P-內(nèi)射的WB-環(huán)

李艷午，儲(chǔ)茂權(quán)，程海霞，3

(1.蕪湖信息技術(shù)職業(yè)學(xué)院，安徽蕪湖 241000;2.安徽師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，安徽蕪湖 241000; 3.南京大學(xué)數(shù)學(xué)系，江蘇南京 210093)

0 引言

設(shè)R是環(huán)，M為右R-模，如果每個(gè)主右理想aR到M的右R-同態(tài)能夠擴(kuò)張成RR到M的同態(tài)，那么，稱模M為右P-內(nèi)射模;如果RR是右P-內(nèi)射模，則稱環(huán)R為右P-內(nèi)射環(huán)［1］.內(nèi)射性是關(guān)于環(huán)的一個(gè)很重要的性質(zhì)，許多研究人員都對(duì)其做了深入而廣泛的研究，取得了許多結(jié)果［1，2］.

環(huán)R稱為正則環(huán)，是指對(duì)任意的a∈R，存在，b∈R，使得，a=aba.正則環(huán)的研究一直吸引著研究人員的興趣，并取得了一些結(jié)果［3］.近年來(lái)，又有研究人員研究了正則環(huán)上的模比較結(jié)構(gòu)，例如，陳煥垠［4］研究了正則的WB-環(huán)，得到了這種環(huán)上的部分比較結(jié)構(gòu).受此啟發(fā)，本文研究了P-內(nèi)射的WB-環(huán)，推廣了文獻(xiàn)［4］的部分結(jié)果，同時(shí)也使文獻(xiàn)［1，2］的部分結(jié)果得到拓展和延伸.

1 預(yù)備知識(shí)

本文中的環(huán)R都是有單位元的結(jié)合環(huán)，稱環(huán)R的理想I，J是正交的.如果，IJ=JI=0，設(shè)M和N為右R-模，M＜⊕N表示M同構(gòu)于N的子模.設(shè)I是環(huán)R的理想，稱a∈R是模I右(左)可逆，如果存在u∈R，使得，

2 主要結(jié)果及證明

定理1 設(shè)R是非奇異的P-內(nèi)射環(huán)，并且滿足特殊左零化子的升鏈條件，則下列條件等價(jià):

(1)R是WB-環(huán);

(2)對(duì)任何a∈R，有正交理想I，J，使得，a=aua =ava，這里u∈R模I右可逆，v∈R模J左可逆.

證明 (1)?(2).

由于R是非奇異的P-內(nèi)射環(huán)，所以存在一個(gè)環(huán)R的理想L，且L≠0，使得，l(a)⊕L是R的本質(zhì)左理想［5］.令b∈L，且b≠0.如果r1，r2∈R，且使得，r1ba=r2ba，那么，(r1b-r2b)a=0，r1b-r2b∈l(a)∩L，考慮到，l(a)∩L=0，由此可推出，r1b=r2b.于是，我們可以定義，f:Rba→R，rba|→rb.易見(jiàn)，f是左R-同態(tài).又因?yàn)镽是P-內(nèi)射的，從而存在x∈R，使得，rb=f(rba)=rbax1，對(duì)所有r∈R.特別地，對(duì)r=1，可得到，b=bax1，等式兩邊右乘a，又得到，b(a-ax1a)=0，b∈l(a-ax1a).再由，0≠b∈L和l(a)∩L=0，可推出b?l(a).因此有，l(a)?≠l(a1)，這里，a1=a-ax1a.

重復(fù)上面的步驟，我們可以假定:

由于R滿足特殊左零化子的升鏈條件，于是可以假定，l(an)=l(an+1).如果，l(an)=l(an+1)≠R，那么，an≠0.于是由上面的過(guò)程可推出，l(an)?≠l(an+1)，此與l(an)=l(an+1)矛盾.因此，我們得到，l(an)=l(an+1)=R，an=0，故，an-1= an-1xnan-1，an-1=an-2-an-2xn-1an-2.由文獻(xiàn)［3］可知，an-1是正則的.類似地進(jìn)行下去，最后得到，a= axa，對(duì)某個(gè)x∈R，即環(huán)R是正則環(huán).于是對(duì)，a∈R，存在x∈R，使得，a=axa，x=xax，而ax+(1-ax) =1，故根據(jù)文獻(xiàn)［4］有正交理想I，J和y，z∈R，使得，u=x+y(1-ax)∈R模I右可逆，v=x+z(1 -ax)∈R模J左可逆.容易驗(yàn)證，a=axa=aua= ava.

