一類帶參數(shù)的四階Neumann邊值問題解的存在性

黃永峰

(昌吉學(xué)院數(shù)學(xué)系 新疆 昌吉 831100)

一類帶參數(shù)的四階Neumann邊值問題解的存在性

黃永峰

(昌吉學(xué)院數(shù)學(xué)系 新疆 昌吉 831100)

通過應(yīng)用臨界點理論和Morse理論討論了一類帶兩個參數(shù)的四階Neumann邊值問題，給出了非平凡解的存在性條件.

Neumann邊值問題;非平凡解;臨界點理論;Morse理論

1 引言

近年來，高階邊值問題由于其在物理及工程學(xué)中應(yīng)用的廣闊性而得到了人們的廣泛關(guān)注.許多作者研究了高階邊值問題正解的存在性，得到了一些較好的結(jié)果，見文［1，2，3］。他們大都利用錐拉伸或錐壓縮定理以及不動點指數(shù)理論在非線性項滿足超線性或次線性條件時獲得結(jié)論.也有許多作者利用臨界點理論及Morse理論研究了高階邊值問題解的存在性，見文［4，5，6，7］.特別地，文［5］利用臨界點理論和Morse理論并結(jié)合局部環(huán)繞定理得到了四階帶參數(shù)Dirichlet邊值問題解的存在性.文［7］運用鞍點定理及臨界點理論得到了四階帶參數(shù)的Neumann邊值問題的解的存在性.基于以上的研究工作，本文考慮如下的問題

解的存在性，其中f∈C1(［0，1］×R，R)，η，ξ為參數(shù)，且滿足條件:

為了證明的需要，本文作如下的幾個條件假設(shè):

2 預(yù)備知識

設(shè)Gi(t，s)為線性邊值問題，的Green函數(shù).令則有

由此知邊值問題在C4［0，1］中的解等價于下列方程

在C［0，1］中的解.

為了結(jié)論的證明需要，下面給出一些臨界點理論和Morse理論的基本定義和引理.

定義2.1［8］設(shè)D是實Banach空間E中的開集，泛函J:D→R1在D上是Frechet可微，若有u0∈D使得J＇(u0)=0，則稱u0是泛函J的一個臨界點.

定義2.2［8］設(shè)E實Banach空間，J∈C1(E，R1).如果{un}?E，J(un)→c，J＇(un)→θ，n→∞蘊(yùn)涵{un}有收斂子列，則稱泛函J滿足(PS)c條件.如果對于所有的c均滿足(PS)c條件，則稱泛函J滿足PS條件.

定義2.3［9］設(shè)J(θ)=0，E=V⊕X，dim V＜+∞，X為實Banach空間.如果存在ρ＞0，使得

那么稱J在θ點局部環(huán)繞.

定義2.4［9］設(shè)u0是泛函J的一個孤立臨界點，J(u0)=c，U是u0的一個鄰域且在U中J除u0外沒有其它臨界點.我們稱為J在u0的第q個臨界群，其中Hq(X，Y)為第q個奇異相對同調(diào)群，其系數(shù)為整數(shù)群.若至少有一個臨界群是非平凡的，則稱u0是J的一個同調(diào)非平凡臨界點.

引理2.1［10］算子方程u=K→fu在C［0，1］中有解當(dāng)且僅當(dāng)v=K1/2→fK1/2v在L2［0，1］中有解.引理2.2［4］如果泛函

有一個臨界點u∈L2［0，1］，則邊值問題在C4［0，1］中有一個解.

引理2.3［9］假設(shè)J∈C1(E，R1)滿足PS條件且在θ點局部環(huán)繞，則θ為J的一個同調(diào)非平凡臨界點.

定義2.4［9］設(shè)p為J的一個孤立臨界點，J∈C2(E，R1).若J＇(p)有有界逆，則稱p為J的一個非退化臨界點.我們稱相應(yīng)于J＇(p)譜分解的負(fù)空間的維數(shù)為J在p點的Morse指數(shù)，記為ind(J，p).

引理2.4［9］設(shè)J∈C2(E，R1)，p為J的一個非退化臨界點，且其Morse指數(shù)為j，則Cq(J，p)=δqjZ.

3 主要結(jié)論及證明

定理3.1［7］設(shè)對k≥1，(H1)和(H2)滿足，那么邊值問題至少有一個解.

引理3.1如果(H3)滿足，那么Cq(J，p)=δqmZ.

此引理在文［5］中已有了詳細(xì)的證明，由于在本文中其證明和文［5］中完全類似，故在此省略其證明.

定理3.2假設(shè)f(t，0)=0，對k≥1，(H1)和(H2)滿足，且當(dāng)m≠k時，(H3)成立，那么邊值問題至少有一個非平凡解.

證明設(shè)ω為定理3.1所得到的解，我們只需證明ω≠0.因為ω是由鞍點定理在k維子空間的情形下所得到的解，因此我們有Ck(J，ω)≠0.又當(dāng)條件(H3)滿足時，由引理3.1有Cq(J，p)=δqmZ，注意到m≠k，因此我們有ω≠0.證畢.

引理3.2假設(shè)f(t，0)=0，對k＞1，(H1)和(H4)滿足，那么泛函J具有山路型結(jié)構(gòu)，亦即J(θ)=0且滿足

(i)存在β，ρ＞0，使得J(u)≥β，u∈L2［0，1］，‖u‖=ρ;

(ii)存在e∈L2［0，1］，使得‖e‖＞ρ且J(e)＜0.

證明由(H4)知，存在δ＞0，α＞0，使得.選取ρ=α/L1，其中L1為 K1/2:L2［0，1］→C［0，1］的范數(shù)，當(dāng)‖u‖＜ρ時，我們有‖K1/2u‖C≤L1·‖u‖≤α，則有

由此知(i)滿足.

取e0為特征值λ0=1/ξ對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)向量我們知

其中Mε為某個正數(shù)，上式不等號處用到了條件(H1).注意到k≥1，選取充分小的ε，使得

，因此有J(te0)→－∞，t→+∞，故對充分大的t0＞ρ，有J(te0)≤0.由此知(ii)滿足.證畢.

定理3.3假設(shè)f(t，0)=0，對k＞1，(H1)，(H2)和(H4)滿足，那么邊值問題至少有兩個平凡解.

證明由引理3.1和引理3.2，通過運用山路引理，我們得到邊值問題的一個非平凡解.因為為山路型的解，由文［11］中推論8.5知.因為k＞1，易知.設(shè)ω為定理3.1所給出的解，我們有Ck(J，ω)≠0，所以ω≠ω－.由引理3.2的(i)的證明我們知θ是J的一個孤立局部極小值，故有Cq(J，θ)=δq0Z，故ω≠θ.證畢.

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2011－05－20

昌吉學(xué)院科研基金項目(2010SSQD024)

黃永峰(1985－)，男，湖北天門人，昌吉學(xué)院數(shù)學(xué)系，助教，研究方向:非線性泛函分析。

O175.8

A

1671－6469(2011)04－0097－04

(責(zé)任編輯:代琴)