空間直線方程的解題探討

陳淑貞

（海南師范大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院，海南 海口 571158）

空間直線方程的解題探討

陳淑貞

（海南師范大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院，海南 ?？?571158）

介紹了空間解析幾何中求空間直線方程的各種方法.通過實例研究了求直線方程的不同解法和解題思路，以培養(yǎng)學生分析問題、解決問題及綜合應(yīng)用知識的能力.

解析幾何；空間直線；方程；分析法

1 引言

在空間解析幾何中，空間直線是其主要內(nèi)容之一[1].由于空間直線方程的表示方式有多種，因而求空間直線方程的解題思路、解題方法和技巧也不相同.對同一道題，如果從不同的角度去分析，采用不同的處理方法，則得到不同的解法，通過比較，可選擇出最優(yōu)的解題方法.本文主要通過實例研究求空間直線方程的各種解題方法和解題思路，以達到培養(yǎng)學生分析問題、解決問題及綜合應(yīng)用知識的能力，從而啟發(fā)學生的創(chuàng)新能力.

求空間直線方程的解題方法主要有以下四種：

1）通過求直線上的兩點得到直線方程.

2）通過求直線上的一點及方向向量得到直線方程.

3）通過求過直線的兩個平面得到直線方程.

4）利用空間平面直線束方程得到直線方程.

利用空間平面直線束方程求解直線方程，是一種實用、有效而簡潔的方法.

定義設(shè)L1、L2是兩相交的空間直線，通過L1、L2的交點并屬于L1、L2所在平面的全部直線叫做由L1、L2所確定的空間的平面直線束.

2 空間直線方程求解方法

都相交的直線方程.

分析1因為所求直線過點P，所以只要求出直線上的另一個點即可得直線方程.由L1、L2的方程，易知L1與L2相交，且P點不在L1、L2所確定的平面上，所以所求直線過L1、L2交點，由此得解法1.

解法1易驗證L1與L2相交，且P點不在L1、L2所確定的平面上，解L1與L2的方程得交點為M（1，2，3），所以所求直線方程為

下面通過實例研究空間直線方程的解法.

例1求過點P（1，1，1）且與兩直線

分析2因為所求直線過點P，所以只要求出直線的一個方向向量，就可得直線方程.由于所求直線與L1和L2都相交，由此既可求得直線的一個方向向量，從而得解法2.

解法2設(shè)所求直線的方向向量為={X，Y，Z}，那么所求直線L的方程可寫成：

分析3因為L1與L2相交，且P點不在L1、L2所確定的平面上，所以所求直線為P與L1所確定的平面和P與L2所確定的平面的交線，由此得解法3.

解法3因為L1與L2相交，且P點不在L1、L2所確定的平面上，L1又過點M1（0，0，0），所以P與L1所確定的平面的方位向量為

分析1因為所求直線過點P，又和已知直線相交，所以只要求出所求直線和已知直線的垂直交點即可得直線方程，由此得解法1.

分析2因為所求直線過點P，所以只要求出直線的一個方向向量，就可得直線方程.由于所求直線與L1垂直相交，由此既可求得直線的一個方向向量，從而得解法2.

分析3因為L1與所求直線垂直相交，且P點不在L1上，所以所求直線為P與L1所確定的平面和過P且垂直L1的平面的交線，由此得解法3.

分析4因為點P不在L1上，點P與L1可唯一確定一個平面，而所求直線又在這個平面上，所以可構(gòu)造這個平面上的直線束方程，然后利用平面直線束方程求出直線方程，從而得解法4.

解法4首先構(gòu)造P點與L1確定的平面的平面直線束，在直線L1上取兩點P1（1，-1，5），P2（-1，0，2），則直線PP1和PP2確定的平面直線束方程為：

分析2直線過點P，又平行于已知平面且和已知直線相交，所以可求出直線的一個方向向量，從而得直線方程，由此得解法2.

解法2設(shè)所求直線的方向向量為={X，Y，Z}，因為它平行于平面x-2y+z-1=0，所以有：

分析3由條件所求直線為P與已知直線確定的平面和過P平行于已知平面的平面的交線，由此得解法3.

解法3由題意所求直線在P與已知直線確定的平面上，同時也在過P平行于已知平面的平面的上，而P與已知直線確定的平面方程為：

分析4因為所求直線在點P和已知直線確定的平面上，所以可構(gòu)造這個平面上的直線束方程，然后利用平面直線束方程求出直線方程，從而得解法4.

解法4首先構(gòu)造P點與已知直線確定的平面的平面直線束，在已知直線上取兩點P1（1，1，0），P2（-1，0，1），則直線 PP1和PP2確定的平面直線束方程為：

分析1由已知條件可求出射影直線上的兩點，從而得直線方程，即有解法1.

分析2可通過求已知直線L與平面π的交點和所求直線的一個方向向量，得到直線方程，由此得解法2.

解法2已知直線L與平面π相交，可解得其交點為M（11，5，3），設(shè)所求直線的方向向量為：={X，Y，Z}，則有與平面π的法向量垂直，以及與平面π的法向量、直線L的方向向量共面，所以有

分析3所求直線在平面π上，又在過L且垂直于平面π的平面上，由此可得解法3.

解法3過L且垂直于平面π的平面方程為

分析4因為所求直線在過L且垂直于平面π的平面上，所以可構(gòu)造這個平面上的直線束方程，然后利用平面直線束方程求出直線方程，從而得解法4.

在以上空間直線方程的各種解法中，我們看到有些方法較傳統(tǒng)，求解過程冗長，有些方法思路清晰，過程簡潔，有些方法具有獨到與新穎之處.從各題的解法中，學生可比較找出每道題的最優(yōu)解題方法，從而加深了學生對空間直線的理解，也提高了學生分析問題、解決問題和綜合運用知識的能力.

[1]呂林根,許子道.解析幾何（第四版）[M].北京:高等教育出版社,2006.

[2]彭放.空間的平面直線束及其應(yīng)用[J].高等數(shù)學研究,2000,3(1):8-10.

Investigation of Solving Spacial Line Equation

CHEN Shuzhen
（
College of Mathematics and Statistics，Hainan Normal University，Haikou571158，China）

This paper presents several methods to solve spatial line equations.In order to cultivate student’s potential of analyzing problems,solving problems and comprehensive ability to apply the theory knowledge,some different meth?ods and approaches were showed to solve linear equations in several examples.

analytic geometry；spatial line；equation；analytical method

O 182

A

1674-4942（2011）03-0348-04

2011-04-26基金項目:海南省自然科學基金（110004）

畢和平