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    互模擬
    ——檢驗集合相等的一個新工具

    2011-10-26 05:52:24姚從軍
    湖南科技學(xué)院學(xué)報 2011年3期
    關(guān)鍵詞:指派反方刻畫

    姚從軍

    (湖南科技學(xué)院 思想政治理論課教學(xué)科研部,湖南 永州 425100)

    互模擬
    ——檢驗集合相等的一個新工具

    姚從軍

    (湖南科技學(xué)院 思想政治理論課教學(xué)科研部,湖南 永州 425100)

    在ZFC-(AFA)系統(tǒng)中,外延公理不可強(qiáng)大得足以判斷兩個非良基集合是否相等。因此隨著研究范圍的擴(kuò)大,需要新的理論解決新問題。為解決非良基集合相等問題,文章介紹了四個方法:圖理論方法、互模擬方法、游戲方法和方程法,這幾種方法最后都可以歸結(jié)為互模擬方法。故互模擬是檢驗集合相等強(qiáng)有力的工具。

    外延公理;非良基集合;可及點圖;互模擬;游戲;解引理

    在ZFA公理系統(tǒng)中,根據(jù)外延公理可知:兩個集合相等當(dāng)且僅當(dāng)它們有共同的元素。因此,要判斷兩個良基集合是否相同,只需通過觀察看看它們的元素是否相同即可。但是在ZFC-(AFA)系統(tǒng)中,對于兩個非良基集合而言,外延公理不可強(qiáng)大得足以判斷它們是否相等。例如 A={B},B={A},是否相等,根據(jù)外延公理,會得出 A=B當(dāng)且僅當(dāng)B=A這樣的循環(huán)定義,這就需要研究新的方法,從而可以判斷非良基集合是否相等。

    一 圖理論法

    (一)圖的裝飾判斷法

    集合論中,最初人們?yōu)榱硕x良基集合的相等,使用了外延公理,但是由于非良基集合的存在,用已有的經(jīng)典外延公理無法斷定兩個非良基集合的相等性,為解決這一問題,集合的圖理論首先產(chǎn)生,用可及點圖刻畫集合。公理AFA假定每個圖有唯一裝飾。這里存在兩個重要事實,裝飾的存在性和唯一性。前一個事實告訴我們非良基集合存在,因為非良基圖的存在是一個不爭的事實,而依據(jù)AFA,非良基圖也應(yīng)該有一個裝飾,根據(jù)可及點圖理論這個裝飾不可能是良基集合,所以必然是非良基集合,這樣由非良基圖的存在,我們就得出非良基集合的存在性。后一個事實告訴我們什么樣的非良基集合是相等的,因為據(jù)AFA,每個圖的裝飾是唯一的,所以如果兩個集合可有效地指派到同一個圖的同一個結(jié)點,則這兩個集合是相等的。AFA告訴我們每個圖只是一個唯一集合的圖,裝飾同一個圖的所有集合在此理論下都是相等的集合。[1]例如集合?={?}、A={B}和B={A}是相等的,因為下圖有一個裝飾,其中兩個結(jié)點都指派?,并且還有一個裝飾,其中左邊的結(jié)點指派A,右邊的結(jié)點指派B。

    所以我們可得出集合相等的一個判斷方法:兩集合相等,如果它們是同一個集合的圖,或者可裝飾同一個圖的同一個結(jié)點。

    (二)圖之間的互模擬關(guān)系判斷法

    但是一個集合可用不同的可及點圖來刻畫,[2]例如,集合2能夠用下列圖刻畫:

    我把這種刻畫同一個集合的各種圖稱為等價圖(模型等價),并將這種模型等價性稱之為裝飾等價性,因為它們是同一個集合的圖,或者說它們有相同的裝飾。

    那么刻畫同一個集合的不同圖之間有什么必然聯(lián)系呢?結(jié)論是兩個圖等價當(dāng)且僅當(dāng)它們具有互模擬關(guān)系。Aczel給出了可及點圖理論中的互模擬具體表現(xiàn)形式,他說,系統(tǒng)M上的一個二元關(guān)系R是M上的一個互模擬,如果R?R+,這里對于a,b∈M(aM 和bM 分別指結(jié)點a、b的子結(jié)點集)

    aR+b??x∈aM?y∈bMxRy∧?y∈bM?x∈aMxRy[3]

