利用基于密度函數(shù)的隨機(jī)模擬濾波測算流通中的貨幣量

○ 李洪雨 曹 莉 顧維清

（重慶大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 重慶 401331）

一、引言

眾所周知，適度的流通中貨幣量有利于經(jīng)濟(jì)發(fā)展，而貨幣流通速度可以告訴我們貨幣政策能否有效地引起經(jīng)濟(jì)擴(kuò)展。Hudson B.Hastings（1923）曾為它們定義：流通中的貨幣量是通貨和某一時(shí)期由個(gè)人、協(xié)會(huì)、政府機(jī)構(gòu)立即支付的銀行存款的和；貨幣流通速度是在某一時(shí)間段內(nèi)流通中用來消費(fèi)的每一分貨幣的平均周轉(zhuǎn)次數(shù)。

Irving Fisher（1909）是第一位用定量分析法來計(jì)算速度，并間接估計(jì)流通中的貨幣量依賴從非存款人（主要是未被統(tǒng)計(jì)的工資領(lǐng)取者）中流入銀行與流出銀行的貨幣量的和，流通速度等于上面的和除以流通中的貨幣量。同時(shí)，教授Fisher指出在他這篇文章中有誤差較小。但是，David Kinley（1910）認(rèn)為改進(jìn)后的存款估計(jì)值有可能會(huì)很大而且對(duì)在農(nóng)業(yè)和國內(nèi)其他行業(yè)的工作人員的薪水很難得到可靠的估計(jì)。John P.Gould and Charles R.Nelson（1974）收集了觀察到的速度根據(jù)隨機(jī)游走模型來預(yù)測未來的速度，但是他只是單獨(dú)地關(guān)注速度這一變量而沒參考其他的經(jīng)濟(jì)變量。結(jié)果是大部分人對(duì)這種方法的可信度持很深的懷疑態(tài)度。

B.B.Dunaev（2010）提出真實(shí)的貨幣流通量等于M1和貨幣平減指數(shù)的比值，與投入到生產(chǎn)領(lǐng)域的成本成比例，貨幣流通速度則等于名義GDP與M1的比值。另外，他指出貨幣投放只能在短期內(nèi)緩解市場上貨幣的不足，隨著價(jià)格增加，流通中貨幣數(shù)量又變回投放前的數(shù)量。與此同時(shí)，大部分中國學(xué)者常利用貨幣供應(yīng)量的劃分和貨幣數(shù)量論作為理論依據(jù)來測量速度。實(shí)際上，大部分研究僅限于速度的測量，主要是針對(duì)M0、M1、M2相對(duì)應(yīng)的速度的計(jì)算和分析。但是，在本文中我們將拋開這些劃分，構(gòu)建經(jīng)濟(jì)模型來計(jì)算貨幣流通量和相應(yīng)的速度。

Irving Fisher（1909）提出在相同時(shí)間內(nèi)容器中水的凈流出量一定等于容器中的凈減少量這一原理，為我們提供了可靠的理論基礎(chǔ)。并且，貨幣流出量與流入量是調(diào)節(jié)經(jīng)濟(jì)的重要手段。結(jié)合貨幣流通量，三者形成了動(dòng)態(tài)變化。我們可以從本質(zhì)上描述這種動(dòng)態(tài)變化：某一季度的貨幣流通量等于這一季度的流出量與流入量的差值和前一季度的貨幣流通量的和?；谶@樣的變化，我們可以考慮狀態(tài)空間模型。因?yàn)榱魍ㄖ械呢泿帕魍渴遣荒苡^察到的，所以我們選擇基于密度函數(shù)的隨機(jī)模擬濾波來測量流通中的貨幣量。Tanizaki，H.（1996）詳細(xì)地描述了這種可以最大減少估計(jì)量誤差的方法。這種方法的目標(biāo)是數(shù)據(jù)點(diǎn)出現(xiàn)時(shí)，它能更新狀態(tài)變量的信息。然后，考慮到最大化，我們利用最大似然函數(shù)的方法來獲取流通速度的最優(yōu)值。通過處理近十年的數(shù)據(jù)，我們得出了有意義的結(jié)論：計(jì)算的貨幣流通量能較好地解釋CPI的變化。

p（z1｜z0）=p（z1），Zt=｛z1，z2，…，zt｝，即Zt包含了t時(shí)刻的所有信息。已知Mt在給定Zt-1條件下的條件分布和新數(shù)據(jù)Zt+1，我們想求出Mt+1在Zt條件下的條件分布，這就是基于密度函數(shù)的隨機(jī)模擬濾波。

