一類加權(quán)對(duì)稱方程對(duì)稱周期解的稠密分布

何濤，丁衛(wèi)

（1.南通航運(yùn)職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)教學(xué)部，江蘇南通 226010；2.南通大學(xué)理學(xué)院，江蘇南通 226007）

一類加權(quán)對(duì)稱方程對(duì)稱周期解的稠密分布

何濤1，丁衛(wèi)2

（1.南通航運(yùn)職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)教學(xué)部，江蘇南通 226010；2.南通大學(xué)理學(xué)院，江蘇南通 226007）

考慮一類帶正權(quán)的次二次位勢(shì)對(duì)稱方程的對(duì)稱周期解的分布問(wèn)題，利用相平面分析法，證明了在一定條件下對(duì)稱周期解是稠密分布的.

次二次位勢(shì)；Hamilton函數(shù)；對(duì)稱周期解；稠密分布

MSC 2010：34C25

考慮哈密頓系統(tǒng)

對(duì)稱周期解的分布情況，其中a，p是連續(xù)的2π周期函數(shù)，g是連續(xù)函數(shù).對(duì)方程（1）的周期解的研究已經(jīng)有許多成果［1－3］.然而，當(dāng)攝動(dòng)項(xiàng)p（t）是對(duì)稱函數(shù)時(shí)，關(guān)于對(duì)稱周期解分布情況的結(jié)果并不多［4－5］.文獻(xiàn)［4］中，Nakajima研究了Duffing方程

得到了在超線性條件下對(duì)稱次調(diào)和解的稠密性分布結(jié)果.錢(qián)定邊［5］在跨共振點(diǎn)的情況下也證明了類似的結(jié)果.而當(dāng)方程滿足次線性條件時(shí)，在研究過(guò)程中往往要通過(guò)變量代換［6－8］，方程的對(duì)稱結(jié)構(gòu)就遭到破壞，給對(duì)稱周期解的研究帶來(lái)了相當(dāng)大的困難.

1 預(yù)備知識(shí)

采用直接的方法在條件

及次二次位勢(shì)條件

在上述條件下，方程（1）的解是全局存在的［7］.方程（1）的等價(jià)方程為

定理1 設(shè)條件（g0），（G0）成立，a（t）是正的偶函數(shù)，g滿足局部Lipschitz條件.若p（t）為偶函數(shù)（p（t），g（t）均為奇函數(shù)），則方程（1）存在一列偶（奇）次調(diào)和解｛x k（t）｝，滿足

類似于文獻(xiàn)［4］中的方法，利用對(duì)稱條件，把周期解的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二點(diǎn)邊值問(wèn)題，通過(guò)對(duì)方程的解在相平面上定性行為的分析，可進(jìn)一步得到下列結(jié)果.

定理2 若定理1的條件成立，則

1）若p（t）為偶函數(shù)，則對(duì)任意2個(gè)偶的次調(diào)的解x1（t）和x2（t）（x1（0）＝a1＜x2（0）＝a2，x1′（0）＝x2′（0）＝0），方程（1）存在無(wú)窮多的偶的次調(diào)和解?x k（t），滿足

2）若p（t），g（x）均為奇函數(shù)，則對(duì)任意2個(gè)奇次調(diào)和解x1（t）和x2（t）（x1（0）＝x2（0）＝0，x1′（0）＝a1＜x2′（0）＝a2），方程（1）存在無(wú)窮多的奇次調(diào)和解?x k（t），滿足

2 引理

在x2＋y2＞0時(shí)，方程（3）的極坐標(biāo)形式為

記z（t；t0，z0）＝（x（t；t0，z0），y（t；t0，z0））為方程（3）在t0時(shí)刻從點(diǎn)z0＝（x（t0），y（t0））出發(fā)的解z（t），對(duì)應(yīng)在極坐標(biāo)方程（4）下的解為（r（t），θ（t））.

引理1［7］如果條件（g0）成立，則存在r0＞0，當(dāng)r（t）＞r0時(shí)，θ′（t）＜0.

引理2［7］如果條件（g0）成立，則對(duì)任意正整數(shù)k，存在Rk＞r0及嚴(yán)格遞增函數(shù)ζk∶［Rk，＋∞）→R＋，使得下面結(jié)論成立：

對(duì)方程（3）的任一解z（t），設(shè)J為任意一個(gè)滿足‖z（t）‖≥r0，?t∈J的區(qū)間，r為任意一個(gè)滿足r≥Rk的實(shí)數(shù)，如果t1，t2∈J，滿足‖z（t1）‖≤r，‖z（t2）‖≥ζk（r），則z（t）在t1時(shí)刻與t2時(shí)刻之間繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)了至少k圈.

為了敘述方便，引入一些記號(hào)：

Sr為以原點(diǎn)為圓心半徑為r的圓周；T j（t0，z0）為z（t；t0，z0）繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)j圈的時(shí)間；

由上面引理可知，當(dāng)r充分大后T j（t0，z0）有意義，從而T＋（j；r）和T＿（j；r）都有意義.

