基于擴展孔徑ESPRIT算法的高精度無模糊二維DOA 估計

顧陳，何勁，李洪濤，朱曉華

(南京理工大學 電子工程系，江蘇 南京210094)

0 引言

二維DOA 估計是陣列信號處理的一個重要研究領域，在雷達、聲納、通信等領域有廣泛的應用?；谧涌臻g類的算法由于具有高分辨性能及計算簡單的特性，在過去的30年里受到了廣泛的研究。目前應用于DOA 估計研究領域中方法主要有多重信號分類法(MUSIC)［1］和旋轉不變子空間法(ESPRIT)［2］等。文獻［3］將MUSIC 算法應用于二維DOA 估計中，這是一種產生漸近無偏估計的高分辨率特征結構法，但是該算法需要進行二維搜索，運算量巨大。以ESPRIT 為代表的測向算法不用進行譜峰搜索可以有效的降低運算量，因而被廣泛的應用于二維及多維DOA 估計中。文獻［4］研究了基于三角形陣列的二維ESPRIT 算法和配對算法，文獻［5］提出一種無需搜索的低復雜度二維ESPRIT 相干分布源解耦估計算法，文獻［6］研究了基于分數(shù)階傅里葉域濾波的LFM 信號二維ESPRIT 算法，文獻［7］提出了一種基于總體最小二乘的相位平均ESPRIT 方法，文獻［8］提出了一種適用于任意陣列基于2D－ESPRIT 的DOA 頻率聯(lián)合估計算法，文獻［9］提出了基于ESPRIT 算法的等距二元矢量水聽器直線陣的二維DOA 估計方法，減少了矢量水聽器的冗余陣元。ESPRIT 算法雖然有運算量小的優(yōu)點，但其估計精度較低。增加傳感器之間的距離擴展陣列孔徑可有效地提高DOA 估計精度，但ESPRIT 算法與其他算法一樣，也同樣需要傳感器間的距離小于半波長避免得到模糊的估計值，當傳感器間的距離大于半波長時可以增加波達方向估計的精度，但是會得到一系列循環(huán)模糊的角度估計值。

為解決上述DOA 估計的模糊問題，文獻［10－11］分別提出了采用聲學矢量傳感器陣列和電磁矢量傳感器陣列的二維DOA 估計算法，其基本思想是利用聲學矢量傳感器和電磁矢量傳感器固有的DOA 信息對擴展孔徑帶來的模糊DOA 估計進行解模糊，以提高DOA 估計的精度。本文利用傳統(tǒng)的標量傳感器，提出一種基于雙平行擴展陣列孔徑的ESPRIT 算法(EA－ESPRIT).該算法可視為文獻［12］中提出的傳播算子算法的基于ESPRIT 算法的改進。同時，本文在給出EA－ESPRIT 算法的基礎上，分析了特征值相同情況下信號角度的配對方法。最后，論文通過計算機仿真結果驗證了提出算法的有效性。

1 信號模型

假設由4L +1 個天線陣元組成的x－y 平面上的雙平行均勻線陣，如圖1所示。4L +1 個天線陣元分為2 個子陣，子陣X 平行于x 軸，X1為其中第1～L 個傳感器，X2為其中第0～L－1 個傳感器，X3為其中第L+1～2L 個傳感器;子陣Y 平行于y 軸，Y1為其中第1～L 個傳感器，Y2為第0～L－1 個傳感器，Y3為第L +1～2L 個傳感器。子陣X 傳感器間沿x 軸的距離和子陣Y 傳感器間沿y 軸之間的距離分別為Δx和Δy，其取值遠大于半波長，子陣X 的傳感器間沿y 軸的距離和子陣Y 傳感器間沿x 軸的距離分別為dy和dx，其取值小于等于半波長。

圖1 陣列幾何結構Fig.1 Array geometry illustration

假設有K(K ＜L)個遠場窄帶非相干點信號入射到該陣列，入射信號的DOA 分別是{θ1，φ1}，…，{θK，φK}.以陣列X 的1 號傳感器作為基準，信源在基準點的復包絡分別為s1(t)，…，sK(t)，則陣列X1在t 時刻的接收信號矢量可表示為

