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    關(guān)于四元數(shù)體上矩陣對角化的幾個定理

    2012-03-27 02:38:32韋剛和
    常熟理工學院學報 2012年10期
    關(guān)鍵詞:對角共軛角化

    韋剛和

    (鹽城生物工程高等學校機械工程系,江蘇鹽城 224051)

    關(guān)于四元數(shù)體上矩陣對角化的幾個定理

    韋剛和

    (鹽城生物工程高等學校機械工程系,江蘇鹽城 224051)

    近年來矩陣對角化理論研究得到了充分的發(fā)展,并且在分析方法、研究領(lǐng)域、研究的深度和廣度上都有了突破.但在四元數(shù)體上,由于四元數(shù)乘法的非交換性,人們對四元數(shù)體上矩陣對角化的研究甚少.對四元數(shù)體上矩陣對角化進行研究,得到了幾個重要結(jié)論.

    四元數(shù)體;矩陣對角化;定理

    1 引言與符號約定

    矩陣對角化問題不僅可解決數(shù)學中的非線性規(guī)劃問題、數(shù)學計算問題等,而且在計算物理、量子力學中都有重要的應(yīng)用.矩陣對角化理論研究近年來得到充分的發(fā)展,并且在分析方法、研究領(lǐng)域、研究的深度和廣度上都有了突破[1-5].但在四元數(shù)體上,由于四元數(shù)乘法的非交換性,人們對四元數(shù)體上矩陣對角化的研究甚少.本文對四元數(shù)體上矩陣對角化進行了研究,得到了幾個重要結(jié)論.

    文中,用R表示實數(shù)域,Q表示實四元數(shù)體,Qm×n表示m×n階四元數(shù)矩陣的全體,Qn×n表示實四元數(shù)體Q 上n階矩陣的集合,SCn(Q)表示自共軛四元數(shù)矩陣全體,Qn表示Q上n維右列空間,用A*=-A′表示A的共軛轉(zhuǎn)置.

    2 基本概念

    定義1設(shè)Q是一個實四元數(shù)體,A∈Qn×n,如果存在四元數(shù)0≠a∈Q與n維非零列四元數(shù)向量α,使得Aα=α·a,稱a是A的一個右特征值,α為A的對應(yīng)于右特征值a的右特征向量;如果存在四元數(shù)0≠b∈Q與n維非零列四元數(shù)向量β,使得Aβ=b·β,稱b是A的一個左特征值,β為A的對應(yīng)于左特征值b的左特征向量[6].

    定義2設(shè)矩陣A∈Qn×n,如果A*=A,則稱矩陣A為四元數(shù)自共軛矩陣.

    定義3設(shè)A∈Qn×n,如果A*A=AA*,則稱A為四元數(shù)正規(guī)矩陣.

    定義4設(shè)矩陣A∈Qn×n,如果A*A=AA*=In,則稱矩陣A為四元數(shù)酉矩陣.

    定義5設(shè)矩陣A,B∈Qn×n,如果存在酉矩陣U∈Un×n,使得B=U-1AU,則稱矩陣A與矩陣B是酉相似.

    3 兩個重要引理[7]

    引理1設(shè)矩陣A∈SCn(Q),則存在酉矩陣U∈Un×n,使得

    其中λ1,λ2…,λn∈R.

    引理2設(shè)矩陣A=(aij)∈Qn×n,則矩陣A為正規(guī)矩陣的充分必要條件是矩陣A酉相似于對角陣,即存在酉矩陣U∈Un×n,使得

    其中λ1,λ2,…,λn∈C,且為矩陣A的n個右特征值.

    4 主要結(jié)果

    定理1設(shè)矩陣A為n階自共軛四元數(shù)矩陣,矩陣B為n階正規(guī)四元數(shù)矩陣[8].則存在n階廣義酉矩陣U,使U*AU與U*BU都為對角矩陣的充要條件是AB=BA.

