具有跨區(qū)域的漁業(yè)資源的離散動力學(xué)模型分析

梁艷，顧恩國

(中南民族大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院，湖北 武漢 430074)

隨著人口的增長和經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，公共漁業(yè)資源的過度捕撈已嚴(yán)重影響其再生能力和人類對它的可持續(xù)利用[1].因此再生資源的可持續(xù)利用已成為重要的研究課題.眾所周知，公共漁業(yè)資源的演化是一個復(fù)雜的非線性過程，它不僅與資源的自然環(huán)境因素(生物種群的自然增長率、生存環(huán)境的自然承載能力)有關(guān)，還與社會因素有關(guān)(市場的價格、捕撈者的捕撈能力和捕撈社會成本)有關(guān).為了更好地掌握全部漁業(yè)，需要弄清資源的演化和捕撈情況.為了更好地管理漁業(yè)，國際海洋法規(guī)把漁業(yè)劃分為3個區(qū)域地分別為：內(nèi)陸、淺海灘、深海，每部分又以水域差異為主導(dǎo)因素，輔以生產(chǎn)作業(yè)和資源特點(diǎn)分為若干區(qū).在國外，關(guān)于漁業(yè)資源可持續(xù)發(fā)展的研究很多，關(guān)于不同區(qū)域生物經(jīng)濟(jì)模型也有一些，大多為ODE模型[2-3]，早期由Pierre建立的不同的時間刻度下的生物經(jīng)濟(jì)連續(xù)模型[4]，近年來R.Mchich對模型進(jìn)行了完善，主要研究在多個捕魚區(qū)的捕撈力度的空間分布最優(yōu)化問題，受到R.Mchich模型[3-5]的啟發(fā)，考慮到生物種群的數(shù)量代與代之間不重疊和捕撈力度是有周期性的，本文中建立離散動力學(xué)模型，盡管有人已經(jīng)提出關(guān)于時間演化的漁業(yè)資源離散動力模型，但沒有考慮魚與漁船在不同區(qū)域的游動的速度和魚和船只的增長速度差別，因此，本文中在假設(shè)有兩種時間刻度的基礎(chǔ)上，建立一個跨區(qū)域的漁業(yè)資源和捕撈力度的時間演化的離散動力模型，用聚合方法簡化成二維的動力系統(tǒng)，先分析正不動點(diǎn)的存在性和局部穩(wěn)定性，再分析可行域的邊界即當(dāng)前漁業(yè)資源在什么范圍才能保持不枯竭.

1 模型的建立

主要考慮3個毗連的漁業(yè)區(qū)域，并且在t時刻魚的密度分別為x1(t)、x2(t)、x3(t)，捕撈力度分別為E1(t)、E2(t)、E3(t)，為了便于分析，我們假設(shè)所有的漁船出海時間是相同的，這樣每個區(qū)域的捕撈力度可用船隊(duì)擁有的船只數(shù)量來測量.

假設(shè)存在兩個不同的時間刻度，在快的時間刻度(一秒)下，資源的總儲量和船只的總數(shù)目被假設(shè)為保持不變.因此，這個模型此時僅描述魚與船只在不同區(qū)域的變化，在慢的時間刻度(一年或一個季度或一月)，魚的總儲量和船只的數(shù)目發(fā)生了變化.在每個區(qū)域的漁業(yè)資源和捕撈力度的演化模型由Barbier[5]提出.對于魚的儲量，用logistic模型描述魚的增長隨著捕獲而減少，即

xi(t+1)-xi(t)=rixi(t)(1-xi(t)/Ki)-h(xi(t)，Ei(t))，

這里ri和Ki(i=1，2，3)分別表示第i個區(qū)域自然增長率和環(huán)境承載能力.對于捕撈力度而言，捕撈船只的增加或減少要隨漁民收益而變化，即

Ei(t+1)-Ei(t)=ph(xi(t)，Ei(t))-ciEi(t),

這里ci是第i個船隊(duì)的捕撈成本，p是魚的市場價格.根據(jù)前面的假設(shè)，建立系統(tǒng)如下：

(1)

h(xi(t)，Ei(t))=qiEi(t)xi(t)(i=1，2，3)，qi為個體i的捕撈能力，aij表示魚從區(qū)域i到區(qū)域j的遷移率，bij表示漁船從區(qū)域i到區(qū)域j的遷移率，R>>1是魚和船(每年或每個季節(jié)或每個月)遷移的次數(shù)，假如令ε=1/R，方程(1)可以被寫成下列形式：

(2)

令x(t)=x1(t)+x2(t)+x3(t)，E(t)=E1(t)+E2(t)+E3(t)，ε=0其中xi=αix，Ei=βiE(i=1，2，3),

(3)

2 非負(fù)平衡點(diǎn)的存在性

(3)式可以寫成映射動力系統(tǒng)形式：

(4)

3 非負(fù)平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性和分叉

為了得出系統(tǒng)(4)的平衡點(diǎn)穩(wěn)定性，我們考慮系統(tǒng)(4)的Jacobian矩陣：

(I)在E0(0,0)處,有

可得到平衡點(diǎn)E0, 當(dāng)0

(II)在E1(K,0)處，有

當(dāng)0

(III)在P(x*,E*)處,我們有

其矩陣的特征多項(xiàng)式為

P(λ)=λ2-tr(J)λ+det(J)，

由Jury條件p(1)=1-tr(J*)+det(J*)>0,P(-1)=1-tr(J*)+det(J*)>0,1-detJ*>0時，關(guān)于正平衡點(diǎn)p的穩(wěn)定性我們有下面定理.

定理1

(2)當(dāng)C=C1=KpQ時,系統(tǒng)(4)發(fā)生跨臨界分叉.當(dāng)C>C1時正平衡點(diǎn)p(x*,E*)失去穩(wěn)定,E1(K,0)開始穩(wěn)定;當(dāng)C

(4)當(dāng)C=C3=KpQ-1時,系統(tǒng)(4)在p(x*,E*)處產(chǎn)生Neimark分叉；當(dāng)C

4 正平衡點(diǎn)的全局分析

圖 1 系統(tǒng)(4)關(guān)于參數(shù)K=5,r=11/6,p=1,Q=1/3隨著參數(shù)C變化的可行域

次迭代為負(fù),因此在第一象限并且在直線X-1左邊的點(diǎn)屬于不可行吸引域,可行域邊界此時完全由坐標(biāo)軸和X的前像構(gòu)成,如圖1(d);從圖1(a)中，我們可以看到混沌吸引子與可行域的邊界很接近，在這種情況下，外部環(huán)境一個很小的擾動都會導(dǎo)致資源的滅絕.

5 結(jié)語

本文中提出的是跨邊界的漁業(yè)資源的離散動力學(xué)模型,對模型進(jìn)行非線性分析，得到正平衡態(tài)的存在性和局部穩(wěn)定性，并從全局上分析了可行吸引域的結(jié)構(gòu)，從而揭示了漁業(yè)資源可持續(xù)利用的內(nèi)在規(guī)律。在這篇文章里，我們只簡單地考慮了3個區(qū)域，然而，這種方法對漁業(yè)區(qū)域研究可簡單地推廣到N(N>3)個,還有，在文中，我們把魚的市場價格假設(shè)為常數(shù)，在短期內(nèi)是可行的。事實(shí)上，它應(yīng)是一個變量，主要取決于市場需求和供應(yīng)的差異，有待以后研究.

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