基于恒定陡度聚焦波模型的分析與討論

郭騫隸，谷漢斌

(1.浙江海洋大學(xué)，舟山 316000；2.寧波大學(xué) 土木與環(huán)境工程學(xué)院，寧波 315211)

聚焦波一般也叫極端波、瘋狗浪、怪波等。它是指海洋上突然出現(xiàn)的一種波高很大的情況，一個波列過程中，最大波波高是次大波波高的兩倍以上。它對海洋結(jié)構(gòu)物、海洋工程、海上船舶等具有巨大的危害。因此，聚焦波的模擬及其特性研究在海洋水動力學(xué)、海洋工程應(yīng)用等方面具有重要價值和意義[1]。物理上，有四種方式產(chǎn)生聚焦波[2]，即波流相互作用、波與海底相互作用、波波相互作用和風波相互作用。本文只考慮波波相互作用。對于波波相互作用產(chǎn)生聚焦波，理論上有兩種方式[2]，一種是利用不規(guī)則波的生成方式，它需要不同波浪頻率成分很長的疊加時間，才可能出現(xiàn)這種聚焦波，主要特點是出現(xiàn)時間或地點不確定；另一種是相位速度調(diào)整的方式，本文就介紹這種方式，它的各個組成波同時在特定時間點和特定位置到達峰值。波波相互作用的聚焦波研究的基礎(chǔ)是Longuet-Higgins[3]的不規(guī)則波模型；它采用線性疊加原理，通過調(diào)整相位使各組成波在某一個時間和某一地點聚集起來，形成聚焦波。近年來，聚焦波問題是一個研究熱點。Schaffer研究了實驗室如何產(chǎn)生聚焦波。Fochesato[4]，Yan 和 Ma[5]，Turnbull[6]，NIGN D Z[7]，Bai和Eatock Taylor[8]等，通過數(shù)值波浪水池模擬生成聚焦波以及聚焦波與結(jié)構(gòu)的相互作用。聚焦波模型是物理和數(shù)值模擬產(chǎn)生聚焦波的基礎(chǔ)，Kway J H L等[9]在1998年提出了應(yīng)用恒定振幅譜的方式產(chǎn)生聚焦波。

在波聚焦的過程中，波的振幅實際上是任意的，它們既可以恒定為常數(shù)，也可以假設(shè)它們與對應(yīng)的波數(shù)成反比[2]。本文中使用的恒定陡度方式與恒定振幅譜[9]相比能夠得到一個良好的破碎聚焦波，而一般在實際工程中聚焦波通常都是破碎的。并且恒定陡度方式與采用頻譜理論模擬聚焦波不同，它不需要知道譜型、有效波高、特征周期等參數(shù)；只需要恒定陡度和頻率范圍，按色散關(guān)系由水深確定波數(shù)，再確定波幅，就可以獲得聚焦波的表達式。本文通過改變水深、組成波頻率范圍、中值頻率和恒定陡度，得到對應(yīng)的恒定陡度形成的聚焦波，分析了聚焦波的特征和規(guī)律。這些特征和規(guī)律有助于采用該方式快速獲得需要的聚焦波。

1 基于恒定陡度形成聚焦波

Longuet-Higgins給出了不規(guī)則波的波面過程表達式

(1)

式中：an和ωn分別為各個組成波的振幅和角頻率；εn是隨機數(shù)，取值在(0,2π)范圍內(nèi)，在此基礎(chǔ)上人們把波浪看成定常隨機過程，可以看作不同組成成分的余弦波疊加而成。任意時間和位置的波面過程表示為[10]

(2)

式中：N為組成波的個數(shù)；ai為組成波的波幅；ωi為組成波的角頻率；ki為組成波的波數(shù)；φi為組成波的初始相位。組成波的頻率和波數(shù)滿足色散關(guān)系

(3)

假定波浪在指定時刻t=tf時聚焦于指定位置x=xf，各組成波在該處疊加，則要求各組成波的初相位應(yīng)滿足

φi=-kixf+ωitf+2mπ,m=0,±1，±2，…

(4)

將φi代入到式(2)中，令m=0，這時任意位置處的波面過程η(x,t)為

(5)

在式(5)中ai和ki是未知量，這是需要來解決的關(guān)鍵。Sriram等[2,9,11]假定單個組成波的波幅ai與波數(shù)ki的乘積為常數(shù)，并定義此常數(shù)為恒定陡度Si，采用振幅增益常數(shù)Ga來表示單個余弦波的恒定陡度Si，Ga表示為

Ga=Si/π=aiki/π=c

(6)

c表示常數(shù)；意味著各組成波具有相同的振幅增益。因此，一旦頻率范圍確定，采用等區(qū)間分割，很容易給出各組成波的頻率，相對應(yīng)的波幅ai與波數(shù)ki就可以求得。而聚焦波的恒定陡度S是所有組成波的恒定陡度Si的求和，即

(7)

