小學(xué)數(shù)學(xué)難點(diǎn)研究

田宏

《新課程高效率教學(xué)》指出：教師要鉆研教材首先要“懂”，自己要弄清知識(shí)的來(lái)龍去脈，追根究理。其次要“透”，即透徹地理解教材，一知半解只能照本宣科。再次要“化”，教學(xué)的功夫在一定程度上講究“化”的功夫，化抽象為具體、化靜態(tài)為動(dòng)態(tài)、化被動(dòng)為主動(dòng)。最后是“活”，即不但要活學(xué)，更要活用。教學(xué)最重要的不但是傳授知識(shí)，更是激活知識(shí)。通過(guò)這四步達(dá)到一個(gè)舉重若輕的境界，也就是解讀教材——駕御教材——?jiǎng)?chuàng)造性使用教材。

根據(jù)上述要求，各級(jí)教育部門都非常重視教學(xué)研究工作，每年新學(xué)期開學(xué)之前都要進(jìn)行教師培訓(xùn)工作，組織全體代課教師學(xué)習(xí)新課標(biāo)，讓有經(jīng)驗(yàn)的骨干教師談教學(xué)體會(huì)，對(duì)教材進(jìn)行研究討論，從而有效提高教師的課堂教學(xué)效率。下面就我在各級(jí)教學(xué)研討會(huì)上發(fā)現(xiàn)需要繼續(xù)研究討論的幾個(gè)問(wèn)題，談?wù)勎业狞c(diǎn)滴看法。

１關(guān)于0是偶數(shù)的問(wèn)題

隨著課程改革的實(shí)施，新教材越發(fā)顯示出它的優(yōu)越性。在關(guān)注學(xué)科知識(shí)的同時(shí)，也關(guān)注學(xué)生的情感體驗(yàn)，關(guān)注不同學(xué)生的學(xué)習(xí)需要。然而教材必定帶有普遍性，它不可能兼顧到所有的學(xué)校和學(xué)生。因此，在尊重教材的基礎(chǔ)上，教師完全可以根據(jù)實(shí)際情況對(duì)教材進(jìn)行增添、刪減、調(diào)整、置換，使教材發(fā)揮最大效用。

關(guān)于0是偶數(shù)是不是應(yīng)該給學(xué)生講，教師們的兩種意見是：一種認(rèn)為應(yīng)該告訴學(xué)生，因?yàn)樵诤罄m(xù)的學(xué)習(xí)當(dāng)中不在專門講解此問(wèn)題，應(yīng)該給學(xué)生一個(gè)完整的知識(shí)體系；另一種則認(rèn)為，因?yàn)槲覀冎v倍數(shù)、因數(shù)時(shí)，只限于非零自然數(shù)（即正整數(shù)）范圍，不包括數(shù)零，而且0能被2整除，同時(shí)也能被3、4、5……等自然數(shù)整除，所以不應(yīng)該告訴學(xué)生。

對(duì)于“奇數(shù)偶數(shù)”這一知識(shí)點(diǎn)，北師版教材①呈現(xiàn)為：是2的倍數(shù)的數(shù)叫偶數(shù)，不是2的倍數(shù)的數(shù)叫奇數(shù)。而且教學(xué)參考書上指出：需要強(qiáng)調(diào)的是，本教材所指的“奇數(shù)、偶數(shù)”只限于非零自然數(shù)（即正整數(shù)）范圍，不包括數(shù)零，當(dāng)然，這是一種規(guī)定。所以，教學(xué)時(shí)教師不宜給學(xué)生補(bǔ)充“0也是偶數(shù)”的內(nèi)容。這樣做既沒有必要，又容易引起概念混亂。

人教版教材②呈現(xiàn)為：能被2整除的數(shù)叫做偶數(shù)；不能被2整除的數(shù)叫做奇數(shù)。2、4、6、8、10……是偶數(shù)；1、3、5、7、9……是奇數(shù)。注意：因?yàn)?也能被2整除，所以0也是偶數(shù)。