其中:s(t)=［s1(t)，…，sK(t)］T為信號矢量;A =［a(θ1，φ1)，…，a(θK，φK)］為子陣X1的導向矢量;a(θk，φk)=［a1(θk，φk)，…，aL(θk，φk)］T，al(θk，φk)=ej2π/λ(xluk+ylvk)為第k 個獨立信源和第l 個傳感器之間的空間相位因子，其中uk=u(θk，φk)=sinθkcosφk，vk=v(θk，φk)=sinθksinφk為x 軸和y 軸的方向余弦，(xl，yl)為第l 個傳感器的方位;n1(t)=［n1(t)，…，nL(t)］T為子陣X1的接收噪聲，本文假設每個陣元的噪聲都為相互獨立的白色高斯隨機過程。

此時，陣列X2和陣列X3的在t 時刻的接收信號矢量可表示為

其中:n2(t)、n3(t)為子陣X2、X3的加性高斯白噪聲，Φu和Φv為K×K 的對角陣，其表達式分別為

同樣，我們可推導出陣列Y1、Y2與Y3在t 時刻的接收信號矢量為

其中:n4(t)、n5(t)和n6(t)分別為陣列Y1、Y2和Y3的加性高斯白噪聲;B 的結構與A 類似，Φv、Φu為K×K 的對角陣

由式(4)、式(5)和式(9)、式(10)可知，信號的方向余弦信息就包含于對角陣Φu、Φv和Φv、Φu中，因此可以由對角陣的估計值得到信號的二維DOA 估計值。

2 基于ESPRIT 的二維DOA 擴展孔徑算法

2.1 模糊x 軸方向余弦與非模糊y 軸方向余弦估計

首先將子陣X 的3 個陣列合并，即

求上式的協(xié)方差矩陣，并對其進行特征值分解可得

其中:Es，x為子陣X 協(xié)方差矩陣的大特征值對應特征矢量張成的信號子空間;En，x為小特征值對應特征矢量張成的噪聲子空間。由于信號子空間Es，x與導向矢量矩陣A 張成相同的空間，因此存在唯一的一個非奇異陣T，使得

因此由上式可得

在實際中，從有限的快拍中得到Es，x的估計值，此時式(14)不再成立，需要對其進行近似。本文采用最小二乘法(LS:Least Squares)進行近似，得到的Ψ 估計值為

由于dy≤0.5λ，因此由Ψv得到的y 軸的方向余弦估計為不模糊的

由式(14)可知Ψu和Ψv具有相同的特征向量矩陣，但實際計算中兩個特征值分解是獨立進行的，因此特征向量的排列順序是不同的，所以 需要對特征值的順序進行調整才能解出參數(shù)。設Tu和Tv分別為Ψu和Ψv特征值分解所得的特征向量矩陣，計算特征向量矩陣的乘積T－1vTu，假設ik為乘積Tv－1Tu第k 行中絕對值最大的元素。這樣，Tv的第k 列特征向量與Tu的第ik列特征向量為同一信號的，因此通過該方法來調整Ψu和Ψv的特征值順序得到第k 個信號配對的方向余弦估計

2.2 非模糊的x 軸余弦估計與模糊的y 軸余弦估計

求非模糊的x 軸方向余弦與模糊的y 軸方向余弦估計過程與上一節(jié)的方法類似，這里略去求解過程，只給出具體的估計值如下:

由于dx≤0.5λ，因此由Ψu得到的x 軸的方向余弦估計為不模糊的

隨后，構造由Ψv和Ψu特征值分解所得的特征向量矩陣的乘積(Fu)－1Fv，由于同一信號對應Fu和Fv的特征向量是完全相關的，因此由乘積的每一行中絕對值最大的一個元素的矩陣坐標 來調整Ψv和Ψu中對應的元素順序，可得到配對的方向余弦估計值。

2.3 方向余弦解模糊算法

其中，vl，k和表示為

類似的，x 軸的方向余弦為

其中，

最后，由以上得到解模糊后的模糊方向余弦估計值，得到 第k 個信號的二維DOA 估計值為

2.4 特征值相同情況下EA-ESPRIT 的配對算法

本節(jié)將研究特征值相等情況下EA－ESPRIT 算法的配對方法。當矩陣Ψ 存在相等或近似相等的ESPRIT 特征值時，存在不唯一的矩陣T 或F.這就說明不能再根據特征矢量進行方向余弦的配對。當陣列傳感器間距大于半波長時，特征值相等問題將會變得顯著。以Ψu具有相同特征值為例，即使信號源的方向余弦相差很大，u1≠u2，但如果u1=u2±此時，e－j2πΔxu1/λ= e－j2πΔxu2/λ，同樣會造成特征值相等問題。對此，本節(jié)采用一種新的基于子空間正交原理的配對方法，該算法利用子空間之間的正交關系構造代價函數(shù)，而無需利用Ψu的特征矢量，因此在Ψu具有相同特征值的情況下也能正確的得到配對的估計值。

