關(guān)于弱d-Koszul模的一個(gè)注記＊

陳沛森

(1．浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院，浙江 金華 321004;2．義烏工商職業(yè)技術(shù)學(xué)院，浙江 義烏322000)

Koszul代數(shù)最初由Priddy［1］于1970年提出，它是一類具有許多優(yōu)美同調(diào)性質(zhì)且在數(shù)學(xué)的諸多分支均有重要應(yīng)用的二次代數(shù)．受整體維數(shù)是3的Artin-Schelter正則代數(shù)的影響，Berger［2］于2001年首次把這類代數(shù)推廣到高階齊次分次代數(shù)的情形，引入了非二次的Koszul代數(shù);Green等［3］又把這類代數(shù)進(jìn)一步地推廣到0次分支是半單的情形，并稱這類代數(shù)為d-Koszul代數(shù);2003年，Martínez-Villa等［4］研究了Koszul代數(shù)上有限生成分次模的Koszul性質(zhì)，定義了弱Koszul模的概念;2007年，作為弱Koszul模和d-Koszul模的推廣，呂家鳳等［5］研究了d-Koszul代數(shù)上有限生成分次模的d-Koszul性質(zhì)，引入了弱d-Koszul模的概念．特別地，文獻(xiàn)［5］的主要結(jié)果之一是證明了每個(gè)弱d-Koszul模都可以由d-Koszul子模來逼近．在證明該結(jié)果時(shí)，下面這個(gè)結(jié)果發(fā)揮了重要作用:

命題1［5］設(shè)A是d-Koszul代數(shù)，0→K→M→N→0是有限生成的分次A-模正合列，則

1)如果K和M是弱d-Koszul模且JkK=K∩JkM，k≥0，則N是弱d-Koszul模;

2)如果K和N是弱d-Koszul模且JK=K∩JM，則M是個(gè)弱d-Koszul模．

從命題1可以看出，弱d-Koszul模范疇在一定的條件下是擴(kuò)張封閉的且保持單同態(tài)的余核．一個(gè)自然的問題是:弱d-Koszul模范疇在什么情形下保持滿同態(tài)的核?本文的主要目的就是給出一個(gè)使得弱d-Koszul模范疇在滿同態(tài)的核下封閉的充分條件．

定理1 設(shè)A是d-Koszul代數(shù)，0→K→M→N→0是有限生成的分次A-模正合列且M和N是弱d-Koszul模．若對(duì)任意的 i，k≥0，有 JkΩi(K)=Ωi(K)∩JkΩi(M)，則 K 也是弱 d-Koszul模．其中:J是 A的分次Jacobson根;Ωi表示第i個(gè)合沖．

為了證明定理1，先給出2個(gè)引理．

引理1［5］設(shè)0→K→M→N→0為gr(A)中的正合列，則下列命題等價(jià):

1)JkK=K∩JkM，k≥0;

2)A/Jk?AK→A/Jk?AM(k≥0)是單同態(tài)的;

3)0→JkK→JkM→JkN→0(k≥0)是正合的;

4)0→JkK/Jk+1K→JkM/Jk+1M→JkN/Jk+1N→0(k≥0)是正合的;

5)0→JkK/JmK→JkM/JmM→JkN/JmN→0，m ＞k≥0．

引理2 設(shè)A是分次代數(shù)，0→K→M→N→0是有限生成的分次A-模正合列，則JK=K∩JM當(dāng)且僅當(dāng)有如圖1所示的行列正合的交換圖．

圖1 正合交換圖之一

圖1 中，P0→K→0，L0→M→0及Q0→N→0是分次投射蓋．

證明 必要性 由題設(shè)JK=K∩JM，再根據(jù)引理1，可得正合列0→K/JK→M/JM→N/JN→0．注意到對(duì)任意有限生成的A-模M，A?A0M/JM→M→0是分次投射蓋．現(xiàn)令

因?yàn)锳0是半單的，故可得正合列0→P0→L0→Q0→0．于是，可得如圖2所示的除頂行外的行列正合的交換圖．

圖2 正合交換圖之二

根據(jù)“3×3”引理，可得正合列0→Ω1(K)→Ω1(M)→Ω1(N)→0，故必要性得證．

充分性 注意到一個(gè)有限生成的分次模的分次投射蓋在同構(gòu)意義下是唯一的，故不妨設(shè)P0:=A?A0K/JK，L0:=A?A0M/JM，Q0:=A?A0N/JN．由圖1的中間一行是正合的可得正合列0→A?A0K/JK→A?A0M/JM→A?A0N/JN→0．又A0是半單的，故有正合列0→K/JK→M/JM→N/JN→0．再根據(jù)引理1，有JK=K∩JM．引理2證畢．

定理1的證明 由題設(shè)JK=K∩JM，再根據(jù)引理2，可得正合交換圖1，顯然有如圖3所示的行列正合的交換圖．

圖3 正合交換圖之三

將加法函子A/Jk?A作用于正合交換圖3，再根據(jù)引理1，可得如圖4所示的行列正合的交換圖．

圖4 正合交換圖之四

根據(jù)引理1，有JkΩ1(K)=Ω1(K)∩Jk+1P0．類似地，有如圖5所示的行列正合的交換圖．

圖5 正合交換圖之五

將加法函子A/Jk?A作用于正合交換圖4，再根據(jù)引理1，可得如圖6所示的行列正合的交換圖．

圖6 正合交換圖之六

再根據(jù)引理1，有 JkΩ2(K)=Ω2(K)∩Jk+d-1P1．

對(duì)于i≥3的情形，重復(fù)上述步驟，均可類似得證．定理1證畢．

［1］Priddy S．Koszul resolutions［J］．Trans Amer Math Soc，1970，152(1):39-60．

［2］Berger R．Koszulity for nonquadratic algebras［J］．J Alg，2001，239(3):705-734．

［3］Green E L，Marcos E，Marínez-Villa R，et al．d-Koszul algebras［J］．J Pure Appl Alg，2004，193(1):141-162．

［4］Martínez-Villa R，Zacharia D．Approximations with modules having linear resolutions［J］．J Alg，2003，266(2):671-697．

［5］呂家鳳，何濟(jì)位，盧滌明．具有 d-Koszul子模濾的分次模［J］．?dāng)?shù)學(xué)年刊，2007，28(2):231-238．