基于蒙特卡羅數(shù)值模擬的橋梁可靠度分析

符 蓉, 葉 昆, 宗 昕, 張子翔， 程志遠(yuǎn)

(1.華中科技大學(xué)文華學(xué)院城建學(xué)部， 湖北 武漢 430074；2.華中科技大學(xué) a.土木工程與力學(xué)學(xué)院; b.控制結(jié)構(gòu)湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 湖北 武漢 430074；3.中交第二公路勘察設(shè)計(jì)研究院有限公司, 湖北 武漢 430056)

根據(jù)公路結(jié)構(gòu)可靠度設(shè)計(jì)的統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)[1]，概率理論已經(jīng)被引進(jìn)，極限狀態(tài)的概率設(shè)計(jì)已經(jīng)被指定為結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的一般原則，這在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)理論上是一個(gè)突破。但是，在狀況評(píng)估領(lǐng)域，特別是在大跨度橋梁的狀況評(píng)估領(lǐng)域，還沒(méi)有完美的理論可以把那些不確定因素很準(zhǔn)確地考慮進(jìn)去[2～4]，所以那些不確定的因素所造成的影響很難分析。至今為止，大部分的分析依靠專(zhuān)家的定性估計(jì)，但是，對(duì)于那些從事橋梁日常養(yǎng)護(hù)的人來(lái)說(shuō)，通過(guò)這些不確定和模糊的描述做出快速、準(zhǔn)確的判斷是很困難的。

為了定量考慮任意因素造成的影響，以及為橋梁的安全檢測(cè)和狀況評(píng)估提供一個(gè)可靠的依據(jù)，在以下的研究中，我們用基于蒙特卡羅模擬的概率分析對(duì)橋梁在各種因素下的可靠度進(jìn)行分析。

1 蒙特卡羅數(shù)值模擬

1.1 基本原理

蒙特卡羅方法的實(shí)質(zhì)是通過(guò)大量的隨機(jī)試驗(yàn)，利用概率論解決問(wèn)題的一種數(shù)值方法，基本思想 是基于概率和體積間的相似性[5]。蒙特卡羅法是通過(guò)抽樣統(tǒng)計(jì)原理建立一個(gè)數(shù)學(xué)或物理模型，從而解決實(shí)際問(wèn)題。通常，首先提出一個(gè)與實(shí)際問(wèn)題有著某種聯(lián)系的概率模型，然后用計(jì)算機(jī)按照指定的分布，產(chǎn)生足夠的輸入變量的值，這意味著已經(jīng)做好了足夠的實(shí)驗(yàn)，因?yàn)槟Ｐ秃蛯?shí)際問(wèn)題之間有相似之處，這些生成的數(shù)值就可以模擬實(shí)際問(wèn)題中隨機(jī)因素的變化，最后，這個(gè)模型的計(jì)算特征值(即輸出變量的值或標(biāo)準(zhǔn)偏差等)可以為實(shí)際問(wèn)題提供一個(gè)近似解決方案。

1.2 基于直接抽樣的蒙特卡羅模擬

直接通過(guò)隨機(jī)抽樣對(duì)結(jié)構(gòu)的可靠度進(jìn)行模擬，是結(jié)構(gòu)可靠度蒙特卡羅模擬的最基本方法，可稱(chēng)為直接抽樣法[6]。

(1)

結(jié)構(gòu)失效概率為：

(2)

式中，I(x)為x的指示函數(shù)(或稱(chēng)特征函數(shù)、示性函數(shù))，規(guī)定當(dāng)x<0時(shí)為I(x)=1，x≥0時(shí)為I(x)=0。I[gx(x)]在此將積分區(qū)域從規(guī)則的失效域Ωf擴(kuò)充至無(wú)窮大規(guī)則域，使被積函數(shù)在整個(gè)gx(x)≥0的區(qū)域?yàn)榱恪?/p>

根據(jù)式(2)，設(shè)X的第i個(gè)樣本值為xi，則Pf的估計(jì)值為：

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

2 基于蒙特卡羅法的橋梁可靠度分析

2.1 計(jì)算原理

結(jié)構(gòu)可靠度是指在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)、規(guī)定的條件下，完成預(yù)定功能的概率[8]。

