“近似”——科學(xué)的普遍方法

劉春紅

(長春大學(xué)光華學(xué)院 基礎(chǔ)教研部，長春 130033)

0 引言

“近似”，在哲學(xué)上論述為“抓住主要矛盾，舍去次要矛盾”?！白プ≈饕?，舍去次要矛盾”，是講人們認(rèn)識自然現(xiàn)象，描述自然規(guī)律，運(yùn)用自然規(guī)律的方法。

自然科學(xué)家對“近似”的體會，理解同樣深刻?！叭魏卫碚摱贾皇窃诓煌潭壬蠈ψ匀唤绲哪承┓矫娴摹敖啤保加幸欢ǖ?，由自然界本身實驗來確定的有效范圍”?！霸跀?shù)學(xué)上總是力求嚴(yán)格，即指在一定統(tǒng)一假設(shè)下進(jìn)行推理，避免半途作隨心所欲的假設(shè)”。［1］“微積分就是“近似”，略去高階無窮小”。(南開大學(xué)數(shù)學(xué)研究所《科學(xué)報告》)。

在自然科學(xué)中，一門科學(xué)在開始研究之前，總是提出基本假設(shè)。這就是告訴人們，這門科學(xué)的“主要矛盾”是什么，在何種條件下研究物質(zhì)運(yùn)動，這門科學(xué)理論適用范圍。提出基本假設(shè)，就是“近似”。這就是真理的相對性。

1 數(shù)值的近似

1.1 一段長度的測量

一段長度，100人測量，幾乎會得到100個長度數(shù)值。盡管各不相同，但100人測量結(jié)果的主要數(shù)值(數(shù)值中的大數(shù)部分)是相同的。各不相同，就是“近似”。主要數(shù)值相同，就是“絕對”存在于“相對”之中。

1.2 無理數(shù)e

2.7是e，2.71是e，2.718也是e，…那么，無理數(shù)e到底是什么?最后，則認(rèn)為無理數(shù) e就是“數(shù)列{en}(n=1，2，...)”，式中

每一個en”就是無理數(shù)e，即en=e，這就是“絕對”存在于“相對”之中。而en≠e，即en又不是e。這就是“近似”。若將e當(dāng)成“絕對真理”，en當(dāng)成“相對真理”，“無數(shù)相對真理之總和”就被描述成:

1.3 函數(shù)的增量與微分

設(shè)函數(shù)y=y(x)在點(diǎn)x0可導(dǎo)，于是，在點(diǎn)x0附近，

則有

函數(shù)增量Δy等于d y，又不等于d y。Δy等于d y，“絕對真理存在于相對真理之中”，Δy又不等d y，這又是“近似”。函數(shù)增量Δy等于d y，是有條件的，這就是|Δx|＜＜1。當(dāng)條件|Δx|＜＜1不成立時，再使Δy等于d y，“真理就變成謬誤”。

2 微分方程的近似解法

考慮初值問題:

其中 f(x，y)在區(qū)域 R:|x-x0|≤a，|y-y0|≤b 上連續(xù)。

2.1 Euler折線法

早在十八世紀(jì)，Euler就根據(jù)微分方程的幾何解釋，提出用簡單的折線來近似地描繪所要尋求的積分曲線。后人稱這種方法為Euler折線法。它標(biāo)志了微分方程近似方法的開端。

對積分區(qū)間作剖分:

圖1 積分區(qū)間剖分圖

取步長 h=xi+1-xi=const.。于是

即有

于是，初值問題(1)解 y(x)在 x1，x2，...，xn，...的值y(x1)，y(x2)，...，y(xn)，...就是方程(2)的解 y1，y2，...，yn.....這就是“近似”。方程積分曲線 y=y(x)就用折線 y=y^(x)來近似地代替。

圖2 Euler折線與積分曲線圖

當(dāng)步長h越來越小時，折線y^(x)就越來越靠近積分曲線y(x)。當(dāng)h→0時，則y^(x)→y(x)。

2.2 Picard 迭代法

初值問題(1)的精確解還可以用解析函數(shù)逐步逼近，這一方法稱為迭代法。由(1)，d y=f(x，y)d x，積分之，再應(yīng)用初值條件y(x0)=y0，有

積分方程與初值問題(1)等價。取y0(x)=y0開始迭代，有

于是得到函數(shù)數(shù)列:

若函數(shù)數(shù)列{yn(x)}收斂，yn(x)→y(x)(n→∞)(a＜x＜b)，則 y(x)是(2.3)的解，

當(dāng)然，也是(1)的解。

3 結(jié)語

由上述幾個具體問題，我們知道:

(1)任何科學(xué)，都是在一定條件下，對事物、運(yùn)動、過程等的“近似”描寫。而且“基本”正確(或“相對”正確，不是“絕對”正確)。

(2)當(dāng)具體理論的成立條件改變時，相應(yīng)的理論也必須修正，使之適合新的條件。這就是列寧所說的“真理總是具體的”。

(3)自然科學(xué)中到處都是“相對絕對的道理”，“無數(shù)相對真理之總和就是絕對真理”。亦即，“近似”是科學(xué)的普遍方法，至少是自然科學(xué)的普遍方法。

［1］ 郭仲衡.非線性彈性理論［M］.北京:科學(xué)出版社，1980.

［2］ 殷有泉.材料力學(xué)［M］.北京:北京大學(xué)出版社，1990.

［3］ 林家翹，L.A.西格爾，自然科學(xué)中確定性問題的應(yīng)用數(shù)學(xué)［M］.北京:科學(xué)出版社，1986.