變異理論與概念的豐富性

　　概念是認(rèn)識(shí)的起點(diǎn)，是思維的基本單位，如果沒有概念，這個(gè)世界將會(huì)陷入極度的混亂，交流會(huì)變得非常困難，概念會(huì)幫助我們很好地認(rèn)識(shí)世界、有效地與他人交流。一直以來，概念教學(xué)都是教育學(xué)和心理學(xué)研究的主要問題之一。
　　以數(shù)學(xué)教學(xué)中的“方程”概念為例，“含有未知數(shù)的等式叫做方程”，學(xué)生對(duì)此概念記得很熟，但在做“某同學(xué)買了2塊橡皮，每塊花了X元，買1個(gè)筆記本花了6元，一共花去9元，問每塊橡皮幾元，請(qǐng)列出方程”的題目時(shí)，仍然列出了這樣的方程：（9-6）÷2=X。教師們發(fā)出困惑：我們清清楚楚地教了概念，學(xué)生也能熟練地誦讀，為什么一到應(yīng)用時(shí)就出問題？癥結(jié)在哪里？
　　癥結(jié)在哪里？這里涉及概念內(nèi)涵的豐富性問題。許多數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵往往是豐富的，要透徹理解一個(gè)概念需要多維度、多層次的感悟，經(jīng)歷概念形成的過程，不要指望靠背誦抽象的概念名詞就能掌握其內(nèi)涵。概念是對(duì)豐富多彩的現(xiàn)象世界的抽象，它是簡(jiǎn)約的，但它反映的事物是多維的、立體的，對(duì)于抽象思維水平不高、經(jīng)驗(yàn)閱歷有限的學(xué)生來說，就越需要從各個(gè)角度、不同層次加以認(rèn)識(shí)。所以認(rèn)識(shí)概念不僅要區(qū)分開概念的本質(zhì)屬性與非本質(zhì)屬性，還面臨著概念本質(zhì)屬性如何豐富起來的問題。
　　通過對(duì)上例的分析發(fā)現(xiàn)，由于簡(jiǎn)單的背誦，學(xué)生對(duì)“方程”的認(rèn)識(shí)非常單薄，僅有兩個(gè)維度：含有未知數(shù)和有等號(hào)，所以會(huì)列出“（9-6）÷2=X”的方程。然而，方程的內(nèi)涵非常豐富，比如與四則運(yùn)算的運(yùn)算加工或普通等式比較，方程的一個(gè)屬性是“現(xiàn)實(shí)問題的數(shù)學(xué)描述，這種描述可以是已知量，也可以含有未知量”，也就是說，它是不經(jīng)過運(yùn)算加工的數(shù)學(xué)問題，只是對(duì)問題情境的數(shù)學(xué)描述，同時(shí)揭示出它的另一個(gè)屬性：既可以用已知量進(jìn)行描述，也可以用未知量進(jìn)行描述。
　　那么怎樣才能成功地進(jìn)行概念教學(xué)，讓概念豐富和立體起來呢？變異理論為我們提供了一個(gè)視角，它的提出者是世界著名教學(xué)論專家瑞典哥德堡大學(xué)的馬飛龍（又譯作“馬騰”）教授。
　　
　　一、以本學(xué)科常用的認(rèn)識(shí)概念的基本維度為線索，多方面認(rèn)識(shí)概念
　　
　　變異理論認(rèn)為：“對(duì)于學(xué)習(xí)來說，一定數(shù)量的重復(fù)是絕對(duì)有必要的。但并不是說學(xué)習(xí)能從一成不變的簡(jiǎn)單重復(fù)中產(chǎn)生。另一方面，我們也不認(rèn)為學(xué)習(xí)能從毫無重復(fù)、變化無端中產(chǎn)生。學(xué)習(xí)源于系統(tǒng)的重復(fù)和變異?！儺惱碚摰幕居^點(diǎn)是，為了認(rèn)識(shí)某個(gè)事物，就必須注意到91cMmNs5dRdw+VUDPP2Bl/3WrD7dEjPaFULFiXldsWc=這個(gè)事物與其他事物之間的不同。”[1]