設(shè)X=(X1,X2,…,Xn)T是影響結(jié)構(gòu)功能的n個(gè)隨機(jī)變量，X可以是結(jié)構(gòu)的幾何尺寸、材料的物理力學(xué)參數(shù)、結(jié)構(gòu)所受的作用，機(jī)構(gòu)抗力等。稱(chēng)隨機(jī)函數(shù)Z=g(X)=g(X1,X2,…,Xn)為結(jié)構(gòu)的功能函數(shù)(或失效函數(shù))。規(guī)定Z>0表示結(jié)構(gòu)處于可靠狀態(tài)，表示結(jié)構(gòu)處于失效狀態(tài)。結(jié)構(gòu)可靠度分析就是通過(guò)考慮各種隨機(jī)因素對(duì)結(jié)構(gòu)功能的影響，進(jìn)而確定結(jié)構(gòu)或結(jié)構(gòu)某一部分的失效概率Pf。

《公路工程結(jié)構(gòu)可靠度設(shè)計(jì)統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)》中已經(jīng)給出橋梁結(jié)構(gòu)中荷載，荷載效應(yīng)，抗力等參數(shù)的概率分布，實(shí)際工程中還可根據(jù)工程實(shí)際情況加以修正。運(yùn)用蒙特卡羅法對(duì)橋梁進(jìn)行可靠度分析的步驟如下：

(1)根據(jù)預(yù)先規(guī)定的失效準(zhǔn)則寫(xiě)出橋梁各截面的功能函數(shù)Z=g(X)=g(X1,X2，…,Xn)；

(2)根據(jù)橋梁規(guī)范以及實(shí)測(cè)確定功能函數(shù)中各隨機(jī)變量的概率分布；

(3)按照各隨機(jī)變量的概率分布采用一定的抽樣方法分別生成各變量的隨機(jī)數(shù)，每次抽樣都能生成一組(Xi1,Xi2,…,Xin)T；

(4)根據(jù)(1)步驟計(jì)算出第i次抽樣時(shí)功能函數(shù)Zi的具體值，共生成N組；

(5)統(tǒng)計(jì)出功能函數(shù)Zi<0出現(xiàn)的次數(shù)，最終得出橋梁各截面的失效概率Pf=Nf/N。

2.2 工程背景

本文以北盤(pán)江預(yù)應(yīng)力混凝土懸澆空腹(斜腿)式連續(xù)剛構(gòu)橋?yàn)檠芯勘尘埃鳂驑蛐筒贾萌鐖D1所示，有限元模型如圖2所示。主橋部分總長(zhǎng)為895 m，橋跨布置為(82.5+220+290+ 220+82.5) m。上部結(jié)構(gòu)采用連續(xù)變截面現(xiàn)澆混凝土箱梁，寬度為10.5 m，由鋼筋混凝土橋墩支撐，主墩的高度分別為75 m、90 m、143 m、68 m，均采用雙肢薄壁空心截面，其中中間兩對(duì)橋墩設(shè)有空腹斜腿以提高根部剛度。橋臺(tái)部分的支撐類(lèi)型為簡(jiǎn)支。橋墩的縱向配筋主要采用直徑32 mm，28 mm，20 mm的HRB335鋼筋，橫向箍筋為直徑為16 mm和20 mm的HRB335鋼筋。

圖1 主橋橋型布置/cm

圖2 主橋有限元模型/cm

2.3 橋梁各截面失效準(zhǔn)則

根據(jù)有關(guān)規(guī)范[9]，取各截面抗彎失效準(zhǔn)則如下：

(9)

其中，R為截面極限承載力；γ0為結(jié)構(gòu)重要性系數(shù)，這里取1.1；SGd為自重荷載及二期荷載效應(yīng)設(shè)計(jì)值；SQd為汽車(chē)荷載效應(yīng)的設(shè)計(jì)值；SQjd為除汽車(chē)荷載效應(yīng)外的其他第j個(gè)可變作用效應(yīng)的分項(xiàng)系數(shù)；ψc為當(dāng)除汽車(chē)荷載效應(yīng)之外，仍有兩個(gè)可變作用效應(yīng)時(shí)，取0.70，當(dāng)仍有三種可變效應(yīng)時(shí)，取0.60，有四種及四種以上可變效應(yīng)時(shí)，取0.50。

2.4 橋梁各截面的功能函數(shù)

