數(shù)形結(jié)合剖析水波的干涉圖樣

陳 敏

(慈溪市滸山中學(xué) 浙江 寧波 315300)

“波的干涉”一節(jié)的教學(xué)難點(diǎn)在于對穩(wěn)定而動態(tài)的波的干涉圖樣的理解.穩(wěn)定性是指空間內(nèi)每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的振動強(qiáng)弱是固定的，動態(tài)性則是指每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位移又是時(shí)刻變化的.學(xué)生感覺比較難以把握的是，穩(wěn)定和動態(tài)的特征表現(xiàn)在干涉圖樣上是怎樣的？畫面動態(tài)有序的背后隱含質(zhì)點(diǎn)遵循著怎樣的規(guī)律？通過數(shù)形結(jié)合的方法來突破上述難點(diǎn)可以取得較為理想的效果.數(shù)形結(jié)合把直觀的圖形表達(dá)方式與抽象的數(shù)學(xué)表達(dá)方式相結(jié)合來解決問題，一方面借助數(shù)學(xué)的精確性和嚴(yán)密性對圖形做精細(xì)的分析，從而對圖形有更深刻的認(rèn)識；另一方面用圖像形象地體現(xiàn)數(shù)學(xué)的抽象表達(dá)，有助于對復(fù)雜數(shù)學(xué)公式的理解，達(dá)到理解水波干涉圖樣的目標(biāo)，分析如下.

圖1

根據(jù)波的疊加原理，實(shí)際振動的運(yùn)動學(xué)方程為

令

則

y=A合cos(ωt+φ0)

式中A合和φ0分別為兩分振動在P點(diǎn)的合振幅和初相位.可見質(zhì)點(diǎn)是做角頻率依然為ω的簡諧運(yùn)動，其振動特征與空間位置和時(shí)間變化相關(guān).下面從空間、時(shí)間來分析波的干涉圖樣的穩(wěn)定性和動態(tài)性.

1 空間位置決定振幅和初相體現(xiàn)穩(wěn)定性

圖2

即r1+r2=d+2kλ，質(zhì)點(diǎn)與S1，S2連線間的質(zhì)點(diǎn)相差為零，振動步調(diào)一致，如圖3實(shí)線橢圓.

r1+r2=d+(2k-1)λ

質(zhì)點(diǎn)與S1，S2連線間的質(zhì)點(diǎn)振動步調(diào)相反，如圖3虛線橢圓.

圖3

在單一波源形成波的傳播過程中，每個(gè)質(zhì)點(diǎn)都重復(fù)波源的振動形式，相同相位的質(zhì)點(diǎn)形成的波面是以波源為圓心的一系列同心圓，波面沿半徑方向向外擴(kuò)散；與此相似，質(zhì)點(diǎn)在兩個(gè)波源的帶動下產(chǎn)生的振動也將從S1，S2連線沿著雙曲線(在S1，S2連線方向上沿連線方向)向外傳播形成越來越大的“同焦”橢圓形的波面，此處的雙曲線和橢圓可類比成波線和波面，如圖4所示.

圖4

2 時(shí)間決定質(zhì)點(diǎn)的位移體現(xiàn)動態(tài)性

由于有兩個(gè)波源使得質(zhì)點(diǎn)的振動形式較單一波源作用時(shí)有更豐富的形式，下面詳細(xì)分析兩個(gè)波源S1，S2之間的質(zhì)點(diǎn)的振動，其他質(zhì)點(diǎn)都可以看作是重復(fù)著這些質(zhì)點(diǎn)的振動形式.

S1，S2連線上的質(zhì)點(diǎn)的振動方程均可表示成

若連線間距為2λ，由

可知，連線的中點(diǎn)A0滿足|r2-r1|=0，是加強(qiáng)點(diǎn)，稱作零級加強(qiáng)區(qū)；A1左，A1右滿足|r2-r1|=λ,稱1級加強(qiáng)區(qū)；A2左，A2右滿足|r2-r1|=2λ，稱2級加強(qiáng)區(qū).A0，A2左，A2右的振動方程為

A1左，A1右振動方程為

圖5

現(xiàn)在用圖6來說明S1，S2連線上的質(zhì)點(diǎn)一個(gè)周期內(nèi)所表現(xiàn)出來的波形.圖中可以看到，所有質(zhì)點(diǎn)在同一時(shí)刻到達(dá)最大位移，同一時(shí)刻經(jīng)過平衡位置，同一時(shí)刻到達(dá)最小位移，波形圖并不沿著S1，S2連線方向移動，只看到波形上下起伏.這種由振幅相同傳播方向相反的兩列簡諧相干波疊加得到的振動稱為駐波，相鄰加強(qiáng)區(qū)的正負(fù)最大位移間隔出現(xiàn)，加強(qiáng)點(diǎn)的起伏最大，形成波腹，減弱點(diǎn)不發(fā)生振動，形成波節(jié).駐波不是波而是一種特殊的振動狀態(tài)，波源S1，S2連線上質(zhì)點(diǎn)的振動形式?jīng)]有沿著連線傳播，卻沿著雙曲線向外傳播，看起來連線間的振動形式從S1，S2連線出發(fā)沿著雙曲線兩側(cè)傳播，單一波源形成的波面是一圈圈的同心圓，在水面上看到圓形的漣漪，這里形成的是一圈圈橢圓狀的“波面”，水面上呈現(xiàn)出橢圓狀的漣漪；而且，橢圓上也形成類似的“駐波”，此“駐波”也并不沿著橢圓方向傳播，而是繼續(xù)沿著雙曲線蕩成更大的橢圓狀的漣漪.

圖6

圖7

圖8

圖9

每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的振動形式是簡單的，但是空間的分布和時(shí)間的變化使得整個(gè)圖樣錯落有序，變化多端，就像一場大型的團(tuán)體操表演中，每一個(gè)演員的動作并不復(fù)雜，但眾多演員的參與，前后左右相鄰演員的動作錯落有致，就形成了氣勢恢宏，蔚為壯觀的藝術(shù)畫卷.在干涉現(xiàn)象中，每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)嚴(yán)格恪守著運(yùn)動規(guī)律，就像是一個(gè)個(gè)優(yōu)秀的演員在高度的組織協(xié)調(diào)下表演，演繹成一幅整齊生動的干涉畫面.