　　學(xué)習(xí)不能從一成不變的簡(jiǎn)單重復(fù)中產(chǎn)生，讓學(xué)生把概念記熟、背誦，顯然不是學(xué)習(xí)的最佳選擇。學(xué)習(xí)也不能從毫無重復(fù)、變化無端中產(chǎn)生，所以讓學(xué)生每天面對(duì)陌生的學(xué)習(xí)內(nèi)容也不是最佳選擇。學(xué)習(xí)源于系統(tǒng)地重復(fù)和變異，而要發(fā)現(xiàn)與其他事物之間的重復(fù)或不同，就必須首先進(jìn)行比較。因此，變異理論的基本方法是對(duì)比。馬飛龍?jiān)谒牧硪黄恼轮?，引用?9世紀(jì)英國(guó)哲學(xué)家和神學(xué)家James Martineau的一段話，很好地說明了對(duì)比的分化力量：“先看一個(gè)象牙球，然后把它拿走，它會(huì)給我們留下一個(gè)內(nèi)在表征，其各方面特征同時(shí)存在，不能區(qū)分。接下來出現(xiàn)一個(gè)白球，這時(shí)，而不是剛才，通過對(duì)比的作用，一個(gè)因素即顏色，從球里分離出來，顯現(xiàn)到突出地位。再用一個(gè)雞蛋替換白球，這個(gè)新的差異會(huì)將形狀從沉睡狀態(tài)喚醒到我們的意識(shí)中。由此，對(duì)我們而言，最開始只是與某個(gè)背景相分離的一個(gè)物體，逐漸成為一個(gè)紅色的物體，再是一個(gè)紅色球體”。[2]對(duì)比使人注意到事物的變異，并通過變異把反映事物的維度（即上述引用中的因素如顏色、形狀）揭示出來。我們認(rèn)為揭示出反映事物的維度是非常重要的，維度是支撐概念圖式的一個(gè)個(gè)支架，多一個(gè)維度，這個(gè)概念就更立體一些，這些維度有機(jī)聯(lián)系在一起，支撐起這個(gè)概念圖式?！八^‘客觀的現(xiàn)實(shí)’是如此難以接近，使人們有必要以圖式結(jié)構(gòu)來處理世界?！盵3]維度就是搭建概念圖式的框架，多一條維度，對(duì)概念的理解就多一條線索，維度越多，概念就越豐滿，接近“客觀的現(xiàn)實(shí)”的可能性就越大。
　　所以，變異理論認(rèn)為，學(xué)習(xí)發(fā)生的最佳條件，感悟最容易發(fā)生的情境，是在進(jìn)行比較、辨別的時(shí)候?！氨鎰e是指找出使一事物區(qū)別于其他事物的突出特征或關(guān)鍵差異。這些突出特征就是事物的變異維度，可以用來說明哪些是這個(gè)事物（正例）和哪些不是（反例）。因此，知覺學(xué)習(xí)就是找出突出特征或關(guān)鍵性的變異維度?！盵4]那么反過來是不是可以說，根據(jù)維度就容易找出突出特征或關(guān)鍵性的變異，也就是容易辨別概念呢？比如上例中，根據(jù)顏色、形狀等維度的情況，能否容易辨別、認(rèn)識(shí)“紅色球體”這個(gè)概念呢？回答是肯定的，知道的維度越多，揭示出概念本質(zhì)屬性的可能性就越大。概念尤其是數(shù)學(xué)概念具有高度的抽象性，這種抽象性往往掩蓋著它與具體事物的聯(lián)系，例如方程有多種屬性，其中既包括定義中揭示的“含有未知數(shù)的等式”兩個(gè)屬性，也包括定義中未揭示的屬性，這些未揭示的屬性是隱含的，如果學(xué)生們能認(rèn)識(shí)到這些屬性，就可以通過在不同維度的比較中喚醒并使它們凸顯出來。比如從表達(dá)形式上看，方程是用數(shù)、符號(hào)等表示的相等關(guān)系；從算式表達(dá)形式的實(shí)質(zhì)上看，是兩個(gè)等價(jià)事件的不同表述用等號(hào)連接起來；從表述形式對(duì)數(shù)量關(guān)系加工程度上看，只是現(xiàn)實(shí)問題的數(shù)學(xué)描述而不是加工，這種描述可以是已知量，也可以含有未知量；從運(yùn)算方式上看，方程是通過相等關(guān)系去尋找未知量的值，可以把未知量看做已知量參與列式和運(yùn)算。上述四個(gè)維度的屬性體現(xiàn)了方程不同于普通等式的特別之處，如果沒有對(duì)這些維度的比較，概念的內(nèi)涵就不會(huì)被學(xué)生所認(rèn)識(shí)?？梢哉f，沒有在各個(gè)維度上的比較就不會(huì)有特性，也就不會(huì)認(rèn)識(shí)到概念內(nèi)涵的豐富性。