    既然具有互模擬關(guān)系的圖刻畫同一集合,那么所有具有互模擬關(guān)系的可及點圖所刻畫的集合都是相等的集合。例如,已知一個集合s={s},我們用下圖來描述這個集合,這里用s裝飾結(jié)點n。

    再給予一個結(jié)合t={t},我們想判斷s和t是否相等。如果僅僅根據(jù)外延公理,我們無能為力,因為外延公理斷定兩個集合相等僅當(dāng)它們有相同的元素,而集合s和t只有自身是自己的唯一元素,無法斷定它們的相等性。未解決這一問題,我們必須另辟蹊徑,我們畫出集合t的可及點圖如下,這里用t裝飾n′。

    現(xiàn)在我們來檢驗集合s和t的圖是否具有互模擬關(guān)系,很顯然兩個圖之間存在一個互模擬關(guān)系R={(n,n′)。最后根據(jù)圖理論可知,在非良基集合論中,集合s和t就是相等的集合。

    實際上這是一種間接互模擬判斷法。這樣就找到了刻畫集合相等的強(qiáng)外延公理:兩個集合相等,當(dāng)且僅當(dāng)它們的可及點圖是互模擬的。這也說明了過去的外延公理,即兩集合相等,當(dāng)且僅當(dāng)它們有相同的元素只是判斷兩集合相等的充分條件。也就是說,如果兩集合有相同的元素,那么它們必然相等;但是兩集合相等不蘊(yùn)涵它們有相同的元素。因此外延公理不是判斷兩集合相等的必要條件。

    二 直接互模擬法

    一個關(guān)系 R是集合上的一個互模擬關(guān)系當(dāng)且僅當(dāng)對所有的集合s和t,如果(s,t)∈R那么

    ·對?s′∈s,?t′∈t使得(s′,t′)∈R,并且

    ·對?t′∈t,?s′∈s使得(s′,t′)∈R

    兩個集合s與t是互模擬的當(dāng)且僅當(dāng)存在一個互模擬關(guān)系R使得(s,t)∈R。

    兩個集合s與t相等當(dāng)且僅當(dāng)它們是互模擬關(guān)系的。[2]

    三 游戲法

    運(yùn)用兩個集合S和T玩游戲,你是正方,即認(rèn)為S和T相等,對方稱反方,認(rèn)為S和T不相等,對方先從兩集合中任一集合(比如 S)中找出一個元素 X,斷言 X不是 T的元素,即不與 T的任一元素相等。你表示反對,并從 T中找出一元素Y,聲稱Y=X。現(xiàn)在你們再用XY玩游戲,如此進(jìn)行下去。如果在某一點(如 Xˊ、Yˊ),反方找到一個Xˊ的元素X〞,而你從Yˊ中找不出元素與之相匹配,這時就表明反方贏了,因此S與T不相等,在其他兩種情況下:

    (1)反方不能再前進(jìn)一步,即反方每動一步,你均能找到匹配步,最后反方不可再動。(2)雙方可以無限地玩下去,無窮無盡。

    表明你贏了,即S與T相等。

    在游戲中,可得出結(jié)論:S與T相等當(dāng)且僅當(dāng)你有贏的戰(zhàn)略。這種方法其實是互模擬的間接運(yùn)用,因為你有贏的戰(zhàn)略,當(dāng)且僅當(dāng)S和T是互模擬的,再根據(jù)方法2,當(dāng)且僅當(dāng)S與T相等。[4]

