具有對數(shù)奇性耦合的半線性拋物方程組的全局解與猝滅

孫仁斌，袁海峰

(中南民族大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)學(xué)院，武漢430074)

本文考慮如下拋物方程組的初邊值問題:

其中Ω是N維空間中具有光滑邊界?Ω的有界區(qū)域，常數(shù) α，β＞0，0＜b＜1．

對于問題(1)，由于方程中對數(shù)項具有奇異性，如果在某一時刻，解函數(shù)u或者v的值趨近于b，問題就會發(fā)生所謂的猝滅現(xiàn)象，其定義如下:

如果存在有限時刻T，使得:

成立，就稱問題(1)的解在時刻T猝滅．

關(guān)于單個拋物方程的初邊值問題:

其中f(s)具有奇性:對于猝滅現(xiàn)象的研究始于文獻(xiàn)［1］，文獻(xiàn)［2］給出了問題存在整體解的條件，在文［3-5］中，針對Ω為一維區(qū)間及n維球形區(qū)域的情形進(jìn)行討論，在文獻(xiàn)［6，7］中，對Ω為任意的n維區(qū)域的情形進(jìn)行討論．一些早期的結(jié)果的基本結(jié)論是:當(dāng)區(qū)域Ω充分小時，解的存在是整體的，當(dāng)Ω充分大時，解會在有限時刻發(fā)生猝滅現(xiàn)象．更進(jìn)一步，關(guān)于猝滅時間的估計，猝滅點(diǎn)集的數(shù)量以及猝滅速率的估計和解在猝滅時刻的漸近分析等，大多都是針對f(s)=(1－s)－α的情形，展開深入的分析，已經(jīng)取得了相當(dāng)豐富的結(jié)果．在文獻(xiàn)［8］中，當(dāng)問題(2)中的f(s)=－ln(αs)，Ω是一維區(qū)間的情形時，進(jìn)行了討論．在文獻(xiàn)［9］中，對f(s)=－αln(b－u)且Ω?RN時的情形進(jìn)行了討論，得到了解在有限時刻發(fā)生猝滅的條件，并對猝滅速率進(jìn)行了估計．

對于拋物方程組的猝滅現(xiàn)象的研究，近年來也有了一些結(jié)果［10-12］，大多也是針對方程組右邊的奇性函數(shù)為f(u，v)=(1－v)－α，g(u，v)=(1－u)－β的情形進(jìn)行討論．

本文討論的問題(1)中方程組右邊的奇性函數(shù)為對數(shù)函數(shù)，與冪函數(shù)比較，其引發(fā)猝滅的能力要更弱一些，因此討論起來難度會更大一些．我們將文獻(xiàn)［9］中關(guān)于單個方程的結(jié)果經(jīng)過適當(dāng)?shù)奶幚恚茝V到方程組的情形，得到了解全局存在和在有限時刻猝滅的條件．

1 全局解的存在性

為了得到問題(1)的全局解，我們要設(shè)法找到它的一個全局存在的上解．為此考察與之對應(yīng)的帶有奇性的橢圓方程組的邊值問題:

在區(qū)域Ω的外部取定一個點(diǎn)x0=(x01，x02，…，x0N)，令k是一個待定的正數(shù)，γ=max(α，β)，構(gòu)造函數(shù):

引理1由(4)式定義的函數(shù)F(k，d)一定有正的最大值D*．

證明要使F(k，d)＞0，只需，或(4k－γekd2)d2＞2N，所以，只要取k，d，使:

就有F(k，d)＞0，而當(dāng)k，d充分大時，F(xiàn)(k，d) 顯然是有界的，因此引理的結(jié)論成立．

下面我們構(gòu)造問題(3)的上解．令:

經(jīng)過計算有:

設(shè)D為Ω的直徑，則x∈Ω時有d2≤|x－x0|2≤(d+D)2，為使(7)式成立，只需:

而γ=max(α，β)，因此當(dāng)D≤F(k，d)時，上述不等式成立．

在邊界x∈ ?Ω 上，要使 ˉu≥ 0，ˉv≥ 0，只需:

現(xiàn)在假設(shè)當(dāng)k，b在滿足不等式(8)的條件下，函數(shù)F(k，d)在k=k0，d=d0點(diǎn)取到正的最大值D*，再取一點(diǎn)x0?Ω，使dist(x0，Ω)=d0，由此按照(6)式構(gòu)造的函數(shù)就是問題(3)的一個上解，即得到定理1．

定理1存在正數(shù)D*，使得當(dāng)區(qū)域Ω的直徑D不超過D*時，問題(3)存在上解．

關(guān)于D的取值范圍，我們可以作一些分析．

由于F(k，d) ≥D≥0，故或:

選取k使4k－γekd2最大，即，此時，不等式(9)式化為:

不等式(8)化為:

由此可以得到拋物方程組的初邊值問題(1)的全局解的存在性．

定理2在定理1的條件下，問題(1)存在全局解．

證明設(shè)U(x)，V(x)是問題(3)的一個正解，則容易驗證是問題(1)的一個上解是問題(1)的一個下解，則問題(1)在上解與下解之間存在唯一解［13］．而上解與下解都是全局存在的，因此問題(1)存在全局解．

2 解的有限猝滅

設(shè)λ1與φ(x)是如下特征值問題的第一特征值與相應(yīng)的特征函數(shù):

則 λ1＞0，且當(dāng)x∈Ω時，φ(x)＞0，我們假設(shè)利用問題(1) 中的方程，我們有:

由Jensen不等式，有:

類似地有:

記 δ=min(α，β)．兩式相加得:

令g(s)=－λ1s－δln(2b2－bs)，0＜s＜2b，則當(dāng)λ1時，g(s)＞0， 記有，記則h1(0)=2b2ln(2b2)＜0，0，且0，因此函數(shù)h'(s)在(0，2b)內(nèi)有唯一的零點(diǎn)s0，易知h(s0)是h(s)在(0，2b)內(nèi)惟一的最小點(diǎn)，設(shè)相應(yīng)的最小值為:

我們知道，特征值λ1與區(qū)域Ω有關(guān)，Ω越大，λ1越小，由此我們可得到這一部分的主要結(jié)果．

定理3設(shè)m為由(13)式給出的正常數(shù)，2b2＜1，區(qū)域Ω適當(dāng)大，使λ1＜m，則問題(1)的解在有限時刻發(fā)生猝滅，且猝滅時刻T滿足T1≤T≤T2，其中:

證明設(shè)問題(1)的解的最大存在區(qū)間為［0，．當(dāng) 0＜t＜T時因此w(t)＜2b，由(12)式及λ1＜m有w'(t)＞0，于是兩邊積分得:

令t→T，有w(t)≤2b，因此T≤T2成立．由于T2＜+∞，故有T＜+∞，即問題(1)的解會在有限時刻發(fā)生猝滅．

為了得到猝滅時刻T的下限，考慮初值問題:

易知解W(t)的最大存在區(qū)間是［0，T1］，t＜T1時，W(t)＜b．令，則是問題(1) 的一個上解［13］，故有u(x，t)≤W(t)，v(x，t) ≤W(t)，于是sup(u(x，t)，v(x，t))≤W(t)，如果T＜T1，令t→T－，得W(T) ≥b，產(chǎn)生矛盾，從而T≥T1成立，證畢．

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