標(biāo)量擬解析近似方法模擬立方體的異常電場(chǎng)

張金會(huì)，孫建國(guó)，張亞?wèn)|

(1．吉林大學(xué) 地球探測(cè)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，長(zhǎng)春130026 2．國(guó)土資源部 應(yīng)用地球物理綜合解釋理論開(kāi)放實(shí)驗(yàn)室，長(zhǎng)春130026;3．安徽省勘查技術(shù)院，蚌埠233005;4．長(zhǎng)慶油田公司勘探部，西安710021)

標(biāo)量擬解析近似方法模擬立方體的異常電場(chǎng)

張金會(huì)1，2，3，孫建國(guó)1，2，張亞?wèn)|4

(1．吉林大學(xué) 地球探測(cè)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，長(zhǎng)春130026 2．國(guó)土資源部 應(yīng)用地球物理綜合解釋理論開(kāi)放實(shí)驗(yàn)室，長(zhǎng)春130026;3．安徽省勘查技術(shù)院，蚌埠233005;4．長(zhǎng)慶油田公司勘探部，西安710021)

擬解析近似方法是一種求解積分方程的一種近似方法，它可以處理強(qiáng)散射或者大擾動(dòng)的電磁散射問(wèn)題，在計(jì)算過(guò)程中避免了傳統(tǒng)微分?jǐn)?shù)值方法解決問(wèn)題時(shí)所遇到的大型矩陣或大型代數(shù)方程組的求解。孫建國(guó)［5]將其引入直流電場(chǎng)的積分方程中，并給出了求解異常電場(chǎng)積分方程的標(biāo)量擬解析近似公式。在以前的研究中，已經(jīng)驗(yàn)證了均勻場(chǎng)中異常球體的擬解析近似解的精度，這里對(duì)均勻場(chǎng)中的立方體異常體進(jìn)行數(shù)值模擬，得到了直流電場(chǎng)中異常立方體模型的標(biāo)量擬解析近似解。由于復(fù)雜地電模型可以用立方體的組合進(jìn)行模擬，因此對(duì)立方體異常電場(chǎng)擬解析近似解的研究，為三維直流電場(chǎng)中復(fù)雜地電模型的快速正反演模擬打下了基礎(chǔ)。

積分方程;擬解析近似;直流電場(chǎng);立方體

在2005年J．Sun推導(dǎo)出直流電場(chǎng)的標(biāo)量擬解析近似的理論公式基礎(chǔ)上，作者用標(biāo)量擬解析近似對(duì)均勻場(chǎng)中的異常立方體進(jìn)行研究。不同的立方體的組合，可以對(duì)復(fù)雜異常體進(jìn)行模擬。當(dāng)有多個(gè)異常體組合模擬復(fù)雜異常體時(shí)，異常立方體直接的異常電場(chǎng)會(huì)受到其它異常體所產(chǎn)生的二次場(chǎng)的影響，因此在進(jìn)行模擬時(shí)，還要考慮異常體所產(chǎn)生的二次場(chǎng)之間的相互影響。作者對(duì)單獨(dú)異常體的擬解析近似方法研究，為復(fù)雜地電模型的研究打下了基礎(chǔ)，為三維直流電場(chǎng)中的復(fù)雜異常的正反演模擬奠定算法基礎(chǔ)，可以加快三維電法勘探的進(jìn)程，具有較高的實(shí)際意義。

1 基本方程及公式

J．Sun在其文章中給出標(biāo)量擬解析近似方法的理論公式，作者利用其理論公式，推導(dǎo)得到擬解析近似方法在實(shí)現(xiàn)過(guò)程中的具體實(shí)現(xiàn)細(xì)節(jié)部份。

在進(jìn)行三維異常體數(shù)值模擬時(shí)，積分采用三維高斯積分進(jìn)行計(jì)算，并對(duì)積分中出現(xiàn)的格林函數(shù)的奇異性進(jìn)行了處理，采用處理方法簡(jiǎn)單，不增加運(yùn)算量的挖去法［18]，在控制挖去小體積限度的基礎(chǔ)上，得到了很好的計(jì)算效果，實(shí)現(xiàn)了擬解析近似方法在直流電場(chǎng)模擬中的應(yīng)用。

一次場(chǎng)中異常體內(nèi)部二次直流電場(chǎng)的積分方程［13]為:

異常體外部的積分方程［13]為:

在上面的方程中Ω表示異常體，ja(r)為二次電流密度，由式(3)給出:

其中EBa(r)為Ea(r)的Born近似;(r'，r)為并矢格林函數(shù)，由式(7)給出

J．Sun［13]于2005年通過(guò)假設(shè)電反射張量為0階張量，令:

其中 Ι為單位張量，得到了方程(4)的解:

通過(guò)對(duì)式(11)進(jìn)行整理，可以得到:

在式(12)中

將式(12)代入到式(1)中，可以得到:

