加性白噪聲下基帶延遲鎖定環(huán)跟蹤精度的計算

余金峰,楊文革,路偉濤,孟生云

(1.裝備學院, 北京101416;2.中國洛陽電子裝備試驗中心,河南 洛陽471003)

1 引 言

在擴頻測量系統(tǒng)和衛(wèi)星導航系統(tǒng)中,接收機完成了信號的捕獲之后,就轉入對接收信號的跟蹤。本地參考信號對接收信號的跟蹤包括載波和擴頻碼序列跟蹤兩部分。載波的跟蹤采用鎖相環(huán)技術(PLL),擴頻碼序列的同步跟蹤通常采用延時鎖定環(huán)路(DLL)。DLL 與PLL 在技術原理上是一致的,都是通過反饋環(huán)路來實現(xiàn)輸出信號對輸入信號的跟蹤與同步,其差異在于產(chǎn)生誤差信號的相位鑒別器不同。在PLL 中,環(huán)路的誤差信號是由鑒相器或乘法器產(chǎn)生的,而在DLL 中,環(huán)路的誤差信號是由延遲鎖定鑒別器產(chǎn)生的。

在測量和導航設備中,測距功能的實現(xiàn)是以擴頻碼的跟蹤為基礎的。在噪聲環(huán)境下,噪聲與輸入信號一同進入同步跟蹤環(huán),使得環(huán)路輸出信號也受到噪聲的影響,使跟蹤信號產(chǎn)生跟蹤抖動,從而影響測距性能。因此,碼跟蹤環(huán)在高斯白噪聲下的跟蹤精度是測控和導航系統(tǒng)中的一個重要問題。文獻[1-4]中都對這一問題進行了研究。

文獻[1]在對碼鑒相器建模時,對輸入信號和噪聲采取了不同的處理方法,輸入信號與本地信號進行相關運算,也就是相乘并積分的過程,而對噪聲則僅考慮了相乘運算,繞過了積分過程。這樣處理的結果是使得鑒相器輸出端的噪聲仍然是白噪聲,該白色噪聲特性與積分時間無關。此噪聲經(jīng)環(huán)路濾波后在輸出端產(chǎn)生噪聲,也就使得給出的跟蹤精度公式與環(huán)路帶寬有關,而與積分時間無關。

文獻[2]中則考慮了積分過程對噪聲的作用,沒有把噪聲當白色噪聲處理,但其沒有對噪聲進行全面分析,僅給出了噪聲的方差,該方差與積分時間有關。同時,文獻[3]中還以鑒相器等效輸入噪聲特性代替環(huán)路輸出端等效噪聲特性作為環(huán)路跟蹤精度,忽略了環(huán)路對等效輸入噪聲的作用,這實際上是降低了環(huán)路對噪聲的抑制作用。所以,其給出的精度公式與積分時間有關,而與環(huán)路帶寬無關。

本文在已有研究的基礎上,系統(tǒng)研究了碼跟蹤環(huán)在加性白噪聲下的跟蹤精度問題。在碼鑒相器中,將輸入信號與輸入噪聲作同樣的相關處理,得到了等效輸入噪聲相關特性和功率譜密度,并考慮跟蹤環(huán)路對噪聲的作用,最終得到了跟蹤環(huán)路輸出信號的跟蹤精度,使得兩種不同的結論得到了統(tǒng)一。

2 碼延遲鑒別器的等效線性模型

在系統(tǒng)穩(wěn)定工作的情況下,接收機載波環(huán)能夠提供相干載波。因此,在分析碼跟蹤精度時,可以忽略載波的作用,采用基帶模型。數(shù)據(jù)信號D(t)在延遲鎖定環(huán)中的作用是影響相關積分結果的極性,使得一直為正的相關積分結果隨著數(shù)據(jù)位極性的變化而改變。但通過對積分結果的處理,可以消除數(shù)據(jù)位極性的影響,只是積分時間的選擇應避免跨越數(shù)據(jù)位的跳變。因此,本文不考慮數(shù)據(jù)位的影響。

基帶相關延遲鎖定環(huán)由延遲鑒別器、回路濾波器、壓控振蕩器和碼產(chǎn)生器等組成,其結構如圖1 所示。圖1 中,延遲鎖定環(huán)把接收信號與超前碼和滯后碼進行相關處理,相關處理的結果相當于在相關函數(shù)峰的上升沿和下降沿分別進行采樣。兩個采樣信號的差值是本地碼和輸入碼之間延遲差的非線性函數(shù)。對采樣信號通常采用稱為零搜索的控制方式,也就是說,零搜索方式控制本地碼的延遲,使得超前相關器與滯后相關器輸出信號差別趨零。超前和滯后相關器之間的固定時間間隔稱為相關器間距,通常用碼元Tc為單位來表示, dTc表示相應的時間間距。