對于子陣X 的陣列X1與X3，令z(t)為

求z(t)的協(xié)方差矩陣，并對其進行特征分解為

又令C 為

式中，k1，k2∈［1，K］.構造代價函數(shù)為

當k1=k2，即x 軸與y 軸方向余弦為同一信號時，導向矢量與噪聲子空間正交，代價函數(shù)F 值最小，此時可得到配對的與

類似的，當Ψv有相同的特征值時，可以對子陣Y 用上述方法，得到配對的與因此，該配對算法可以使EA－ESPRIT 算法在特征值相同情況下時也能得到正確的方向余弦估計值，下面用計算機仿真進行算法有效性驗證。

3 計算機仿真

假設有兩個等功率窄帶非相關信號入射到圖1所示天線陣中，天線陣的參數(shù)L =6，因此共有25 個傳感器。本文通過計算機仿真實驗來驗證算法的性能。

實驗1 通過實驗分析傳感器之間距離變化對EA－ESPRIT 算法性能的影響。本文提出的EA－ESPRIT 算法陣列模型如圖1所示，傳感器之間的距離為:dx=dy=0.5λ，Δx=Δy=－ Δ，兩個信號的方向余弦分別為u1=0.4，v1=0.7 和u2=0.15，v2=0.5，信噪比為20 dB.實驗為500 次Monte Carlo 實驗，快拍數(shù)N =700.圖2為信號的方向余弦參考估計與解模糊后的方向余弦估計的均方根誤差(RMSE)隨傳感器之間的距離Δ 變化的對比圖。由圖2可知，Δ 由1 倍波長變化為25 倍時，參考估計的RMSE 隨傳感器間距的增大保持不變，這一點是與理論相符的，表明了參考估計是低精度無模糊的。而解模糊估計的RMSE 隨傳感器間距的增大逐漸降低，且本文提出的解模糊算法的RMSE 值比參考算法小，可有效的提高估計精度。

圖2 EA－ESPRIT 解模糊算法與參考算法方向余弦估計的均方根誤差隨傳感器距離變化對比圖Fig.2 RMSE of DOA estimation of EA－ESPRIT algorithm and reference algorithm againstinter－sensor spacing

實驗2 通過實驗分析信噪比變化對EA－ESPRIT 算法性能的影響。傳感器之間的距離為:dx=dy=0.5λ，Δx=Δy=8λ，兩個信號的方向余弦分別為u1=0.4，v1=0.7 和u2=0.15，v2=0.5.實驗為500 次Monte Carlo 實驗，快拍數(shù)為1 000.圖3為信號的方向余弦參考估計與解模糊后的方向余弦估計的均方根誤差(RMSE)隨信噪比變化的對比圖。由圖3可知，參考估計與解模糊估計的RMSE 隨信噪比的增加而逐漸降低，且本文提出的EA－ESPRIT 算法的RMSE 值比參考算法小，在各個信噪比條件下性能均優(yōu)于參考估計算法。需要指出，當信噪比不低于10 dB 時，提出的算法可以明顯改進DOA 估計的精度。因此，提出的算法在信噪比不是很低，快拍數(shù)不是很少的應用背景下是一種有效的二維DOA 估計算法。

實驗3 通過實驗，比較特征值相等情況下EAESPRIT 算法的傳統(tǒng)配對算法［10－12］與本文提出的基于子空間正交配對算法性能對比。天線陣由25 個傳感器呈雙平行陣組成，傳感器之間的距離為:dx=dy=0.5λ，Δx=Δy=5λ，兩個信號的方向余弦分別為u1=0.4，v1=0.6 和u2=0.5，v2=0.6，信噪比SNR=10 dB.實驗為50 次Monte Carlo 實驗，快拍數(shù)為200.圖4為傳統(tǒng)配對算法與本文提出的配對算法性能對比圖。由圖可知，當特征值相等時，傳統(tǒng)配對算法已不能得到有效的估計，而基于子空間正交的配對算法能有效的估計信號的DOA.