當設(shè)定好Ga后，就可以方便地求出與之對應(yīng)的圓頻率ωi、波數(shù)ki與振幅ai，由式(5)表示出聚焦波隨空間和時間的變化。

按照上述方式，確定聚焦波頻率范圍(最高頻和最低頻)、恒定陡度S(也可以用Ga代替)和水深，計算出聚焦波波面過程；然后研究水深、組成波頻率范圍、中值頻率和恒定陡度對聚焦波波形的影響。

2 聚焦波波形

為了便于分析研究，依據(jù)頻率的高低分成了低頻和高頻兩種情況，進行了不同參數(shù)變化情況下大量的計算。低頻適用于實際海洋環(huán)境、高頻適用于實驗室試驗。但這里沒有考慮波浪破碎的問題，實際上當波面陡度達到一定程度，波面從波峰處開始破碎；這個問題留待以后研究，本文不予討論。

2.1 低頻情況

表1 不同fc的低頻聚焦波參數(shù)

實際海洋環(huán)境中，波浪周期在幾秒到十幾秒之間。本文參照東海海域波浪周期范圍3～15 s[12]作為聚焦波實際波浪周期取值范圍，把周期換算成頻率，按色散關(guān)系2πL=T2gtan(2πd/L)，求得組成波波長，再計算組成波波數(shù)；選取其中5個頻率中值fc(fN=fc+△f/2)，分別為0.07 Hz、0.12 Hz、0.2 Hz、0.25 Hz、0.3 Hz；并以此計算聚焦波波形。計算時聚焦時間取100 s、聚焦位置取0 m，組成波個數(shù)N取為32。為了研究水深影響，考慮5個水深分別為8 m、15 m、20 m、30 m、45 m。設(shè)f1為頻率范圍的起始頻率，fN為頻率范圍的終止頻率，△f=fN-f1為聚焦波的頻率組成范圍。在△f/fc=0.5和Ga=0.002不變的情況下，分別進行5個水深的計算。參數(shù)取值見表1。

圖1是水深8 m時恒定陡度譜模型理論計算的波面時間過程，其他水深時波形類似，只是幅值不同；圖2給出不同水深情況下，最高波面峰值的變化；當fc較小時(如0.07 Hz)，最高波面峰值隨水深增大顯著增大；當fc較大時(如0.3 Hz)，最高波面峰值隨水深增大不明顯；同一水深情況下，fc越小，最高波面峰值越大。所有這些組次，最高波面峰與次高波面峰值的比值接近于1.58。

圖1 不同fc的低頻聚焦波波面過程線

表2 不同Ga的低頻聚焦波參數(shù)

Sriram設(shè)置參數(shù)Ga范圍為0.001 5～0.006[2]，本文為探討Ga對波形影響規(guī)律，選擇覆蓋Sriram設(shè)置的范圍，便于應(yīng)用。具體范圍0.001 5～0.018，并在水深8 m、15 m、20 m、30 m、45 m的情況下，進行了聚焦波波形計算，此時聚焦時間100 s、聚焦位置為0 m，組成波個數(shù)N為32。計算中△f/fc=0.5，其他參數(shù)見表2。

圖3為計算的聚焦波波面時間過程線，同一水深情況下，Ga越大，最大波面峰值越大。圖4給出最大波面峰值與水深的關(guān)系，同一水深情況下，Ga越大，最大波面峰值越大；同一Ga情況下，水深越大，最大波面峰值越大；當Ga值較小(0.002)時，最大波面峰值隨水深增加不顯著；而當Ga值較大(0.018)時，最大波面峰值隨水深增加顯著增大。最大波面峰值與次高峰值之比接近常數(shù)1.58。

圖3 不同Ga的低頻聚焦波波面過程線

表3 不同△f/fc的低頻聚焦波參數(shù)

當fc分別為0.07 Hz、0.12 Hz、0.2 Hz、0.25 Hz、0.3 Hz，△f取0.1，Ga取0.002，其他參數(shù)見表3。計算聚焦時間100 s、聚焦位置0 m，組成波個數(shù)N為32，水深分別為8 m、15 m、20 m、30 m、45 m。

圖5為水深8 m時聚焦波波面過程線。參數(shù)fc越小(如0.07 Hz)，最高波面峰值越高，次高波峰位置越遠離最高波峰，它們之間產(chǎn)生的波面起伏越多；fc越大(如0.3 Hz)，最高波面峰值越低，最高波面峰與次高波面峰離得越近。其他水位與8 m水深情況類似，只是最高波面峰值隨水深增大而增大(圖6)。

圖5 不同△f/fc的低頻聚焦波波面過程線

圖7 最高峰與次高峰比值和Δf/fc關(guān)系圖

表4 不同fc的高頻聚焦波參數(shù)

表5 不同Ga的高頻聚焦波參數(shù)