圖1 碼延遲鎖定環(huán)結構圖Fig.1 The structure diagram of DLL

設輸入信號r(t)為輸入碼和噪聲之和:

式中, Cx(t-τ)為輸入碼信號分量, n(t)為輸入基帶噪聲分量。本節(jié)討論信號分量。

超前和滯后支路的輸出信號SE和SL為

記Δτ=τ- τ,上式用相關函數(shù)表示為

鑒別函數(shù)通過將滯后采樣減去超前采樣得到:

鑒別函數(shù)如圖2 所示,圖中所示為d=1 時的情形,其圖形簡稱為S 曲線。其中間部分呈現(xiàn)線性特性,靠近原點處的斜率為

圖2 碼延遲鎖定環(huán)鑒別函數(shù)(d=1)Fig.2 The function of discriminator in DLL when d=1

因此,對于碼延遲差Δτ=(τ- τ)來說,等效鑒相器增益為k′d=2 C/Tc。鑒相器等效框圖如圖3(a)所示。鑒相器輸出信號vd為

圖3 碼延遲鎖定環(huán)鑒相器等效框圖Fig.3 Equal effects of the discriminator in DLL

對于經(jīng)碼元時間Tc 相位化后的碼延遲相位差Δτ/Tc=(τ- τ)/Tc 來說,等效鑒相器增益為kd =2 C。相應的鑒相器等效框圖如圖3(b)所示。鑒相器輸出信號vd為

式(6)與式(7)的輸出信號相等。

3 同步跟蹤回路輸入噪聲的等效處理

本節(jié)討論在碼延遲鑒相器輸入輸出端的噪聲分量。假設輸入噪聲是均值為零、功率譜密度為N0/2的白噪聲。

設噪聲在超前與滯后支路的輸出信號分別為

兩個支路的差值Nd(t)為

Nd(t)的均值為零,相關函數(shù)為

對上式求傅里葉變換,得Nd(t)的功率譜密度:

因此,鑒相器輸出端的Nd(t)是均值為零、功率譜密度為SNd(f)的噪聲。Nd(t)的相關函數(shù)和功率譜密度如圖4 所示。

圖4 鑒相器輸出端噪聲的相關函數(shù)和功率譜密度Fig.4 The correlation function and PSD of the noise in discriminator

如前所述,碼延遲鑒相器的等效增益kd=2 C,Nd(t)在鑒相器輸入端的等效輸入可記為Nτ/Tc:

則Nτ/Tc均值為零,功率譜密度為

由上述討論可知,輸入噪聲經(jīng)碼延遲鑒相器處理之后,相當于在等效線性鑒相器輸入端碼延遲相位信號τ/Tc上附加了一個均值為零、功率譜密度由式(13)表示的非白噪聲Nτ/Tc。

4 碼延遲鎖定環(huán)等效線性相位模型

設回路濾波器傳輸函數(shù)為F(f), 沖激響應為h(t)。回路濾波器的輸出v(t)是鑒相器輸出vd(t)與h(t)的卷積積分:

濾波器的輸出信號v(t)送往VCO 作為控制信號,通過控制振蕩器的振蕩頻率來調(diào)整本地碼的時延,使本地碼延遲與輸入碼延遲的差值趨零。

根據(jù)VCO 輸出信號與控制電壓的關系,可以寫出以下的相位關系等式:

式中, f0是VCO 靜態(tài)工作頻率, k0是VCO 的控制靈敏度。

整理上式,并以積分算子p 代替積分號,可得:

由上式可得回路方程:

由回路方程可給出碼跟蹤環(huán)的等效相位模型圖,如圖5 所示。

圖5 碼延遲鎖定環(huán)等效線性相位模型Fig.5 The equivalent linear phase model of DLL

回路閉環(huán)傳遞函數(shù)HL(s)為

5 加性白噪聲下碼跟蹤精度計算

在第3 節(jié)中已經(jīng)說明,鑒相器輸出的噪聲分量Nd,在鑒相器等效增益為kd的情況下,可以等效為鑒相器輸入端的等效碼延遲噪聲Nτ/Tc,其等效模型如圖5 中虛線框中所示。