從等式（1）可知，zt｜Zt-1是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量且zt｜Zt-1～N（μt｜t-1，σ2t｜t-1），μt｜t-1=vMt｜t-1，σ2t｜t-1=σ2w，Mt｜t-1=E[Mt｜Zt-1]。

我們只有求出Mt｜t-1才能得到上面的似然函數(shù)，接下來我們將分兩步來求。

先求Mt｜Zt-1的密度函數(shù)：

二、狀態(tài)空間模型

因?yàn)樨泿帕魍康牧鲃?dòng)性較強(qiáng)，所以在本文中我們只考慮現(xiàn)金這一形式。我們現(xiàn)以季度為一個(gè)計(jì)時(shí)點(diǎn)，定義貨幣流出量為每季度從銀行流進(jìn)市場上的新貸款，如商業(yè)貸款、工業(yè)貸款、外匯占款；定義貨幣流入量為每季度從市場流入銀行的新存款，如個(gè)人儲(chǔ)蓄存款、商業(yè)存款。

狀態(tài)方程：Mt=Mt-1-Dt+Lt+ut。

Mt是在時(shí)刻t的貨幣流通量且不能觀察到的，Dt是在時(shí)刻t的貨幣流入量，Lt是時(shí)刻t的貨幣流出量，ut是擾動(dòng)項(xiàng)且獨(dú)立同分布，服從均值為0，方差為σ2u的隨機(jī)變量。

轉(zhuǎn)變方程：PtYt=vMt+wt。

令 zt=PtYt，就有：

zt是GDP與物價(jià)指數(shù)在時(shí)刻t的乘積，wt是擾動(dòng)項(xiàng)且獨(dú)立同分布，服從均值為0，方差為σ2w的隨機(jī)變量。

在這兩方程中，Dt，Lt，zt均為可觀察變量，而Mt為所求變量。我們這篇文章主要目的就是求出t時(shí)刻的貨幣流通量（即Mt）及此時(shí)刻的流通速度v。因?yàn)镸t是不能觀察到的，所以我們選擇用基于密度函數(shù)的隨機(jī)模擬濾波來測量Mt。這種方法的目標(biāo)：當(dāng)獲得一個(gè)新的數(shù)據(jù)點(diǎn)時(shí)遞歸地更新狀態(tài)變量的信息。

考慮zt的似然函數(shù)：

記At=｛m1，m2，…，mt｝。

再利用Mt｜Zt-1的密度函數(shù)來求Mt｜Zt-1的期望：

我們可以利用模擬軌道來得到期望的樣本形式：

其中，mj，t為第j條軌道上的mt，Aj，t=｛mj，1，mj，2，…，mj，t｝。

得到：

ωj，t=我們得到ωj，t的遞推公式。

其中，zt｜mj，t～N（vMj，t，σ2w），我們知道它的密度函數(shù)。

p（Zt｜Mj，t）=，我們的目的是要求出z1，z2，…，zn的聯(lián)合密度函數(shù)：

p（z1，z2，…，zn），而 Mt｜t-1可以由（2）求得，所以聯(lián)合密度函數(shù)也可求出。根據(jù)濾波方法的思想，當(dāng)密度函數(shù)的對(duì)數(shù)取最大值時(shí)，求出相對(duì)應(yīng)的v及Mt｜t-1。

三、實(shí)證分析

首先，我們從國家統(tǒng)計(jì)局收集了1999年第一季度到2010年第三季度的GDP和CPI數(shù)據(jù)，從人民銀行每月公布的金融機(jī)構(gòu)信貸收支表中選取了每月的貨幣投放量（各項(xiàng)貸款和外匯占款）和貨幣回籠量（各項(xiàng)存款），并通過求和轉(zhuǎn)為季度的。其次，我們利用Matlab軟件計(jì)算出流通速度v=36.98和每季度的流通量 Mt｜t-1，如圖 1 所示。

