帶干擾且索賠為稀疏過程的雙復(fù)合Poisson風(fēng)險(xiǎn)模型

李學(xué)鋒

(中南民族大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院，武漢430074)

破產(chǎn)理論是風(fēng)險(xiǎn)理論的主要研究?jī)?nèi)容，而風(fēng)險(xiǎn)模型則是風(fēng)險(xiǎn)理論的主要研究對(duì)象.經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型總是假設(shè)保費(fèi)率為常數(shù)，而在保險(xiǎn)公司的實(shí)際經(jīng)營(yíng)中，由于經(jīng)濟(jì)環(huán)境、生活環(huán)境的變化，競(jìng)爭(zhēng)、利率、通貨膨脹率的變化及各種可能發(fā)生的災(zāi)害等諸多不確定因素的影響，經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型已經(jīng)不能很好地描述現(xiàn)實(shí)問題了.隨著研究的逐漸深入，人們對(duì)經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型進(jìn)行了各種推廣，建立了更符合實(shí)際的風(fēng)險(xiǎn)模型.文獻(xiàn)［1，2］對(duì)隨機(jī)保費(fèi)風(fēng)險(xiǎn)模型進(jìn)行了研究并得到了滿足破產(chǎn)概率的 Lundberg不等式;文獻(xiàn)［3-6］研究了帶干擾的風(fēng)險(xiǎn)模型并得到了相關(guān)結(jié)論.然而在這些研究中，大多假設(shè)保單到達(dá)過程與索賠到達(dá)過程相互獨(dú)立，而事實(shí)上，保險(xiǎn)公司售出的保單越多，其發(fā)生的索賠次數(shù)也會(huì)越多，即索賠到達(dá)過程與保單到達(dá)過程是有關(guān)的.此外，為了保險(xiǎn)公司的穩(wěn)定經(jīng)營(yíng)，有必要考慮投資利率、通貨膨脹率及一些隨機(jī)擾動(dòng)等因素的影響.因此，本文就是在上述工作的基礎(chǔ)上，將風(fēng)險(xiǎn)模型推廣為更一般的情形，即考慮了保險(xiǎn)公司的投資利率和通貨膨脹率下帶干擾項(xiàng)且索賠過程是保單到達(dá)過程的一個(gè)p-稀疏過程的雙復(fù)合Poisson風(fēng)險(xiǎn)模型，并利用鞅分析得到了該模型的破產(chǎn)概率滿足的Lundberg不等式及最終破產(chǎn)概率的精確表達(dá)式.

1 模型的定義

定義1 設(shè)(Ω，F(xiàn)，P)是完備的概率空間(本文所有的隨機(jī)變量都定義在此空間)，則對(duì)u≥0，t≥0，保險(xiǎn)公司在t時(shí)刻的盈余為:

其中u為初始準(zhǔn)備金;i≥0為保險(xiǎn)公司的投資利率;j≥0為通貨膨脹率;{M(t)，t≥0}為保單到達(dá)過程，表示保險(xiǎn)公司在［0，t］內(nèi)收到的保單數(shù);{N(t)，t≥0}為索賠到達(dá)過程，表示保險(xiǎn)公司在［0，t］內(nèi)發(fā)生的索賠次數(shù);Xk為第k次的索賠額;Yk為第k張保單的保費(fèi)額;{W(t)，t≥0}為標(biāo)準(zhǔn)Wiener過程，表示保險(xiǎn)公司不確定性收益和付款，σ＞0為常數(shù).

對(duì)上述模型做如下假設(shè):

(1){Xk，k≥1}，{Yk，k≥1} 為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，分布函數(shù)分別為F(x)，G(y)，且

(2){M(t)，t≥0}是強(qiáng)度為λ的Poisson過程，{N(t)，t≥0}是{M(t)，t≥0}的一個(gè)p－稀疏過程，即{N(t)，t≥0}是強(qiáng)度為λp(0＜p≤1)的Poisson過程;

(3){Xk，k≥1}，{Yk，k≥1}，{M(t)，t≥ 0}，{W(t)，t≥0}相互獨(dú)立.