利用環(huán)路閉環(huán)傳輸函數(shù)H(j2πf)和輸入相位噪聲功率譜密度SNτ/Tc(f),可求得輸出相位噪聲功率譜密度SNτ/Tc(f)為

環(huán)路輸出端等效相位噪聲方差為

對上式的計算,根據(jù)積分帶寬(1/T)與環(huán)路帶寬BL的關系,可以采用兩種簡化方法:第一種是當環(huán)路帶寬遠小于積分帶寬時,環(huán)路帶寬對輸出相位噪聲起主要作用,簡化積分帶寬的作用;第二種是當積分帶寬遠小于環(huán)路帶寬時,積分帶寬對輸出相位噪聲起主要作用,簡化環(huán)路帶寬的作用。

第一種情況下,環(huán)路帶寬遠小于積分帶寬,可以用輸入噪聲零頻率處的譜密度來近似計算輸出噪聲的譜密度:

從而,整個環(huán)路的碼延遲跟蹤精度為

第二種情況下,積分帶寬遠小于環(huán)路帶寬,可以用傳遞函數(shù)零頻率處的值來近似計算輸出噪聲的譜密度:

從而,整個環(huán)路的碼延遲跟蹤精度為

由式(20)可以看出,環(huán)路跟蹤精度不僅與相關器間距d、碼元寬度Tc 和信噪比C/N0有關,還與積分時間T 和環(huán)路閉環(huán)傳遞函數(shù)HL(j2πf)有關。在對式(20)進行簡化處理后,可以得到式(22)和(24)。在式(22)和(24)中,d 、Tc和C/N0是一樣的,不同的是兩式中分別有參數(shù)T 和BL,并且1/T 和2BL具有相同的位置。對兩個公式的選擇,取決于積分時間T和環(huán)路帶寬BL 的相對關系,選用數(shù)值小者進行計算,因為它對噪聲的濾波起主要作用。同時,在設計跟蹤環(huán)路時,也可以根據(jù)情況靈活選擇參數(shù),對一個參數(shù)提高要求時,對另一個參數(shù)就可以適當放寬要求。

6 有關結論的比較與分析

文獻[1]中,在對鑒相器建模時,對碼信號和噪聲采取了不同的處理方法?？紤]了積分器對信號的作用,而忽略了積分器對噪聲的作用,這樣的處理使得輸出端仍然是白色噪聲,實際上是忽略了積分器對噪聲的過濾作用。而由本文前述內(nèi)容可以看出,輸入端白噪聲經(jīng)積分器作用后,在輸出端不再是白色噪聲,而是功率譜有效寬度與積分時間T 有關的有色噪聲,其相關函數(shù)成三角形,功率譜密度成S2a(x)形。

同樣在文獻[1]中,對環(huán)路輸出端噪聲的處理是以相位抖動的方式給出的,沒有給出以碼延遲抖動形式表示的跟蹤精度。本文給出了以跟蹤環(huán)輸出端噪聲標準差作為跟蹤精度的計算方法,更為直接,更為合理。對文獻[1]中給出的公式作進一步的推導,可以得到與式(22)相同的表達式。因此,可以認為,文獻[1]中的結論符合本文討論的第一種情況,適合于環(huán)路帶寬較小、對輸出相位噪聲起主要作用的情況。

文獻[2]中則是以輸入端的碼延遲抖動標準差作為跟蹤精度,忽略了跟蹤環(huán)路對噪聲的過濾作用,其給出的計算公式與式(24)相同。所以,文獻[2]中的結論符合本文討論的第二種情況,適合于積分帶寬較小、對輸出相位噪聲起主要作用的情況。

綜上所述,可以認為,本文的討論綜合了文獻[1]和文獻[2]中兩個相矛盾的結論,分析了兩個結論的適用情況,是對兩者的統(tǒng)一。

7 結束語

本文在已有研究的基礎上探討了加性白噪聲下基帶碼延遲跟蹤環(huán)跟蹤精度的計算問題。以基帶碼延遲鑒別器的等效相位模型為基礎,研究了在線性鑒別器特性下輸入加性噪聲的等效模型,得到了鑒相器輸出端有色噪聲的相關函數(shù)和功率譜密度公式;推導了以跟蹤環(huán)輸出端噪聲標準差作為跟蹤精度的計算方法;在積分時間和環(huán)路帶寬分別起主導作用的情況下,得到了跟蹤精度的兩種簡化計算方法,兩種簡化方法的結果分別與有關文獻的結果相一致,使兩種不同的結論得到了統(tǒng)一。文中給出的結果是以有關研究為基礎的,并進行了一定的改進和拓展,所得結果要更為合理和全面。

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