通過(guò)實(shí)際教學(xué)我認(rèn)為用人教版教材處理的方式更好一些，增加：注意：0也是偶數(shù)。對(duì)于大家提出的“0能被2整除，同時(shí)也能被3、4、5等自然數(shù)整除的問(wèn)題”，我認(rèn)為大家對(duì)數(shù)學(xué)基本感念理解的不夠透，偶數(shù)的概念“是2的倍數(shù)的數(shù)叫偶數(shù)”并不是“‘只是2的倍數(shù)的數(shù)叫偶數(shù)”。另外，我在執(zhí)教“奇數(shù)偶數(shù)”時(shí)出現(xiàn)了這樣一個(gè)場(chǎng)面：當(dāng)我讓學(xué)生自學(xué)并初步理解智慧老人所說(shuō)的“是2的倍數(shù)的數(shù)叫偶數(shù)，不是2的倍數(shù)的數(shù)叫奇數(shù)”一句話的意思時(shí)，甲生就提出一個(gè)問(wèn)題“老師，0是奇數(shù)還是偶數(shù)？”沒等我張口，乙生回答“0是偶數(shù)”。緊接著丙生反駁“0不是偶數(shù)，因?yàn)槲覀冄芯勘稊?shù)、因數(shù)時(shí)不考慮0，0不是2的倍數(shù)”。乙生不服氣，馬上拿出《小學(xué)教材全解》對(duì)著大家說(shuō)，“0是偶數(shù)是書上說(shuō)的”。這時(shí)大家都啞口無(wú)言。隨即我逐一表?yè)P(yáng)了發(fā)言的同學(xué)，甲生善于動(dòng)腦，勤于思考，我們應(yīng)向他學(xué)習(xí)，因?yàn)樵谖覀兊膶W(xué)習(xí)過(guò)程中，能提出一個(gè)問(wèn)題比解決一個(gè)問(wèn)題更重要。乙生養(yǎng)成良好的預(yù)習(xí)習(xí)慣，能充分利用一切學(xué)習(xí)資源，解決課本上解決不了的問(wèn)題。丙生更值得大家學(xué)習(xí)，他能認(rèn)真聽課，能把前后所學(xué)的新舊知識(shí)緊密聯(lián)系在一起。這時(shí)，又有學(xué)生等不及了問(wèn)：“老師，他們誰(shuí)說(shuō)的對(duì)呢？”師：大家想一想“0有那些特殊的本領(lǐng)？”生回答：“0有占位的特殊本領(lǐng)”；師：“在學(xué)習(xí)正、負(fù)數(shù)時(shí)，0是什么數(shù)？”生答：“0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)”師：“0比較特殊，它是偶數(shù) ?！鄙钠馃崃业恼坡?。

隨著課程改革的深入，教學(xué)內(nèi)容的彈性化，在課堂教學(xué)過(guò)程中，能促進(jìn)教學(xué)或經(jīng)過(guò)處理促進(jìn)教學(xué)的隨機(jī)事件會(huì)經(jīng)常發(fā)生，教師要善于及時(shí)捕捉，慧眼識(shí)別，巧妙轉(zhuǎn)化，有效利用，才能起成到可遇而不可求的教學(xué)資源。所以在我的課堂上我不能按教學(xué)參考書上的要求去處理。

２關(guān)于倍數(shù)、因數(shù)的問(wèn)題

北師版教材五年級(jí)上冊(cè)第9頁(yè)第5題：把48個(gè)球裝在盒子里，每個(gè)盒子里裝的同樣多，有幾種裝法？每種裝法各需要幾個(gè)盒子？如果有37個(gè)球呢？

2006年教學(xué)參考書上以及《小學(xué)教材全解》中答案是10種。2007年教學(xué)參考書上以及《英才教程》中的答案是9種。其中教學(xué)參考書是這樣要求的：本題的設(shè)計(jì)意圖是為后面學(xué)習(xí)質(zhì)數(shù)和合數(shù)作一些鋪墊?？梢砸龑?dǎo)學(xué)生用找因數(shù)的方法進(jìn)行思考，48＝1×48＝2×24＝3×16＝4×12＝6×8，48有1、2、3、4、6、8、12、16、24、48這10個(gè)因數(shù)，最多有10種裝法，但由條件可知至少用兩個(gè)盒子，所以共有9種裝法，見下表。

