Li Shi－rong，Zhao Yao－qing.Ons－completions of maximal subgroups of finite groups［J］.Algebra Colloquium，2004，11：411－420.

［5］杜妮，李世榮.關(guān)于有限群極大子群的強θ－完備［J］.數(shù)學(xué)年刊，2006，27A（2）：279－286.

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［10］徐明耀，等.有限群導(dǎo)引（上、下冊）［M］.北京：科學(xué)出版社，1999.

Ons－Completions ands－θCompletions for Maximal Subgroups

GAOHui，GAOSheng－zhe，YINLi
（Science Institute，Dalian Ocean University，Dalian，Liaoning 116023，China）

By the concepts ofs－completions ands－θcompletions，their relationships are revealed.And the solvability，supersolvability of a finite group are studied by using their concepts.

maximal subgroups；s－completions；s－θcompletions；solvability；supersolvability

O152.1

A

1672－1454（2012）04－0092－03

2010－03－10