考慮到橋梁是變截面橋梁，且預(yù)應(yīng)力鋼筋形狀復(fù)雜，直接得出各截面的荷載與荷載效應(yīng)之間的關(guān)系有困難，所以我們采用的方法是運(yùn)用MIDAS 2010對(duì)各種荷載單獨(dú)作用情況下的荷載效應(yīng)值進(jìn)行分析，再不斷變換該荷載的荷載值，得出不同荷載值對(duì)應(yīng)的荷載效應(yīng)值，運(yùn)用MATLAB的統(tǒng)計(jì)工具箱進(jìn)行線(xiàn)性擬合，得出各種荷載與荷載效應(yīng)之間的線(xiàn)性關(guān)系，進(jìn)而可求出各截面的功能函數(shù)。圖3給出的是中跨跨中截面自重系數(shù)(MIDAS中的自重系數(shù)為G/Gk)和彎矩效應(yīng)之間的關(guān)系。

圖3 自重系數(shù)和截面彎矩之間的線(xiàn)性關(guān)系

根據(jù)《公路工程結(jié)構(gòu)可靠度設(shè)計(jì)統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)》的有關(guān)規(guī)定，并綜合考慮北盤(pán)江大橋的實(shí)際情況，取截面抗力概率分布如表1所示?，F(xiàn)取各荷載與荷載效應(yīng)的概率分布如表2而所示。

表1 北盤(pán)江大橋截面抗力概率分布

2.5 橋梁各截面的可靠度

通過(guò)蒙特卡羅隨機(jī)抽樣106次，并記錄功能函數(shù)大于0的次數(shù)，就可以得到北盤(pán)江大橋各截面的可靠度，如圖4所示?？芍北P(pán)江大橋主橋各跨跨中截面的可靠度相對(duì)較低，支座截面處的可靠概率相對(duì)較高；全橋最低可靠度在主橋中跨的跨中截面處，可靠度約為0.9968。

表2 北盤(pán)江大橋荷載及荷載效應(yīng)概率分布

圖4 北盤(pán)江大橋各驗(yàn)算截面可靠度

3 結(jié) 語(yǔ)

如果抽樣次數(shù)足夠多的話(huà)，蒙特卡羅法可以被認(rèn)為是一種精確的方法。在橋梁正常運(yùn)營(yíng)階段，通過(guò)對(duì)實(shí)測(cè)監(jiān)控?cái)?shù)據(jù)的搜集和分析，可以不斷的升級(jí)評(píng)價(jià)項(xiàng)目，得到更為精確的結(jié)果。通過(guò)本文介紹的蒙特卡羅數(shù)值模擬方法，可以定量分析各隨機(jī)變量對(duì)橋梁結(jié)構(gòu)的影響，并且結(jié)果也可以以一種直觀(guān)清晰的方式表示出來(lái)，因此，我們對(duì)橋梁結(jié)構(gòu)的維護(hù)決策也可以變得更加準(zhǔn)確而且目的性更強(qiáng)。

[1] GB/T 50283-1999,公路工程結(jié)構(gòu)可靠度設(shè)計(jì)統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)[S].

[2] Guo Tong, Li Aiqun, Miao Changqing. Monte Carlo numerical simulation and its application in probability analysis of long span bridges[J].Journal of Southeast University(English Edition)，2005,21(4):469-473.

[3] Rens Kevin L, Nogueira Carnot L, Transue David J. Bridge management and nondestructive evaluation[J].Journal of Performance of Constructed Facilities,2005,19(1):3-16.

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[5] 張建仁,劉 揚(yáng),許福友.結(jié)構(gòu)可靠度理論及其在橋梁工程中的應(yīng)用[M].北京：人民交通出版社, 2003．

[6] 金勇進(jìn). 抽樣：理論與應(yīng)用[M].北京：高等教育出版社，2009.

[7] 董 聰，夏人偉.現(xiàn)代結(jié)構(gòu)系統(tǒng)可靠性評(píng)估理論研究進(jìn)展[J].力學(xué)進(jìn)展, 1995，25(4)：537-548．

[8] 黃興華.淺談橋梁可靠度計(jì)算方法[J].中國(guó)水運(yùn)，2010，10(2)：135-136．

[9] JTG D60-2004，公路橋涵設(shè)計(jì)通用規(guī)范 [S].