圖3 EA－ESPRIT 解模糊算法與參考算法方向余弦估計的均方根誤差隨信噪比變化對比圖Fig.3 RMSE of DOA estimation of EA－ESPRIT algorithm and reference algorithm against SNRs

圖4 特征值相等時配對算法性能對比圖Fig.4 DOA estimation of the different pairing algorithms for the equivalent eigenvalues case

4 結論

本文提出了一種適用于擴展孔徑的ESPRIT 算法。該算法利用傳感器之間距離遠大于半波長的天線陣列構成雙平行陣來擴展孔徑，然后采用ESPRIT算法估計波達方向，最后以非模糊但低精度的方向余弦來解高精度但模糊的方向余弦。在給出EAESPRIT 算法的基礎上，本文還分析了特征值相同情況下基于子空間正交的信號角度配對新方法。本文分別將EA－ESPRIT 算法與傳統(tǒng)ESPRIT 算法、基于子空間的配對新算法與傳統(tǒng)配對算法進行對比，結果表明本文提出的算法性能均優(yōu)于傳統(tǒng)算法。

References)

［1］ Cheng Q，Hua Y.Further study of the pencil－MUSIC algorithm［J］.IEEE Trans.Aerosp.Electron.Syst.，1996，32(1):284－299.

［2］ Roy R，Kailath T.ESPRIT－estimation of signal parameters via rotational invariance techniques［J］.IEEE Trans.Acoust.Speech Signal Process.，1989，37(6):984－995.

［3］ Chan A，Litva J.MUSIC and maximum likelihood techniques on two－dimensional DOA estimation with uniform circular array［J］.Proceedings of the IEEE，Institute of Electrical and Electronics Engineers，Sonar and Navigation，1995，142(3):105－114.

［4］ Kuroda T，Kikuma N，Inagaki N.DOA estimation and pairing method in 2D－ESPRIT using triangular antenna array［J］.Electronics and Communications in Japan，2003，86 (6):59－68.

［5］ Guo X，Wan Q，Yang W.Low－complexity 2D coherently distributed sources decoupled DOA estimation method［J］.Science in China(Series F:Information Sciences)，2009，39(8):859－865.

［6］ 楊小明，陶然.基于分數(shù)階Fourier 變換和ESPRIT 算法的LFM 信號2D 波達方向估計［J］.兵工學報，2007，28(12):1438－1442.YANG Xiao－ming，TAO Ran.2D DOA estimation of LFM signals based on fractional Fourier transform and ESPRIT algorithm［J］.Acta Armamentarii，2007，28(12):1438－1442.(in Chinese)

［7］ Strobach P.Total least squares phased averaging and 3－D ESPRIT for joint azimuth－elevation－carrier estimation［J］.IEEE Trans Signal Process，2001，49(1):54－62.

［8］ 孫曉穎，陳建，林琳.基于時空處理的頻率與二維DOA 聯(lián)合估計算法［J］.通信學報，2009，30(8):39－44.SUN Xiao－ying，CHEN Jian，LIN Lin.Joint signal carrier frequency and 2D DOA estimation method based on space－time processing［J］.Journal on Communications，2009，30(8):39－44.(in Chinese)

［9］ 鄧大新，鄧大比，黃濱，等.采用等距二元矢量水聽器直線陣的二維波達方向估計［J］.兵工學報，2006，27(6):1023－1026.DENG Da－xin，DENG Da－bi，HUANG Bib，et al.Direction of arrival estimation using a uniform line array of two－component vector hydrophones［J］.Acta Armamentarii，2006，27(6):1023－1026.(in Chinese)

［10］ Wong K T，Zoltowski M D.Extended－aperture underwater acoustic multi－source azimuth/elevation direction－finding using uniformly but sparsely spaced vector hydrophones［J］.IEEE J Oceanic Eng，1997，22(10):659－672.

［11］ Zoltowski M D，Wong K T.ESPRIT－based 2－D direction finding with a sparse uniform array of electromagnetic vector sensors［J］.IEEE Trans Signal Process，2000，48(8):2195－2204.

［12］ He J，Liu Z.Extended aperture 2－D direction finding with a twoparallel－shape－array using propagator method［J］.IEEE Antennas Wirel Propag Lett，2009，8:323－327.