　　所以在概念教學(xué)中，除了準(zhǔn)確認(rèn)識(shí)定義中揭示的本質(zhì)屬性外，還應(yīng)該在概念其他維度的情況上，特別是在那些反復(fù)出現(xiàn)、具有一般性的學(xué)科基礎(chǔ)維度方面，通過比較加以多維度的認(rèn)識(shí)，以揭示出隱含在其中的屬性。比如數(shù)學(xué)學(xué)科概念的基本維度：表達(dá)什么數(shù)量關(guān)系，運(yùn)算特點(diǎn)是什么，要解決什么問題，有什么應(yīng)用，幾何意義是什么等。上述的方程屬性就是在方程的表達(dá)形式、表述內(nèi)容、運(yùn)算方法、組成要素等幾個(gè)維度上的情況。建議教師們要搜集、整理本學(xué)科常用的概念基本維度，在教學(xué)時(shí)從這些維度多方面加以認(rèn)識(shí)。概念在多維度上的屬性之間不是孤立的，而是具有邏輯性的。在日常生活中，我們常根據(jù)事物的各種可能性關(guān)系對(duì)它們進(jìn)行認(rèn)識(shí)，試圖通過推理將各個(gè)方面聯(lián)系起來，克服在初識(shí)概念時(shí)受表面知覺的局限，而更關(guān)注其內(nèi)在的本質(zhì)。所以對(duì)于某個(gè)維度的屬性，還可以利用因果關(guān)系或等級(jí)關(guān)系對(duì)此屬性進(jìn)行分析推理以得到新的屬性，使學(xué)生對(duì)概念的認(rèn)識(shí)逐漸豐富、立體起來。
　　
　　二、以學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)為依托，提高豐富概念的效率
　　
　　對(duì)概念這種立體、多維的認(rèn)識(shí)需要較長(zhǎng)時(shí)間才能達(dá)到，因此比較高效率的方式是從學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)里構(gòu)建的概念體系中加以認(rèn)識(shí)。在學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，存在著概念圖，將有關(guān)某一主題按照上位、下位、平等級(jí)別的概念連接，形成關(guān)于該主題的概念網(wǎng)絡(luò)，它反映著學(xué)習(xí)者現(xiàn)有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。奧蘇貝爾認(rèn)為，新概念的學(xué)習(xí)是在原有概念的基礎(chǔ)上，形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程。原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)對(duì)新的學(xué)習(xí)始終是一個(gè)最關(guān)鍵的因素：一切新的學(xué)習(xí)都是在過去學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上產(chǎn)生的，所以用舊概念常常能表征新概念。為什么呢？用變異理論解釋就是：知覺學(xué)習(xí)就是找出突出特征或關(guān)鍵性的變異維度。但“識(shí)別的條件是什么呢？鮑頓和馬飛龍指出，當(dāng)某個(gè)現(xiàn)象或某個(gè)事物的一個(gè)方面發(fā)生變化，而另外一些方面保持不變時(shí)，變化的方面就會(huì)被識(shí)別出來?！盵5]新概念與學(xué)生概念圖中的舊概念比較，新概念脫胎于它們，繼承了它們的許多屬性，在很多方面（或維度）是不變的，只是在幾個(gè)方面變化（但是通過一個(gè)一個(gè)方面的變化聚合起來），符合容易識(shí)別的條件。所以，在掌握舊概念的基礎(chǔ)上，識(shí)別了變化的方面，就抓住了新概念的本質(zhì)屬性；把舊概念變化的方面說出來，就表征了新概念。
　　
