基于EMD－小波隨機消噪模型的GPS/INS組合導航

王 堅 李增科 高井祥 王金嶺

(1 中國礦業(yè)大學國土環(huán)境與災害監(jiān)測國家測繪局重點實驗室，徐州221116)

(2 中國礦業(yè)大學環(huán)境與測繪學院，徐州221116)

(3 澳大利亞新南威爾士大學測繪與空間信息學院，澳大利亞悉尼2052)

優(yōu)化導航模型及誤差補償算法是提高GPS/INS(global positioning system/inertial navigation system)組合導航精度的主要方式.陀螺儀及加速度計除受到元件本身固有觀測精度的影響，INS 原始觀測數(shù)據(jù)還受到系統(tǒng)協(xié)同作用帶來的高頻噪聲的影響，導致導航精度降低，已引起國內(nèi)外學者們的廣泛關注［1］.引入新的數(shù)據(jù)處理理論，發(fā)展精度更高的導航模型具有重要研究意義.Nassar［2］采用高階AR 模型，比較了Yule－Walker 法、協(xié)方差法和Burg 法在AR 模型參數(shù)求取方面的優(yōu)劣.吳富梅等［3］將小波閾值消噪引入GPS/INS 組合導航，對觀測數(shù)據(jù)進行消噪預處理.Guo 等［4］設計Butterworth 低通濾波對INS 原始數(shù)據(jù)濾波，消除了高頻噪聲，得到更高精度的觀測數(shù)據(jù).上述模型都可明顯提高GPS/INS 組合導航系統(tǒng)的定位精度.本文在分析INS 原始觀測數(shù)據(jù)誤差源的基礎上，利用經(jīng)驗模態(tài)分解的自適應和完全數(shù)據(jù)驅(qū)動的特征，提出INS 隨機誤差的經(jīng)驗模態(tài)小波分解模型，提高了GPS/INS 組合導航的精度.實測數(shù)據(jù)分析表明了本文方法的有效性.

1 系統(tǒng)誤差分析

從頻域的角度，可清晰地描述GPS/INS 組合系統(tǒng)的誤差分布及建模過程［5－6］.根據(jù)文獻［5］的研究，組合系統(tǒng)的誤差可分為長周期與短周期誤差，如圖1所示，其中fs為采樣頻率.通過組合導航算法及INS 計算可消除大部分誤差項(見圖2)，但由于導航算法及模型線性化等原因，仍存在殘余的長周期及短周期誤差.文獻［5］通過采用濾波方法對INS 原始數(shù)據(jù)濾波，預先消除殘余誤差，提高了導航精度.

圖1 GPS/INS 組合系統(tǒng)的誤差分析［5］

圖2 誤差消除后的數(shù)據(jù)信息［5］

2 組合導航模型

本文中慣性導航系統(tǒng)模型采用的狀態(tài)參數(shù)為24 維，包括9 個導航解誤差(xnav)、6 個加速度誤差模型參數(shù)(xacc)、3 個陀螺漂移(xgyro)、3 個重力誤差(xgrav)及3 個天線誤差(xant，由GPS 天線與INS 間的桿臂效應造成)［7-8］.載體運動過程中桿臂效應變化很小，在本模型中將桿臂效應作為偏心常數(shù)處理:

式中，δrN，δrE，δrD為位置誤差;δvN，δvE，δvD為速度誤差;δψN，δψE，δψD為姿態(tài)誤差;▽bx，▽by，▽bz為加速度偏心;▽fx，▽fy，▽fz為加速度尺度因子;εbx，εby，εbz為陀螺漂移;δgN，δgE，δgD為重力誤差;δLbx，δLby，δLbz為天線誤差.

狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣表達式為

式中，F(xiàn) 為系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣;w 為系統(tǒng)噪聲矩陣.