(2)?(1).

由于Goldie環(huán)是滿足特殊左零化子升鏈條件的［6］，所以有:

推論1 設(shè)R是非奇異的P-內(nèi)射環(huán)，如果R又是Goldie環(huán)，那么下列等價(jià):

(1)R是WB-環(huán);

(2)對(duì)任何a∈R，有正交理想I，J，使得，a= aua=ava，這里，u∈R模I右可逆，v∈R模J左可逆.

根據(jù)文獻(xiàn)［7］的定理2，半素的P-內(nèi)射環(huán)是非奇異的，所以結(jié)合定理1有:

推論2 設(shè)R是半素的P-內(nèi)射環(huán)，如果R滿足特殊左零化子的升鏈條件，那么下列等價(jià):

(1)R是WB-環(huán);

(2)對(duì)任何a∈R，有正交理想I，J，使得，a= aua=ava，這里，u∈R模I右可逆，v∈R模J左可逆.

定理2 設(shè)R是非奇異的P-內(nèi)射環(huán)，如果R不包含由有限非零主左理想構(gòu)成的直和項(xiàng)，那么下列等價(jià):

(1)R是WB-環(huán);

(2)對(duì)任何a∈R，有正交理想I，J和冪等元e∈R，使得，a=eu=ev，這里，u∈R模I右可逆，v∈R模J左可逆.

證明 (1)?(2).

令a∈R并且a≠0.由假設(shè)，存在x1∈R，x1≠0，使得，l(a)⊕Rx1?l(a1)，這里，a1=a-ax1a.如果，l(a1)=R，那么，a1=0，即，a=ax1a.若l(a1)≠R，則a1≠0.類似地，存在b2∈R，b2≠0，使得，l(a1)⊕Rb2?l(a2)，a2=a1-a1x2a1.由此，得到，l(a)⊕Rb1⊕Rb2?l(a2)，a1=a-ax1a，a2=a1-a1x2a1.

由于R不包含由有限個(gè)非零主左理想構(gòu)成的直和項(xiàng)，那么重復(fù)上面的步驟，我們可以假定:

由l(an)=R，可推出an=0，因此，

最后，根據(jù)文獻(xiàn)［5］，存在x∈R，使得，a=axa，即證明了環(huán)R是正則環(huán).于是，對(duì)a∈R，存在x∈R，使得，a=axa和x=xax，又因?yàn)椋琣x+(1-ax)= 1，所以，u=a+(1-ax)y∈R模I右可逆，v=a+ (1-ax)z∈R模J左可逆.令e=ax，則e2=e∈R，且，a=eu=ev.

(2)?(1).

令a∈R，由于R是正則環(huán)，從而存在x∈R，使得，a=axa和x=xax.由假設(shè)，存在正交理想I，J和冪等元e=R，使得，x=eu=ev，這里，u∈R模I右可逆，v∈R模J左可逆.注意到，xa+(1-xa)=1，于是，eua+(1-xa)=1，從而，e+(1-xa)(1-e) =1-eua(1-e)∈R可逆，那么，x+(1-xa)(1-e)u=(1-eua(1-e))u，令u′=(1-eux(1-e))u，則，a=axa=au′a，這里，u′∈R模I右可逆.同理，存在v′∈R，使得，v′∈R模J左可逆.最后，由定理1得證R是WB-環(huán).

稱x，y∈R為相對(duì)于a是可交換的，如果axy= ayx，一個(gè)環(huán)R稱為CF環(huán)，如果R的每個(gè)補(bǔ)左理想是有限生成的并且生成子的右單位元素相對(duì)于那個(gè)生成子是可交換的［4］，稱，a，b∈R為相似.如果有可逆元u∈R，使得，a=ubu-1，記為a～b;稱a，b∈R為偽相似.如果有x，y，?z∈R，使得，xay=b，zbx= a，xyx=xzx=x，記為ab.下面就用偽相似來(lái)刻畫(huà)P-內(nèi)射WB-環(huán).