　　學(xué)生已經(jīng)掌握了的舊概念，在學(xué)生的大腦中已經(jīng)形成了系統(tǒng)的體系，在學(xué)生眼里它們是理所當(dāng)然的，隱含著除定義外經(jīng)過推理、聯(lián)系得到的許多屬性，相對(duì)于沒有掌握的概念，它們是立體的、多維的、形象生動(dòng)的、豐富多彩的。因此新概念的掌握除關(guān)注與舊概念發(fā)生變化的維度外，還要關(guān)注與舊概念相同的維度，它們可以快速使新概念的屬性豐富起來。例如方程的上位概念是等式，平位概念是不含未知數(shù)的等式，理解方程時(shí)等式的許多維度如目的、意義、運(yùn)算法則等對(duì)方程同樣適用。而與平位概念加以對(duì)比，也可以使新概念的維度豐富起來?！耙粋€(gè)單詞的含義不僅來自它所指的事物，或它之前或之后搭配的詞，而且可以來自它能替換的詞。例如‘棕色’的含義可以通過不是紅色、藍(lán)色，也不是黃色來解釋。疑問句的含義也可以部分地理解為既不是陳述句，也不是祈使句或感嘆句。語(yǔ)言是一個(gè)系統(tǒng)，我們運(yùn)用其某些組成部分的時(shí)候，整個(gè)系統(tǒng)就會(huì)出現(xiàn)在我們的意識(shí)中并產(chǎn)生一定的意義”[6]。所以方程與它的平位概念“不含未知數(shù)的等式”比較，其諸多屬性便顯示出來：它與數(shù)量的關(guān)系不是加工數(shù)量的關(guān)系，而是描述、運(yùn)算的順序；它不是順運(yùn)算，而是逆運(yùn)算、算理的表達(dá)；它不是逆向推理，而是正向推理等。
　　在學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，不僅有共時(shí)性的對(duì)比，而且有歷時(shí)性的對(duì)比，通過在不同維度上的對(duì)比，不僅從結(jié)構(gòu)的共時(shí)性中尋找概念之間的關(guān)聯(lián)，而且還應(yīng)該從結(jié)構(gòu)的歷時(shí)性中尋找它們之間的邏輯?！皼]有接觸過關(guān)于同一現(xiàn)象的另一種理論，我們（如果不是不可能）就很難理解一種理論……但這同時(shí)意味著我們不可能理解首次遇到的理論。于是，有人提出應(yīng)將科學(xué)史作為科學(xué)課程的組成部分”，“因此，因?yàn)橛袑?duì)比（很多時(shí)候是互相對(duì)立），學(xué)習(xí)亞里士多德關(guān)于力與運(yùn)動(dòng)關(guān)系的學(xué)說可以促進(jìn)對(duì)牛頓相關(guān)觀點(diǎn)的理解；學(xué)習(xí)笛卡兒對(duì)重力的解釋有助于學(xué)生理解牛頓的重力學(xué)說；絕對(duì)的時(shí)空觀可以揭示相對(duì)論的含義；地心說可以促進(jìn)對(duì)日心說的理解”[7]?？疾炜茖W(xué)史可以知道，人類認(rèn)識(shí)一個(gè)新概念或新結(jié)論，總是在實(shí)踐中感到原有的概念或結(jié)論的不足，在個(gè)別的具體實(shí)踐中，對(duì)其中數(shù)量關(guān)系、空間形式產(chǎn)生了本質(zhì)的、一般性的認(rèn)識(shí)，并能用來解決新問題，便提出新概念或新結(jié)論。課堂教學(xué)顯然不能一成不變地重復(fù)那漫長(zhǎng)而曲折的歷史過程，但對(duì)于那些至關(guān)重要的概念，可以把人類發(fā)現(xiàn)這個(gè)概念的過程濃縮加工后呈現(xiàn)給學(xué)生，這等于為學(xué)生認(rèn)識(shí)新概念提供了多維度的信息：它產(chǎn)生的前提、價(jià)值、意義、適用范圍等；它們邏輯性地聯(lián)系在一起，成為新概念的隱含屬性，并為以后產(chǎn)生新的概念屬性打下邏輯基礎(chǔ)?！盎A(chǔ)教育的數(shù)學(xué)有四個(gè)層次：（1）數(shù)及其運(yùn)算（即算術(shù)）；（2）式及其運(yùn)算（包括因式分解、配方變形、合并同類項(xiàng)等）；（3）式與變量的數(shù)學(xué)（函數(shù)可以說是兩個(gè)之間的一個(gè)特殊關(guān)系式）；（4）極限運(yùn)算下的變量數(shù)學(xué)（即微積分）。在這四個(gè)層次中，方程起到了紐帶的作用。方程基于“式的運(yùn)算”，又為函數(shù)概念打基礎(chǔ)。方程是通向“未知的隧道”……實(shí)際上，方程的本質(zhì)是為了求未知數(shù)，而在未知數(shù)和已知數(shù)之間建立起來的一種等式關(guān)系。也就是說，學(xué)習(xí)方程，目的是求未知數(shù)，方法是“拉關(guān)系”，具體策略是通過等式變換進(jìn)行“還原與對(duì)消”。這符合“代數(shù)學(xué)”的本意是“還原和對(duì)消的科學(xué)”，也就是要把淹沒在方程中的未知數(shù)暴露出來，還原x的本來面目。這好比要結(jié)識(shí)朋友，就得通過別人介紹，借助中介關(guān)系，如此而已。[8]