引理5 如果條件（g0）成立，則對(duì)任意正整數(shù)j有T＋（j；r）＜＋∞，r?1.

證明 當(dāng)r≥r0并且充分大時(shí)，由引理3、引理4，存在實(shí)數(shù)r1，r2，滿足r0＜r1＜r＜r2，使得任意在t0時(shí)刻從Sr上出發(fā)的解z（t；t0，z0）在完成繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)j圈之前跑不出區(qū)域Ω：＝｛（x，y）｜r1≤，由于a（t）是正周期函數(shù)，有A＞0.因此條件（g0），存在N0＞0及相應(yīng)的α＞0，使得

3 對(duì)稱周期解的稠密分布

由于方程（3）在原點(diǎn)性態(tài)不是很理想，通過(guò)它的Hamilton函數(shù)構(gòu)造一個(gè)新的方程來(lái)彌補(bǔ)這一缺陷.設(shè)k（s）是光滑截?cái)嗪瘮?shù)，滿足k（s）＝1，s≥r20；k（s）＝0，s≤r20／2，其中r0來(lái)自引理3.定義新的Hamilton函數(shù)

在原點(diǎn)附近方程（5）為x′＝y(tǒng)，y′＝－2x，容易看出原點(diǎn)為該方程的平衡點(diǎn)，由初值問(wèn)題解的存在唯一性可知從原點(diǎn)外任一點(diǎn)出發(fā)的解都不會(huì)經(jīng)過(guò)原點(diǎn).在半徑為r0的圓域之外方程（5）為

顯然此時(shí)與方程（3）一樣.由此可知方程（5）的解是全局存在的，同時(shí)上面的所有引理對(duì)該方程同樣成立.在證明定理之前先陳述一個(gè)引理.在文獻(xiàn)［4］中該引理是針對(duì)Duffing方程（2）而言，不難驗(yàn)證其對(duì)方程（1）同樣成立.

引理7 對(duì)于方程（1），

1）如果p（t）是偶函數(shù)，則解x（t）是偶次調(diào)和解的充分必要條件是存在整數(shù)m＞0，使得x′（0）＝x′（mπ）＝0.

2）如果g（x），p（t）是奇函數(shù)，則解x（t）是奇次調(diào)和解的充分必要條件是存在整數(shù)m＞0，使得x（0）＝x（mπ）＝0.

設(shè)z（t；0，z0）＝（x（t；0，z0），y（t；0，z0））是方程（5）在0時(shí)刻從z0＝（x0，y0）出發(fā)的解，其對(duì)應(yīng)的極坐標(biāo)形式為θ（t；0，z0），r（t；0，z0），并記θ0＝θ（0；0，z0），r0＝r（0；0，z0），則對(duì)方程（5）的解軌線有如下結(jié)果.

引理8 對(duì)于任意整數(shù)j＞0，存在實(shí)數(shù)r1及相應(yīng)的正整數(shù)m與實(shí)數(shù)r2，滿足r2＞r1＞r0，使得如下結(jié)論成立：

那么過(guò)點(diǎn)z0的解z（t；0，z0）滿足

證明 由分析可知，對(duì)于方程（5），如果z0不為原點(diǎn)，則‖z（t；t0，z0）‖＞0，?t∈R.又當(dāng)x＝0，y≠0時(shí)，有

這說(shuō)明解軌線只能順時(shí)針穿過(guò)y軸.從而當(dāng)‖z0‖≠0時(shí)有

對(duì)任意正整數(shù)j，在引理2.2中取k＝j(luò)＋2，則存在對(duì)應(yīng)的Rk及單調(diào)遞增函數(shù)ζk.任取r1滿足

由引理5，存在m∈N，使得所有從Sr1上出發(fā)的解z（t；0，z0）旋轉(zhuǎn)k圈的時(shí)間Δt≤2mπ，因此對(duì)任意（r0，θ0）∈Sr1，都存在t1（與θ0有關(guān)）滿足0＜t1≤2mπ，使得θ（t1；0，z0）－θ0＝－2kπ.結(jié)合不等式（8），對(duì)任意z0∈Sr1有

定理1的證明 對(duì)于方程（5），在引理8中，取定整數(shù)j＝1，則存在相應(yīng)的半徑r1，r2（r2＞r1＞r0）及m∈N使得不等式（6），（7）成立.記z1＝（r0，0），z2＝（r2，0），則z1∈Sr1，z2∈Sr2，因此

令L為連接z1，z2的開(kāi)直線段，此時(shí)不妨設(shè)θ0＝0，則

定義方程（5）的Poincare映射

L在p作用下所得曲線段P（L）是一段連續(xù)曲線，又方程（5）的零解具有唯一性，P（L）將不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，從而由式（11）可知P（L）必將與x軸相交，即存在z0＝（a0，0）∈L，a0≠0，使得θ（2mπ；0，z0）＝－2π.因此方程（5）在0時(shí)刻從z0出發(fā)的解z（t；0，z0）＝（x（t，0，z0）），y（t；0，z0）滿足