圖1 流通速度和每季度的流通量

我們結(jié)合中國人民銀行每季度公布的《貨幣政策執(zhí)行報(bào)告欄目》來探討這個(gè)結(jié)論。從1999年第二季度開始，貨幣回籠量與貨幣投放量之間的差值持續(xù)變大，市場上流通的貨幣量在下降，CPI在上升，到了2001年第二季度，CPI上升到最高點(diǎn)。隨著貨幣緊縮的加劇，從2001年第三季度開始，CPI顯著下降。2002年到2003年，流動(dòng)性繼續(xù)緊縮，CPI在2002年第三季度降到歷史最低點(diǎn)。2004年4月份央行上調(diào)了法定存款準(zhǔn)備金率，流通性緊縮，后兩季度貸款增量穩(wěn)步回升，新增貸款結(jié)構(gòu)進(jìn)一步改善，流通中的貨幣出現(xiàn)了先少后多。2005年前三季度，金融機(jī)構(gòu)存款較快增長，流通性緊縮，市場上流通的貨幣呈減少趨勢。2004年到2005年的CPI也出現(xiàn)了先上后降的趨勢。2006到2007年，貨幣投放量與貨幣回籠量之間的差值持續(xù)變大，市場上的貨幣量在持續(xù)增加，CPI也出現(xiàn)遞增的趨勢，在2008年的第一季度上升到了最高。2008年前兩季度央行4次上調(diào)存款類金融機(jī)構(gòu)存款準(zhǔn)備金率，流通中的貨幣量減少，而后兩季度央行3次下調(diào)存款類金融機(jī)構(gòu)存款準(zhǔn)備金率，流通中的貨幣量增加。2009年前兩季度，美國2008年次貸危機(jī)對(duì)中國的影響開始顯現(xiàn)出來，從2008年第四季度到2009年的第二季度，流通中的貨幣量一直在減少，CPI也一直減少并在2009年第二季度降到最低。2009年，為應(yīng)對(duì)經(jīng)濟(jì)危機(jī)，保證經(jīng)濟(jì)的平穩(wěn)運(yùn)行，銀行降低了存貸款利率，金融機(jī)構(gòu)貸款的增速較快，在后兩季度流通中的貨幣量開始增加，CPI也出現(xiàn)上升。2010年，前兩季度央行3次上調(diào)存款類金融機(jī)構(gòu)存款準(zhǔn)備金率，貨幣回籠量增加，市場上的貨幣量減少，但是CPI從2009年第二季度就持續(xù)上升，這一種現(xiàn)象可能有兩種原因：一是政策的效果還沒有顯現(xiàn)，還需要后來的數(shù)據(jù)；二是僅有貨幣政策還不夠，還需要有其他政策輔助。

四、結(jié)論

本文利用基于密度函數(shù)的模擬隨機(jī)濾波測算了流通中的貨幣量和流通速度。在模型中，我們詳細(xì)地推導(dǎo)了GDP和CPI乘積的似然函數(shù)以及貨幣流通量在它的條件分布下的期望。我們得到過去近十年每一季度的貨幣流通量，并與CPI進(jìn)行了較為詳盡的對(duì)比。對(duì)比表明貨幣流通量的多少對(duì)CPI的變動(dòng)起了一定的影響作用。換句話說，調(diào)節(jié)流通中的貨幣量對(duì)控制物價(jià)上漲有一定的幫助，當(dāng)然，我們還需要其他的貨幣政策，如利率，期望得到通貨膨脹率，所要鞏固的經(jīng)濟(jì)效率等。要想獲得準(zhǔn)確的經(jīng)濟(jì)效果，我們必須考慮更多的經(jīng)濟(jì)因素。本文的不足之處就是在建立模型時(shí)，我們一開始就假定擾動(dòng)項(xiàng)是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量。不管怎樣，我們期盼對(duì)貨幣供應(yīng)量有更多的研究。

[1]B.B.Dunaev：Money supply and interest rate in economic equilibrium [J].Cyberneticand SystemsAnalysis,2010，46（1）.

[2]Hudson B.Hastings：The Circuit Velocity of Money[J].The American Economic Review，1923,13（2）.

[3]David Kinley：Professor Fisher's Formula for Estimating theVelocity oftheCirculation of Money[J].Publications of the American Statistical Association，1910,12（89）.

[4]John P.Gould and Charles R.Nelson：The Stochastic Structure of the Velocity of Money[J].The American Economic Review，1974，64（3）.

[5]Irving Fisher：A Practical Method of Estimating the Velocity of Circulation of Money[J].Journal of the Royal Statistical Society，1909,72（3）.