　　三、在優(yōu)化的教學(xué)情境中豐富概念
　　學(xué)生在建構(gòu)一個(gè)概念的心理表征時(shí)，既有可以用語(yǔ)言表達(dá)的語(yǔ)言維度的屬性，又有難以用語(yǔ)言表達(dá)的非語(yǔ)言維度的屬性，而且，非語(yǔ)言屬性遠(yuǎn)遠(yuǎn)多于語(yǔ)言屬性。當(dāng)學(xué)生完成對(duì)某個(gè)概念的建構(gòu)時(shí)，其語(yǔ)言屬性的表征僅僅是可以表達(dá)出來的外部形式，而不能以外部形式表達(dá)出來的非語(yǔ)言屬性的表征則與語(yǔ)言表征緊密聯(lián)系，并給予語(yǔ)言表征有力的支撐。在概念的理解中，語(yǔ)言和非語(yǔ)言表征同樣重要。在對(duì)客體的主動(dòng)活動(dòng)中，主體在獲得語(yǔ)言表征的同時(shí)，還可獲得情節(jié)屬性的表征和動(dòng)作屬性的表征。語(yǔ)言表征是活動(dòng)中經(jīng)驗(yàn)的抽象與概括。情節(jié)表征是活動(dòng)中的視覺映象或其他映象，動(dòng)作表征則是行動(dòng)中獲得的直接體驗(yàn)。通過這些語(yǔ)言、動(dòng)作、情節(jié)屬性表征的建立，豐富復(fù)雜的概念心理表征就獲得了。如果只有語(yǔ)言屬性的表征，而沒有非語(yǔ)言屬性的表征，那么認(rèn)識(shí)必定是機(jī)械的、單調(diào)的、不完整的。單純的語(yǔ)言符號(hào)概念教學(xué)，情節(jié)維度的屬性和動(dòng)作維度的屬性是非常有限的，所以情境教學(xué)不失為一條有效的彌補(bǔ)途徑?！敖?jīng)過教師的選擇、設(shè)計(jì)、整理和條理化，作為蘊(yùn)涵特定概念的優(yōu)化的情境，其實(shí)是幫助學(xué)生以結(jié)構(gòu)化的方式理解世界的主要途徑”。[9]
　　“偵察員在破案現(xiàn)場(chǎng)量得嫌疑人的鞋印長(zhǎng)度為27厘米。資料顯示：成人腳長(zhǎng)約是身高的1／7，是鞋長(zhǎng)的8／9，嫌疑人身高大約是多少？用方程解決這個(gè)問題，學(xué)生可以經(jīng)歷下面的過程：（1）找一個(gè)相等關(guān)系：腳長(zhǎng)=腳長(zhǎng)。（2）等價(jià)事件的不同表達(dá)：用X 厘米表示身高，腳長(zhǎng)=（符號(hào)表達(dá)），用鞋長(zhǎng)表示的腳長(zhǎng)=27×。（3）用語(yǔ)言表達(dá)相等關(guān)系：用身高表示的腳長(zhǎng)=用鞋長(zhǎng)表示的腳長(zhǎng)。（4）用數(shù)學(xué)符號(hào)表達(dá)相等關(guān)系：X=27×。（5）解方程求出未知數(shù)的值：X=168?！盵10]
　　在這個(gè)情境中的方程里，學(xué)生可以得到關(guān)于方程的許多視覺映象和動(dòng)作映象，使方程的“相等關(guān)系”、“等價(jià)事件”等這些抽象維度頓時(shí)鮮活生動(dòng)起來。而且一些無法用詞語(yǔ)表達(dá)的屬性也以動(dòng)態(tài)的映象貯存在頭腦中，學(xué)生通過情境提供的各種刺激和信息，充分利用情節(jié)、動(dòng)作、語(yǔ)言維度所提供的意象蒙太奇，形成自己對(duì)概念的多維度的、立體的、生動(dòng)的理解。
　　學(xué)習(xí)源于系統(tǒng)的重復(fù)和變異，概念學(xué)習(xí)也同樣如此，通過重復(fù)中的變異，認(rèn)識(shí)到概念蘊(yùn)涵的一個(gè)個(gè)維度。這些維度都包含了獨(dú)特的屬性，它們有機(jī)地、邏輯地聯(lián)系在一起，建構(gòu)起了立體的、豐富的概念內(nèi)容。
　　
　　參考文獻(xiàn)：
　　 [1][5]