由引理8可知‖z（t；0，z0）‖＞r0，t∈［0，2mπ］.由于在半徑為r0的圓域之外方程（3）與方程（5）是同一的，從而可知至少在［0，2mπ］的時(shí)間段內(nèi)，z（t；0，z0）是方程（3）的解，并滿足式（12）.利用方程（1）的對(duì)稱性，由引理7可知x（t；0，z0）是其偶次調(diào)和解，記為x1（t）.對(duì)正整數(shù)j＝1，在不等式（9）中，用r1代替Rk，可同樣證明存在滿足引理8的r1′，r2′，m′，通過(guò)與上面的類似分析可得偶次調(diào)整和解x2（t），并且由不等式（10）有繼續(xù)這一過(guò)程可得一列偶次調(diào)和解x k（t），滿足

引理2的證明 首先在方程（3）中進(jìn)行分析，設(shè)x1（t）的周期為n1，x2（t）的周期為n2，則n＝n1n2為他們的公共周期.令z1＝（a1，0），z2＝（a2，0）.定義方程（3）的Poincare映射

則z1，z2為P的不動(dòng)點(diǎn)，即

設(shè)L0為連接z1，z2的開(kāi)直線段，定義Lk（K≥1）如下：

則Lk是以z1，z2為端點(diǎn)的簡(jiǎn)單開(kāi)曲線段.對(duì)于Lk有如下2種可能：

情況1：存在k，使得Lk與x軸相交.此時(shí)存在z0＝（a0，0）∈L0，使得P k（z0）在x軸上.因此，存在方程（1）的解x（t），滿足x（0）＝a0，x′（0）＝x′（2knπ）＝0.

情況2：對(duì)任意k＝1，2，3，…，Lk都與x軸不相交.由于P是保向和保面積同胚，利用類似文獻(xiàn)［4］中的方法可證明

在同一坐標(biāo)系下同時(shí)分析方程（3）與方程（5）.對(duì)方程（5），在引理8中取j＝1，則存在相應(yīng)的r1，r2（r2＞及m∈N，使得不等式（6），（7）成立.由于因此存在整數(shù)k＞0，使得

取p i∈Lk∩Sri，并滿足在p1，p2兩點(diǎn)之間位于Lk上的曲線?L與S r1，Sr2都不相交，通過(guò)簡(jiǎn)單分析可知?L位于圓周Sr1，Sr2之間，顯然p1，p2滿足不等式（6），（7），此時(shí)不妨取θ0∈［0，2π］，則有

由引理8可知，方程（5）從p0出發(fā)的解z（t；0，p0）滿足

而前面已經(jīng)指明在半徑為r0的圓域之外方程（3）與方程（5）是同一的，從而可知至少在［0，2mπ］時(shí)間段內(nèi)，z（t；0，p0）也滿足方程（3），且有θ（2mπ；0，p0）＝－2π.由于p0∈Lk，因此存在實(shí)數(shù)a0，滿足a1＜a0＜a2，使得方程（3）滿足初始條件x（0）＝a0，x′（0）＝0的解x（t；0，（a0，0）），y（t；0，（a0，0））滿足：

則由解的唯一性可得

故無(wú)論是情況1還是情況2，上面的過(guò)程表明方程（1）都存在解x（t），滿足a1＜x（0）＜a2，x′（0）＝x′（lπ）＝0其中l(wèi)是正整數(shù).由引理7知x（t）是方程（1）偶次調(diào)和解.對(duì)x1（t）和新產(chǎn)生的偶次調(diào)和解x（t）重復(fù)上面過(guò)程可得無(wú)數(shù)多個(gè)偶的次調(diào)和解.定理證畢.

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Dense Distribution of Symmetric Periodic Solutions for a Class of Aymmetric Wquations with Weight

HE Tao1，DING Wei2
（1.Department of Basic Education，Nantong Shipping College，Nantong 226010，China；2.College of Science，Nantong University，Nantong 226007，China）

The problem of the symmetric periodic solutions’distribution for a class of symmetric subquardratic potential equations with positive weight is studied in this paper.Under some conditions，the fact that the distribution of symmetric periodic solutions is dense by phase plane analysis is proved.

subquardratic potential；Hamilton function；symmetric periodic solution；dense distribution

O 175

A

1000－1565（2011）03－0230－06

2010－10－27

何濤（1964－），男，江蘇東臺(tái)人，南通航運(yùn)職業(yè)技術(shù)學(xué)院副教授，主要從事數(shù)學(xué)教育與應(yīng)用研究.

丁衛(wèi)（1983－），男，江蘇南通人，南通大學(xué)講師，主要從事常微分方程定性理論研究.

E－mail：dingwei＠ntu.edu.cn

王蘭英）