定理3 設(shè)R是非奇異的P-內(nèi)射環(huán)，如果R又是CF環(huán)，那么下列等價(jià):

(1)R是W?B-環(huán);

(2)如果ab，a，b∈R，則有正交理想I，J，使得，au=ub，av=vb，其中，u∈R模I右可逆，v∈R模J左可逆;

(3)如果eR?fR，e，f∈R為冪等元，則有正交理想I，J，使得，

證明 根據(jù)文獻(xiàn)［2］的定理5，由假設(shè)可知環(huán)R是正則的，再根據(jù)文獻(xiàn)［4］的定理3.1得，(1)與(2)和(3)的等價(jià)性.

推論3 設(shè)R是非奇異的P-內(nèi)射環(huán)，如果R又是CF環(huán)，那么下列等價(jià):

(1)R是WB-環(huán);

(2)如果aR?bR，a，b∈R，則有正交理想I，J，使得，

證明 (1)?(2).

由條件以及文獻(xiàn)［2］的定理5知，環(huán)R是正則環(huán).如果，aR?bR，a，b∈R，那么存在冪等元e，f∈R，使得，aR=eR，bR=fR，從而，eR?fR.于是，由定理3知，存在正交理想I，J，使得，

不難證明，

同理，

故，

(2)?(1).

假定eR?fR，e，f∈R為冪等元，則有正交理想I，J，使得，

又易見(jiàn)，

同理，

最后，根據(jù)定理3知R是WB-環(huán).

定理4 設(shè)R是非奇異的P-內(nèi)射環(huán)，且滿足特殊左零化子的升鏈條件，則下列條件等價(jià):

(1)R是WB-環(huán);

(2)如果aR?bR，a，b∈R為冪等元，則有正交理想I，J，使得，au=ub，av=vb，這里，u∈R模I右可逆，v∈R模J左可逆.

證明 (1)?(2).

如果aR?bR，a，b∈R為冪等元，則有，r1∈?aRb，r2∈bRa，使得，a=r1r2，b=r2r1，由此可得，a

b.故由定理3得證.

(2)?(1)，是定理3的直接結(jié)果.

稱a∈R有Drazin逆，如果存在，n∈N，r∈R，使得，an=an+1x，ax=xa，xax=x，稱x為a的Drazin逆，記為ad.

定理5 設(shè)R是非奇異的P-內(nèi)射環(huán)，則R只要再滿足下列條件之一:

(a)特殊左零化子的升鏈條件;

(b)R是CF環(huán);

(c)R是Goldie環(huán);

(d)R不包含由有限非零主左理想構(gòu)成的直和項(xiàng).

就有，

(1)R是WB-環(huán);

(2)如果ab，ba，a，b∈R有Drazin逆，則有正交理想I，J，使得，

這里，u∈R模I右可逆，v∈R模J左可逆，等價(jià).

證明 (1)?(2).

首先，易知R只要再滿足上述條件之一，那么R就是正則環(huán).如果ab，ba，a，b∈R有Drazin逆，則存在，n∈N，使得，

從而就有，

于是，

最后，由定理3可證.

(2)?(1).

如果aR?bR，a，b∈R為冪等元，則有，r1∈aRb，r2∈bRa，使得，a=r1r2，b=r2r1.顯然，a，b都有Drazin逆，于是有正交理想I，J，使得，

其中，u∈R模I右可逆，v∈R模J左可逆.由定理4得R是WB-環(huán).

［1］Nicholson W K.Principally Injective Rings［J］.Journal of Algebra，1995，174(1):77－93.

［2］Zhang J L.P-injective Rings and Von-Neumann Regular Rings［J］.Northeast Math J，1991，7(3):326－331.

［3］Goodearl K R.Von Neumann Regular Rings［M］.London: Pitman，1979.

［4］陳煥垠.正則的WB－環(huán)［J］.數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2006，49(6): 1311－1320.

［5］Faith C，Algebra II:Rings Theory［M］.New York:Springer-Verlag，1976.

［6］Chattes A W，Hajarnavis C R.Rings with Chain Conditions［M］.London:Pitman，1980.

［7］Zhang J L.On Nonsingular Rings［J］.Journal of Anhui Normal University(Natural Science)，1986，9(4):6－11.