取GPS 和INS 輸出的位置之差作為觀測值，構(gòu)造觀測量z(t)［9］:

式中，rGPS(t)為GPS 的位置觀測值;rINS(0)，vINS(0)為INS 的初始位置和速度;α(t)為INS 所測得的加速度;rINS(t)為INS 的位置計算值.則卡爾曼量測方程為

式中，Hk為觀測矩陣;xk為狀態(tài)矩陣;vk為觀測噪聲，滿足高斯白噪聲特性.

3 EMD-小波隨機消噪模型

3.1 經(jīng)驗模態(tài)分解

EMD 將信號分解為滿足以下條件的固有模態(tài)函數(shù)(intrinsic mode function，IMF)［10］:①零點數(shù)目與極值點數(shù)目相同或至多相差1;②函數(shù)關于局部平均對稱.最終將信號表示成若干IMF 與單調(diào)殘差函數(shù)的和.一維信號x(t)的分解可表示為

式中，Gi(t)表示第i 個IMF;rn(t)為單調(diào)殘差函數(shù).EMD 算法采用所謂的“篩”完成，基本步驟為:

①求取信號x(t)的極值點;

②分別由極小值點與極大值點得包絡線emin(t)和emax(t);

③計算上下包絡的平均值emean(t)=(emin(t)+emax(t))/2;

④提取細節(jié)d(t)=x(t)－emean(t);

⑤令x(t)=d(t)，重復進行步驟①～④，直到d(t)為零均值，此時得到的d(t)即為一個IMF;

⑥計算殘差m(t)=x(t)－Gi(t);

⑦重復運算直到殘差不含IMF 函數(shù).

對EMD 分解過程進一步進行多尺度描述，定義EMD 求取IMF 的算子與求取殘差的算子分別為Fimf(·)與Fres(·)，則這2 個算子定義了類似高頻濾波與低頻濾波的過程.Fimf(·)算子包括EMD 分解過程的步驟①～⑤，獲得該尺度的高頻部分;Fres(·)指步驟⑥，計算對應分解尺度的殘差，即對應尺度的低頻部分.對低頻部分可繼續(xù)進行分解，從而實現(xiàn)多尺度的分解過程.原始第0 層尺度信號x0(t)采用原始信號x(t)表示，第i 尺度到第i+1 尺度的分解式可表示為

重構(gòu)式為

與基于濾波器的分析技術不同，此方法引入極值點距離進行局部尺度的確定，使得分解具有自適應和完全數(shù)據(jù)驅(qū)動的特征.EMD 結(jié)果表明這種分解過程是符合物理意義的，可得到近似周期，分解的經(jīng)驗模態(tài)量滿足瞬時頻率特征(Hilbert 譜)分析的條件，便于分析信號的瞬時特征用于特征提取.

圖3 EMD 多尺度分解結(jié)構(gòu)示意圖

3.2 EMD－小波模型

基于EMD 與小波降噪模型［11］，提出INS 原始觀測數(shù)據(jù)的隨機消噪模型.首先，對觀測數(shù)據(jù)(三軸速度增量及三軸角速度)x(t)進行EMD 分解，得到時變但平穩(wěn)的單分量信號;其次，確定高頻IMF(根據(jù)需要可以選擇不同數(shù)量的IMF)進行小波降噪［12］，發(fā)揮小波降噪對平穩(wěn)含噪信號的處理能力［13］，本文選擇前5 個IMF 進行小波閾值濾波去噪;最后，將降噪后的IMF 與沒有經(jīng)過去噪的IMF 相加獲得重構(gòu)后的信號［14－15］.圖4給出基于EMD 的小波閾值降噪流程圖，其中，imfi(i =1，2，…，n)為經(jīng)驗模態(tài)各分解層的模量，^x(t)為經(jīng)過小波EMD 閾值降噪后的數(shù)據(jù)信號.