鑒于出現(xiàn)此種情況，我們進(jìn)行了充分的討論。參加討論的人員有區(qū)教研室的教研員、省市區(qū)各級(jí)的教學(xué)能手、有教齡三十多年經(jīng)驗(yàn)豐富的老教師、也有大學(xué)剛畢業(yè)從事教學(xué)工作的新教師，討論的結(jié)果沒有達(dá)成一致意見。

大家爭(zhēng)論的焦點(diǎn)是“每個(gè)盒子里裝的同樣多”，意思就是“平均分”，平均分就不能是一個(gè)盒子，如果是一個(gè)盒子的話與誰(shuí)進(jìn)行比較呢？我有不同的看法，認(rèn)為10種更為合理。第一，“每個(gè)盒子里裝的同樣多”這一條件是限制用兩個(gè)以上（含兩個(gè)）盒子，如果沒有這個(gè)條件的限制，就兩個(gè)盒子而言就有多種裝法，如：1，47；2，46；3，45；4，44；5，43……這樣就不能用找因數(shù)的方法去思考。第二，既然次題的目的是為學(xué)習(xí)質(zhì)數(shù)和合數(shù)作一些鋪墊，質(zhì)數(shù)的概念是：一個(gè)數(shù)只有1和它本身“兩個(gè)”因數(shù)，這個(gè)數(shù)叫作質(zhì)數(shù)。如果采用“37只有2個(gè)因數(shù)，只有1種裝法”作為鋪墊，對(duì)一些學(xué)生的學(xué)習(xí)將會(huì)起障礙作用，讓學(xué)生錯(cuò)誤認(rèn)為質(zhì)數(shù)有一個(gè)因數(shù)，忽略“1”這個(gè)特殊的因數(shù)。而且，在以往的教學(xué)過(guò)程中，經(jīng)常會(huì)有學(xué)生錯(cuò)誤地認(rèn)為：“互質(zhì)的兩個(gè)數(shù)沒有公因數(shù)”。第三，同一道題目，今年與去年的答案不一致，不同的書上有著不同的答案，這不但起不到幫助理解新知識(shí)的作用，反而回干擾學(xué)生對(duì)新知識(shí)的理解，會(huì)給學(xué)生的認(rèn)識(shí)造成障礙。下面是我的課堂實(shí)況：師生共同讀題后，生嘗試獨(dú)立完成，師在巡視的過(guò)程中，讓三個(gè)學(xué)生將自己的答案寫在黑板上：

A．48÷1=48；48÷2=24；48÷3=16；48÷4=12……有10種。

B．1×48=48；2×24=48；3×16=48；4×12=48……有10種。

C．48的全部因數(shù)有1、2、3、4、6、8、12、16、24、48共10個(gè)，所以有10種。

這時(shí)，下面有學(xué)生D開始提問(wèn)：“每個(gè)盒子里裝的同樣多，意思最少要用兩個(gè)盒子，所以應(yīng)該是9種”。上面的兩位學(xué)生同時(shí)與下面的同學(xué)爭(zhēng)論，學(xué)生A說(shuō)“把48個(gè)球裝在盒子里”并沒說(shuō)一定要“分裝”。學(xué)生C說(shuō)“問(wèn)題是有幾種裝法？裝一個(gè)盒子也是一種裝法”。學(xué)生D繼續(xù)反問(wèn)：“如果是一個(gè)盒子的話與誰(shuí)進(jìn)行比較呢？怎么能談的上同樣多呢？”學(xué)生A、B、C都答不上來(lái)了，但仍然堅(jiān)持自己的觀點(diǎn)。師開始征求大家的意見，其結(jié)果是：有將近1/4的學(xué)生同意D的意見，仍有1/2的同學(xué)同意A、B、C的意見，還有1/4的同學(xué)沒有發(fā)表意見。此時(shí)，學(xué)生B征求老師的意見。我先讀了教學(xué)參考書上提示，表?yè)P(yáng)了學(xué)生D。隨后談了自己的看法，“每個(gè)盒子里裝的同樣多應(yīng)該是限制多個(gè)盒子的，并不是限制用一個(gè)盒子，并以兩個(gè)盒子為例說(shuō)明理由?！蔽覀児餐逃懙慕Y(jié)果：大家都認(rèn)為10種更合理一些。