在聚焦波的研究中，最高波面峰值與次高波面峰值能反映它與海洋結(jié)構(gòu)物相互作用的激烈程度，本文通過修改參數(shù)，如Ga分別為0.002、0.01、0.018；水深分別為8 m、20 m、45 m生成波面過程，分析了最高波面峰值與次高波面峰值的比值變化。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，最高波面峰值與次高波面峰值的比值變化與水深和Ga無關(guān)；最高波面峰值與次高波面峰值的比值與Δf/fc有關(guān)(圖7)。從圖7可以看出，不同其他參數(shù)情況下，最高波面峰值與次高波面峰值的比值隨Δf/fc的變化一致；這個變化呈一定規(guī)律性，即當Δf/fc<0.81或Δf/fc>0.94時，最高波面峰值與次高波面峰值的比值隨Δf/fc的增大而增大，當0.81<Δf/fc<0.94時，最高波面峰值與次高波面峰值的比值隨Δf/fc的增大而減小。導(dǎo)致這一變化規(guī)律的原因可以從圖5觀察得知，Δf/fc<0.81時，聚焦波形相對比較規(guī)則，最高波面峰值與次高波面峰值的比值較小，最大值接近5，次高波面峰值出現(xiàn)的位置離最高波面峰值位置較近；當Δf/fc>0.94時，次高峰出現(xiàn)位置與最高峰位置的距離越來越遠，兩峰值之間有比較多的波面起伏，最高波面峰值與次高波面峰值的比值可以很大；在當0.81<Δf/fc<0.94時波形處于上述兩種情況的過渡狀態(tài)，最高波面峰值與次高波面峰值的比值在4～5之間。

2.2 高頻情況

由于實驗室波浪周期一般在0.5～3 s，水深相對較淺，選擇聚焦波頻率中值fc分別為0.33 Hz、0.7 Hz、1.1 Hz、1.5 Hz、2 Hz，水深分別為0.3 m、0.5 m、0.7 m、0.9 m、1.2 m等情況進行了計算、觀察和分析。計算聚焦時間100 s、聚焦位置為0 m，組成波個數(shù)N為32。參數(shù)取值見表4。

圖8是水深0.3 m時恒定陡度譜模型理論計算的波面時間過程，其他水深波形類似，只是幅值不同；圖9給出不同水深情況下，最高波面峰值的變化；與低頻聚焦波相似，當fc較小時(如0.33 Hz)，最高波面峰值隨水深增大顯著增大；當fc較大時(如2 Hz)，最高波面峰值隨水深增大不明顯；同一水深情況下，fc越小，最高波面峰值越大。最高波面峰值與次高波面峰值之比仍接近于1.58。

在高頻時參數(shù)Ga范圍與低頻一致，在不同水深0.3 m、0.5 m、0.7 m、0.9 m、1.2 m下，進行了聚焦波波形計算。此時，聚焦時間100 s、聚焦位置為0 m，組成波個數(shù)N為32。計算中Δf/fc=0.5，其他參數(shù)見表5。

圖8 不同fc的高頻聚焦波波面過程線

圖10 不同Ga的高頻聚焦波波面過程線

表6 不同Δf/fc的高頻聚焦波參數(shù)

圖10為計算的聚焦波波面時間過程線，同一水深情況下，Ga越大，最高波面峰值越大，這與低頻情況下也一致。圖11給出最高波面峰值與水深的關(guān)系，同一Ga情況下，水深越大，最高波面峰值越大；當Ga值較小(如0.002)時，最高波面峰值隨水深增加不顯著；而當Ga值較大(如0.018)時，最高波面峰值隨水深增加顯著增大。最高波面峰值與次高波面峰值之比仍接近1.58。

當Δf/fc在0.275～1.67變化時，Δf取0.55，Ga取0.002，其他參數(shù)見表6，fc分別為0.33 Hz、0.7 Hz、1.1 Hz、1.5 Hz、2 Hz。計算聚焦時間100 s、聚焦位置為0 m，組成波個數(shù)N為32，水深與前面高頻組次相同。

圖12為水深0.3 m時聚焦波波面過程線。與低頻相似，當參數(shù)fc越小(如0.33 Hz)，其波面最大峰值越高，波面變化越劇烈；fc越大(如2 Hz)，波面最大峰值越低，最大峰值與次峰值離得越近。其他水位情況類似，只是最大峰值隨水深增大而增大(圖13)。

圖12 不同Δf/fc的高頻聚焦波波面過程線

最高波面峰與次高波面峰的比值變化與水深和Ga無關(guān)，與Δf/fc關(guān)系同低頻情況一致見圖7，這里不再贅述。

3 總結(jié)

本文分析了利用恒定陡度方式構(gòu)建聚焦波的方法，分低頻和高頻兩種情況，在不同頻率、水深條件下，計算觀察了波面形狀，分析了最高峰值與次高峰值的比值。觀察分析表明，無論高頻和低頻，最高波面峰值的變化為：當fc較小時最高波面峰值隨水深增大顯著增大；當fc較大時，最高波面峰值隨水深增大不明顯；同一水深情況下，fc越小，最高波面峰值越大。Ga越大，最大波面峰值越大。最高波面峰與次高波面峰的比值變化與水深和Ga無關(guān)；與Δf/fc有一定規(guī)律性，當Δf/fc<0.81或Δf/fc>0.94時，最高波面峰值與次高波面峰值的比值隨Δf/fc的增大而增大，當0.81<Δf/fc<0.94時，最高波面峰值與次高波面峰值的比值隨著Δf/fc的增大而減小。至于考慮波浪破碎的情況，有待進一步研究。