圖4 EMD 與小波降噪模型

為確定高頻IMF，定義如下尺度標準化模量的累積均值［16］:

式中，mean(Gi(t)為Gi(t)的平均值;std(Gi(t))為Gi(t)的標準差.如果偏離零值，則尺度m 之前的模態(tài)分量為高頻IMF.從信號中提取的趨勢項可由下式給出［17］:

式中，de(·)表示小波消噪.EMD 濾波去噪法與小波方法都能最大限度地削弱測量的隨機誤差，但EMD 濾波去噪比小波方法更直接，且不受測不準原理及小波函數(shù)選擇的影響［18］，當噪聲較大時小波去噪穩(wěn)定性略優(yōu)于EMD.將兩者有效結(jié)合，更能發(fā)揮EMD 的自適應和完全數(shù)據(jù)驅(qū)動的特征，增強濾波效果［19］.

4 基于EMD-小波的組合導航技術路線

引入EMD［20］－小波模型，提出基于EMD－小波消噪的GPS/INS 組合導航技術路線［21－22］(見圖5).首先采用GPS 觀測的1 Hz 和2 Hz 的數(shù)據(jù)求解動態(tài)導航解，并對前一歷元及本歷元間100 Hz的INS 原始觀測數(shù)據(jù)累積，然后采用EMD－小波消噪模型對累積的INS 原始觀測數(shù)據(jù)去除高頻噪聲，對消噪后的數(shù)據(jù)進行INS 導航計算，得到位置和速度解.最后采用GPS 及INS 計算結(jié)果進行導航系統(tǒng)誤差計算，通過閉環(huán)反饋，實現(xiàn)導航解求解.為驗證EMD－小波方法的濾波效果，濾波前后GPS/INS 組合導航Kalman 濾波器選用相同的濾波參數(shù).

圖5 基于EMD-小波的組合導航

5 實例分析

運用本文提出的組合導航技術路線對實測數(shù)據(jù)進行分析，數(shù)據(jù)采集于2005年新南威爾士大學校園.陸用車輛分別在一個大范圍和相對較小的范圍按相同軌跡作重復運動.整個載體運動較為平滑，但在拐彎處和小范圍內(nèi)運動時載體狀態(tài)變化較大.采用2 臺徠卡530GPS 接收機和1 臺DQI－NP慣性測量單元進行實驗.其中，1 臺接收機架設在已知點上作為靜止參考基站，另1 臺接收機作為流動站和慣性測量單元一起安置在運動車輛頂端.DQI－NP 慣性測量單元的陀螺偏心和尺度因子分別為5(°)/h，500 ×10－6;加速度計的偏心和尺度因子分別為5 ×10－4g，800 ×10－6.INS 采集頻率為100 Hz，GPS 采樣周期為1 s，為對比濾波對INS 導航算法精度的影響，更新周期分別選用1 s 和2 s［23］.

采用經(jīng)驗模態(tài)分解原始觀測數(shù)據(jù)，以Z 方向的角速度觀測值(見圖6(a))為例說明INS 觀測數(shù)據(jù)的分離過程.首先對Z 方向的加速度觀測序列進行11 個尺度的分解，得到11 個模量與1 個趨勢項(見圖7).根據(jù)尺度標準化模量的累積均值確定前5 個分量為序列的高頻部分，運用小波消噪處理1～5 模量(imf1～imf5)，消噪后的結(jié)果如圖8所示.小波消噪后模態(tài)分量(imf′1～imf′5)替代消噪前的模態(tài)分量(imf1～imf5)，并與趨勢項重構(gòu)，形成消噪后的觀測數(shù)據(jù)(見圖6(b)).

圖6 Z 方向角速度觀測值

圖7 Z 方向角速度的EMD 分解

根據(jù)圖5進行組合導航計算，圖9(a)是組合周期為1 s 時導航計算值和參考值(RTK 值)的陸地運動軌跡比較圖，圖9(b)、(c)、(d)分別是在X，Y，Z 方向上導航計算值與參考值的比較.