３關(guān)于擴(kuò)大、縮小的問(wèn)題

2006年教師繼續(xù)教育考試中有這樣一道題：有一位學(xué)生總結(jié)商的變化規(guī)律“在除法里，被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)擴(kuò)大（或縮?。┫嗤谋稊?shù)，商不變”讓老師給予評(píng)價(jià)。有一部分老師就認(rèn)為是錯(cuò)誤的，理由是沒有附加“零除外”。這一問(wèn)題反映出對(duì)“因數(shù)、倍數(shù)”研究的數(shù)的范圍沒搞清楚。教材是這樣描述的：我們只在自然數(shù)（零除外）范圍內(nèi)研究倍數(shù)和因數(shù)。所以，當(dāng)我們提到因數(shù)、倍數(shù)問(wèn)題時(shí)，就已經(jīng)把零除外了，不需要再?gòu)?qiáng)調(diào)“零除外”。關(guān)于類似基本感念我從不同時(shí)間，不同版本的教科書上摘錄出以下幾條：1、積的變化規(guī)律：一個(gè)因數(shù)不變，另一個(gè)因數(shù)擴(kuò)大（或縮?。┤舾杀?，積也擴(kuò)大（或縮?。┫嗤谋稊?shù)。2、商不變的性質(zhì)：在除法里，被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)擴(kuò)大（或縮?。┫嗤谋稊?shù)，商不變。3、分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)：分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)乘以或除以相同的數(shù)（零除外），分?jǐn)?shù)的大小不變。4、比的基本性質(zhì)：比的前項(xiàng)和后項(xiàng)同時(shí)乘以或除以相同的數(shù)（零除外），比值不變。5、把一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子、分母同時(shí)除以公因數(shù)，分?jǐn)?shù)的值不變，這個(gè)過(guò)程叫作約分。

４關(guān)于記數(shù)單位的問(wèn)題

在一次區(qū)級(jí)教學(xué)研究會(huì)上，有一位教師在輔導(dǎo)北師版四年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)一、三單元“改寫與求近似值的區(qū)別與聯(lián)系”時(shí)，將個(gè)位的計(jì)數(shù)單位說(shuō)成“個(gè)”，當(dāng)時(shí)我身邊的幾位老師就發(fā)生爭(zhēng)議。究竟個(gè)位的計(jì)數(shù)單位是“一”還是“個(gè)”，我把這一問(wèn)題帶回我們學(xué)校，在教學(xué)研究活動(dòng)中提出，結(jié)果也發(fā)生爭(zhēng)議，有說(shuō)是“一”的，也有說(shuō)是“個(gè)”的，還有的認(rèn)為“一”或“個(gè)”都可以。

北師版教材③呈現(xiàn)為：

我認(rèn)為大家沒有正確理解表格中“個(gè)（一）”的含義。

人教版教材④呈現(xiàn)為

一（個(gè)）、十、百、千、萬(wàn)、十萬(wàn)、百萬(wàn)、千萬(wàn)、億、十億、百億、千億都叫做記數(shù)單位，每相鄰的兩個(gè)記數(shù)單位的進(jìn)率都是十。

這里，大家只注意了表格里的內(nèi)容，但沒注意到表格外對(duì)計(jì)數(shù)單位的描述“一（個(gè)）”的含義。

以上第三、四兩個(gè)問(wèn)題的出現(xiàn)，說(shuō)明我們?cè)阢@研新教材方面還有待加強(qiáng)，因?yàn)榻滩氖墙虒W(xué)資源之本、我們必須立足于教材，仔細(xì)鉆研教材，吃透教材，這是用好教材的重要前提。

隨著課程改革的不斷深入推進(jìn)，不僅要關(guān)注高效率的課堂教學(xué)，更要關(guān)注教師的專業(yè)成長(zhǎng)與發(fā)展。要達(dá)到這一目的，教學(xué)研究的重心一定要回歸到教學(xué)第一線。教學(xué)研究是教師工作的重要組成部分，教師必須做到及時(shí)總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，及時(shí)反思和不斷學(xué)習(xí)，同時(shí)在與同伴互助——與同行對(duì)話——交流互助中得到提升。

參考文獻(xiàn)

１北師版五年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)（第2版），2006年3月

２人教版數(shù)學(xué)第八冊(cè)（第2版），2001年4月

３北師版四年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)（第3版），2006年5月

４人教版數(shù)學(xué)第六冊(cè)（第1版），2002年12月