熱傳導(dǎo)方程的C-N格式區(qū)域分解方法及其穩(wěn)定性分析

任麗麗，朱少紅，趙鳳柱

（1.天津師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，天津 300387；2.南開(kāi)大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，天津 300071；3.中國(guó)人民武裝警察部隊(duì)學(xué)院，河北 廊坊 065000）

求解熱傳導(dǎo)方程最常用的差分方法有古典顯示、古典隱式和C-N格式[1]。從并行計(jì)算的觀點(diǎn)看，古典顯格式計(jì)算簡(jiǎn)單，便于編程，但這種格式是條件穩(wěn)定的r≤1/2；古典隱格式和 C-N格式是絕對(duì)穩(wěn)定的，但需要解整體的線性代數(shù)方程組，不能直接實(shí)現(xiàn)并行計(jì)算。有限差分區(qū)域分解算法綜合了顯格式和隱格式的優(yōu)點(diǎn)，是一種高效實(shí)用的方法，目前已有很多關(guān)于區(qū)域分解方法的結(jié)果，文獻(xiàn)[2]在內(nèi)邊界點(diǎn)使用大空間步長(zhǎng)H=mh的古典顯格式，在每個(gè)子區(qū)域內(nèi)使用古典隱格式求解，發(fā)展了有限差分區(qū)域分解算法。本研究基于C-N格式，設(shè)計(jì)了一種新的并行差分格式，能進(jìn)一步放寬穩(wěn)定性約束條件，得到穩(wěn)定性條件為r<1。

1 并行差分格式的構(gòu)造

考慮熱傳導(dǎo)方程：

為了對(duì)初邊值問(wèn)題(1)作差分逼近，首先對(duì)求解區(qū)域作網(wǎng)格剖分：取空間步長(zhǎng)h=l/J和時(shí)間步長(zhǎng)τ=T/N，其中J，N都是自然數(shù)。用2族平行直線：

將求解區(qū)域{0 ≤ x ≤ l; 0 ≤ t ≤ T }分割成矩形網(wǎng)格，網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)為(xj,tn)。記

易知

定義離散L2范數(shù)（Euclid范數(shù)）：

其中

將問(wèn)題(1)的求解區(qū)域[0,l]分解為2個(gè)子域[0,xk]及其中1

2 穩(wěn)定性分析

定理若 r=τ/h2＜ 1，則差分方法Ⅰ的數(shù)值解按離散L2范數(shù)關(guān)于初值穩(wěn)定，即存在正常數(shù)c，使方法Ⅰ的任意解，均滿足不等式：

為證明定理，先給出2個(gè)引理。

引理1設(shè)

則當(dāng)0

證明由(3)得：

則[(3)+(6)]/2得

利用Mn的表達(dá)式，(8)+ (9)可整理為

將(7)代入(10)得：

記

則(11)可整理為：

易知若J1非負(fù)定，則 Mn+1≤Mn。

下面討論J1非負(fù)定的條件。

直接計(jì)算可得當(dāng)r<1時(shí)，矩陣

非負(fù)定，從而J1非負(fù)定，則當(dāng)0

證畢。

引理2當(dāng)0

證明將（3）代入

可得

進(jìn)一步有：

其中

直接計(jì)算可知，當(dāng)0

非負(fù)定，即J2非負(fù)定。又因?yàn)?/p>

故有

于是

另一方面，由于0

所以

從而

證畢。下面給出定理的證明。

由引理1，當(dāng)0

由引理2知

即當(dāng)0

取

于是定理成立。