圖8 基于EMD 的小波消噪

圖9 組合導航運動軌跡比較

在更新周期內(nèi)，將濾波前后INS 自主導航計算值和GPS－RTK 參考值比較，求得兩者的差值.圖10和圖11分別是組合周期為1 s 和2 s 時，濾波前后自主導航值和參考值的殘差.從圖10和圖11可看出，相對于濾波前，經(jīng)過EMD 小波消噪后的殘差值更接近于0，說明通過基于EMD 的小波消噪消除INS 中的誤差來提高自主導航精度是可行的，從而能夠進一步提高GPS/INS 組合導航精度.

圖10 導航計算值的殘差值(組合周期為1 s)

圖11 導航計算值的殘差值(組合周期為2 s)

表1和表2分別是組合周期為1 s 和2 s 時濾波前后的位置誤差比較.通過比較兩者的均方根誤差，可以看出濾波后的導航解要優(yōu)于濾波前.組合周期為1 s 時，X，Y，Z 方向上導航精度分別提高了9.07%(11 mm)、13.89%(30 mm)、35.14%(50 mm)，殘差最大值在3 個方向上分別減小了2.62%(9 mm)、19.54%(78 mm)、31.23%(100 mm);組合周期為2 s 時，X，Y，Z 方向上導航精度分別提高了17.82%(24 mm)、23.46%(60 mm)、22.48%(27 mm)，殘差最大值在3 個方向上分別減小了14.34%(36 mm)、28.85%(160 mm)、17.48%(42 mm).以上實驗結(jié)果表明，通過小波濾波可以有效地消除INS 原始觀測數(shù)據(jù)的噪聲，從而提高組合導航精度.圖12給出更新周期為1 s 時，在GPS 的447 416 和447 417 歷元之間，濾波前后INS 自主導航解在X，Y，Z 方向的對比圖.由于這些數(shù)據(jù)是在導航過程中截取的，因此存在一個初始差值.可以看出，隨著時間的推移，消噪前后的導航解的差值不是定值，而是有增大的趨勢，說明EMD－小波模型在消噪過程中取得了良好的效果.

表1 濾波前后的位置誤差(組合周期為1 s)m

表2 濾波前后的位置誤差(組合周期為2 s)m

圖12 INS 導航解比較

為進一步研究本文模型在不同GPS 中斷情況下對組合導航精度的影響，在數(shù)據(jù)處理過程中分別設置4 s 和6 s 的GPS 中斷，即GPS 對數(shù)據(jù)的更新周期為4 s 和6 s，結(jié)合前述組合周期為1 s 和2 s的實驗，比較各中斷周期在X，Y，Z 方向上的精度提高情況，結(jié)果如表3所示.

表3 不同GPS 中斷時間濾波前后的精度提高 %

由表3可看出，對于不同的GPS 中斷時間，EMD－小波濾波方法對位置解算精度提高都起到了一定的效果.當中斷時間較短時(1 s 和2 s)，濾波效果比較明顯;中斷時長增加(4 s 和6 s)，濾波效果有明顯減弱.隨著INS 自主導航時間變長，偏心等誤差產(chǎn)生積累，成為影響INS 解算精度的主要因素，而隨機誤差的影響減弱.說明在GPS 信號產(chǎn)生中斷，INS 自主導航過程中，既需要削弱隨機噪聲，又應減少系統(tǒng)誤差的積累，從而更好地提高導航精度.

6 結(jié)語

在分析GPS/INS 組合系統(tǒng)的誤差特性基礎上，提出基于EMD－小波模型的GPS/INS 組合導航技術路線，并通過實測數(shù)據(jù)驗證了模型的可行性.試驗數(shù)據(jù)計算表明，采用本文模型在INS 原始觀測數(shù)據(jù)消噪的基礎上，再進行組合導航計算能明顯提高導航精度.但由于EMD－小波模型實時計算需要在導航過程中采用滑動的方法對INS 數(shù)據(jù)進行累積，然后降噪，因而增加了導航的計算復雜度.

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