    證明先證必要性:存在n階廣義酉矩陣U,使U*AU與U*BU都為對角矩陣,即存在酉矩陣U∈Un×n,使得

    其中a1,a2,…,an為矩陣A的特征值,b1,b2,…,bn為矩陣B的n個右特征值.根據(jù)引理1和引理2知道,a1,a2,…,an為實數(shù),b1,b2,…,bn為復數(shù).從而有

    得AB=BA.

    再證充分性:因為矩陣A為n階自共軛四元數(shù)矩陣,則存在酉矩陣U1∈Un×n,使得

    為了方便起見,把相同的特征值進行合并,不妨設(shè)合并后的式子為

    其中a1,a2,…,as(s≤n)為互不相同的實數(shù).這時我們記矩陣B0=BU1,則顯然矩陣B0是正規(guī)矩陣.由于AB=BA,易知A0B0=B0A0.令B0=(Bij)為與A0分法相同的分塊矩陣,由A0B0=B0A0,知:

    由于B0是正規(guī)矩陣,則有Bii() i=1,2,…,s均為正規(guī)矩陣,由引理2知,存在四元數(shù)酉矩陣V1,V2,…,Vs,使得

    均為復對角矩陣.

    這時取

    則對于矩陣B有

    對于矩陣A有

    從而,矩陣U*AU也為對角矩陣.

    定理2設(shè)矩陣A,B均為n階自共軛四元數(shù)矩陣,則存在n階廣義酉矩陣U,使U*AU與U*BU都為對角矩陣的充要條件是AB=BA.

    證明因為自共軛四元數(shù)矩陣必是正規(guī)矩陣,從而根據(jù)定理1,定理2得證.

    定理3設(shè)矩陣A,B為Qn×n上的自共軛矩陣,且矩陣B正定,則有可逆矩陣P∈Qn×n,使得

    證明由于矩陣B是四元數(shù)自共軛正定矩陣,則存在可逆矩陣P0∈Qn×n,使得

    令P=P0U,則P可逆,且

    [1]莊瓦金.體上矩陣理論導引[M].北京:科學出版社,2006.

    [2]李文亮,四元數(shù)矩陣[M].長沙:國防科技大學出版社,2002:6.

    [3]屠伯塤.正性除環(huán)上矩陣的正定自共軛分解[J].數(shù)學雜志,1989(3):11-16.

    [4]屠伯塤.四元數(shù)矩陣的UL分解[J].復旦大學學報(自然科學版),1989(2):45-49.

    [5]莊瓦金.四元數(shù)矩陣的特征值與奇異值不等式[J].自然雜志,1989(4):27-32.

    [6]姜同松,陳麗.四元數(shù)體上矩陣的廣義對角化[J].應(yīng)用數(shù)學和力學,1999,20(11):1203-1210.

    [7]莊瓦金.四元數(shù)矩陣的極分解及其GL偏序[J].數(shù)學進展,2005(2):5-9.

    [8]陳龍玄.四元數(shù)矩陣的Jordan標準形[J].應(yīng)用數(shù)學和力學,1996(6):581-585.

    Several Matrix Diagonalization Theorems on the Quaternion

    WEI Gang-he
    (Department of Mechanical Engineering,Yancheng Higher Vocational School of Biological Engineering,Yancheng 224051,China)

    In the recent years,matrix diagonalization theoretical research has been fully developed,and has achieved a breakthrough in the analysis methods,research areas,the depth and breadth of research.But on the Quaternion body,the quaternion multiplication is non-exchangeable,and there has been little study of matrix diagonalization on the quaternion.In this paper,some study is made of the quaternion matrix diagonalization,and several important conclusions are reached.

    the quaternion matrix;diagonalization;theorem

    O151

    A

    1008-2794(2012)10-0037-04

    2012-09-12

    韋剛和(1974—),男,江蘇鹽城人,講師,碩士,研究方向:微積分.

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