    四 方程解引理法

    運(yùn)用圖描述集合的一個擇換方法是運(yùn)用方程描述集合,比如?是滿足x={x}的唯一集合x,這說明可用x={x}來定義集合?。由于方程涉及到未定元,所以我們在集合中引進(jìn)本元與之對應(yīng),令x是任一未定元,x的一個方程系統(tǒng)是滿足如下條件方程類:

    對每個x∈X,恰有一個形如x={x1,x2,-------}的方程,其中{x1,x2,-------}是 x的子集。我們用(x=Sx)x∈X表示X方程系統(tǒng),如 x={x,y},y=?是{x,y}方程系統(tǒng)。一個方程系統(tǒng)的解是一個函數(shù)δ,它對每個 x∈X指派一個集合使得δx={δy|y∈Sx}。集合{δx|x∈X}稱為該方程系統(tǒng)的解集。

    圖與方程系統(tǒng)緊密相關(guān),已知一個圖,我們把圖中結(jié)點看做未定元,并且對任一結(jié)點x,令x=Sx是一方程,其中S是以結(jié)點 x的后繼為元素的集合,這樣就得到一個方程系統(tǒng);相反,已知一個X方程系統(tǒng),我們把X中的未定元看做結(jié)點,并且令x,y∈X,x→y當(dāng)且僅當(dāng)y∈Sx,這樣我們就得到一個圖。我們設(shè)該方程的解為δ,與之對應(yīng)的圖的裝飾是{δx|x∈X}。在每一個方向,一個給定方程系統(tǒng)的解δ指派給X中任一未定元x的集合δx,與對應(yīng)的圖裝飾d指派給結(jié)點x的集合dx相同,兩個不同類模型建立了對應(yīng)性,并且圖與對應(yīng)的方程系統(tǒng)都是同一集合的模型。由于每個圖有唯一裝飾,則相應(yīng)可得到每個方程系統(tǒng)有唯一解。故 X方程系統(tǒng)與 Y方程系統(tǒng)等價,當(dāng)且僅當(dāng)它們的解集相同。而解集是集合,兩個集合相同當(dāng)且僅當(dāng)它們是互模擬的,所以兩個解集相同當(dāng)且僅當(dāng)它們是互模擬的。由方程系統(tǒng)與圖的對應(yīng)性和每個圖都是一個集合的圖理論可知,這兩個方程系統(tǒng)也是分別刻畫某個集合的方程系統(tǒng),故兩個集合相等當(dāng)且僅當(dāng)刻畫它們的方程系統(tǒng)有相同的解集,當(dāng)且僅當(dāng)對應(yīng)的方程系統(tǒng)的解集是互模擬的。[5]

    刻畫集合相等還有其它的方法,這里不一一列舉。上面四種方法有一個共同點,那就是均直接或間接用到互模擬,也就是這四種判斷集合相等性方法最后都?xì)w結(jié)為判斷不同類對象間的互模擬性,這從另一個方面反應(yīng)了互模擬在理論上的應(yīng)用價值,它是判斷集合相等性的強(qiáng)有力的工具。

    [1]Davide Sangiorgi.On the origins of Bisimulation,Coinduction,and Fixed Points[J].Tcchnical Report UBLCS-2007-24,October 2007.

    [2]Jelle Gerbrand. Bisimulations on Planet. Kripke[D].PhD thesis ,insititute for logic,Language and Computation.University of Amsterdam,1998:5-6.

    [3]P.Aczel.Non-Well-Founded Sets[M].Stanford: CSLI,1988:20-26.

    [4]Van Benthem Modal logic for open minds[M].Stanford:CSLI Publications, 2005:30-34.

    [5]J. Barwise, L. Moss. Vicious Circles: On the Mathematics of Non - Well –Founded Phenomena[M]. Stanford: CSLI,1996:77-83.

    B815.1

    A

    1673-2219(2011)03-0088-02

    2010―10―08

    姚從軍(1971-),男,湖北隨州人,哲學(xué)博士,講師,研究方向為現(xiàn)代邏輯。

    (責(zé)任編校:周 欣)

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