定義2保險(xiǎn)公司的破產(chǎn)時(shí)刻T=inf{t:t≥0，U(t)＜0}，最終破產(chǎn)概率為:.

定義3根據(jù)模型的假設(shè)，隨機(jī)變量Yk的Laplace變換為:

隨機(jī)變量Xk的矩母函數(shù)為:

假設(shè)LY(r)＜∞，顯然當(dāng)r→∞ 時(shí)，有MX(r)→∞.

2 相關(guān)引理

引理1對(duì)于盈余過程{S(t)，t≥0}，存在函數(shù)g(r)，使得:

證明

即有E［e－rS(t)］=etg(r).證畢.

引理2方程g(r)=0存在唯一正解R，稱之為調(diào)節(jié)系數(shù).

證明由引理1知g(0)=0，又:

故:

所以當(dāng)r＞0時(shí)g(r)是凸函數(shù)，又g(0)=0，且顯然有當(dāng)r→+∞ 時(shí)，g(r)→+∞，因此，g(r)=0存在唯一正解，記為R，并稱g(r)=0為調(diào)節(jié)方程，R成為調(diào)節(jié)系數(shù).證畢.

定義4對(duì)于盈利過程{S(t)，t≥0}，定義事件流:

FS={，t≥0} ，其中σ{S(t')，t'≤t}.

引理3令Mu(t)=則是鞅.

證明?v≤t，由引理1得:

所以{Mu(t)，F(xiàn)St，t≥ 0} 是鞅.證畢.

引理4［7］破產(chǎn)時(shí)刻T是FS停時(shí).

3 主要結(jié)果

定理1風(fēng)險(xiǎn)模型(1)的最終破產(chǎn)概率φ(u)滿足Lundberg不等式:

其中r0=supr＞0{r:g(r) ≤ 0}.

證明由引理4知T是FS停時(shí)，取t0＜∞，則易知T∧t0是FS停時(shí)，由引理3有:

又當(dāng)T＜∞ 時(shí)，有u(1+i－j)+S(T)≤0，所以 e－r［u(1+i－j)+S(T)］≥ 1 ，故

令t0→+∞，有，取r0=sup

r＞0{r:g(r) ≤ 0}，則有:

定理2風(fēng)險(xiǎn)模型(1)的最終破產(chǎn)概率為:

其中R為調(diào)節(jié)系數(shù).

證明根據(jù)式(6)，取r=R，得:

以I(A)表示集合A的示性函數(shù)，則:

由控制收斂定理，有:

于是在式(8)兩端令t0→∞ 即得證.

4 結(jié)束語(yǔ)

本文所研究的風(fēng)險(xiǎn)模型對(duì)保險(xiǎn)公司的經(jīng)營(yíng)具有一定的理論指導(dǎo)意義.從最終破產(chǎn)概率可以推斷，為了確保公司的穩(wěn)定經(jīng)營(yíng)，一方面，公司必須具備足夠充分的初始準(zhǔn)備金;另一方面，公司也不能為了獲得大量保單而盲目降低保費(fèi)或高額承保，這就要求保險(xiǎn)公司在獲得盡可能多的保單的同時(shí)，也要做好對(duì)客戶的調(diào)查研究，以便降低索賠比例而減少公司風(fēng)險(xiǎn)，也就是保險(xiǎn)公司需要合理厘定保費(fèi)與索賠額.同時(shí)，保險(xiǎn)公司也不能忽視投資利率、通貨膨脹率及一些隨機(jī)擾動(dòng)對(duì)公司穩(wěn)定經(jīng)營(yíng)的影響，往往這些因素也直接關(guān)系到保險(xiǎn)公司的生死存亡.當(dāng)然，本文所研究的模型還有待于進(jìn)一步改進(jìn)，比如，考慮隨機(jī)利率比常數(shù)利率更符合實(shí)際，或者用其他方法研究破產(chǎn)概率等.因此，破產(chǎn)模型仍然是廣大相關(guān)研究者感興趣的研究對(duì)象.

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