將式(14)得到的Ea(r)代入式(3)，可以得到j(luò)a(r)，將ja(r)代入式(2)中，即可得到異常體外部的異常電場(chǎng):

通過(guò)方程(4)，我們可以建立擬解析近似的迭代方程(16)［13]:

其中m是迭代數(shù)。令

利用方程(16)，當(dāng)異常體電導(dǎo)率同圍巖相比變化劇烈，即大擾動(dòng)時(shí)，擬解析近似解不能得到想要的結(jié)果，我們可以通過(guò)式(16)的擬解析近似的迭代解得到滿意的結(jié)果。在一般情況下，迭代次數(shù)m在不超過(guò)5的情況下，我們就能得到滿意結(jié)果。

2 標(biāo)量擬解析近似立方體異常體電場(chǎng)值計(jì)算

很多礦體可以由立方體組合進(jìn)行近似，選取立方體異常進(jìn)行研究，得到的異常體為立方體時(shí)的異常電場(chǎng)。在研究中給定異常體為立方體，利用標(biāo)量擬解析近似方法進(jìn)行計(jì)算，求出異常電場(chǎng)的擬解析近似解，并與Born近似解進(jìn)行比較，選取的均勻場(chǎng)場(chǎng)源中的異常立方體進(jìn)行計(jì)算。立方體邊長(zhǎng)為100 m，中心坐標(biāo)為(0 m，0 m，0 m)，通過(guò)背景介質(zhì)和異常電導(dǎo)率變化，可以得到不同的模型。異常體外部異常電場(chǎng)計(jì)算點(diǎn)，關(guān)于立方體中心對(duì)稱(chēng)分布在z=400 m處沿x方向。針對(duì)六種不同背景介質(zhì)電導(dǎo)率與立方體異常電導(dǎo)率的模型，分別進(jìn)行計(jì)算均勻場(chǎng)中不同電導(dǎo)率的外部電場(chǎng)。地電模型見(jiàn)圖1。

圖1 均勻場(chǎng)中異常立方體模型示意圖Fig．1 Model of anomalous cube in the uniform field

針對(duì)于均勻場(chǎng)中的異常立方體，我們進(jìn)行了下面幾組不同電導(dǎo)率的模型的試算。

(1)從下頁(yè)圖2、圖3可看出Born近似解與擬解析近似解相差很小，與異常球體表現(xiàn)出的現(xiàn)象相同。

(2)后面的圖4、圖5都是高阻立方體。由異常體引起的電場(chǎng)的Born近似解與擬解析近似解相差很大，這是由于Born近似解沒(méi)有考慮二次電場(chǎng)對(duì)異常電場(chǎng)的影響。當(dāng)二次電場(chǎng)對(duì)異常電場(chǎng)影響較大時(shí)，使得擬解析近似解的數(shù)值較Born近似解高。

(3)圖2至圖7(見(jiàn)后面)中的曲線，給出了均勻場(chǎng)中不同背景的電導(dǎo)率，與異常電導(dǎo)率立方體模型的異常電場(chǎng)Ea的x、z分量。由均勻場(chǎng)中的球體的計(jì)算結(jié)果分析，可以得出圖中的擬解析近似解比Born近似解更接近實(shí)際結(jié)果。

3 結(jié)論

積分方程法具有直接對(duì)異常體區(qū)域進(jìn)行數(shù)值積分的優(yōu)點(diǎn)，避免了傳統(tǒng)數(shù)值方法解決問(wèn)題時(shí)所遇到的求解大型矩陣或大型代數(shù)方程組。利用標(biāo)量擬解析近似方法可以對(duì)直流電場(chǎng)的積分方程進(jìn)行求解，作者在本文對(duì)異常體為立方體時(shí)的異常電場(chǎng)進(jìn)行了標(biāo)量擬解析近似數(shù)值模擬，該方法對(duì)于其它形狀的異常體也同樣可以適用，如橢球體、圓柱體等。作者通過(guò)對(duì)均勻場(chǎng)中的異常立方體進(jìn)行的標(biāo)量擬解析模擬，表明標(biāo)量擬解析近似方法具有很強(qiáng)的適應(yīng)性。當(dāng)異常體電導(dǎo)率變化較大時(shí)，可以通過(guò)對(duì)標(biāo)量擬解析近似解進(jìn)行迭代仍可以達(dá)到很好的效果，這表明該方法可以用于大擾動(dòng)問(wèn)題的模擬。立方體異常體的空間組合可以用來(lái)模擬復(fù)雜分布的地下礦體，本文作者對(duì)立方體異常的擬解析近似研究，為解決復(fù)雜地電模型提供了借鑒，初步表明了該方法具有處理復(fù)雜地電結(jié)構(gòu)的模型的能力。作者通過(guò)對(duì)直流電場(chǎng)標(biāo)量擬解析近似方法實(shí)現(xiàn)的研究，為三維直流電場(chǎng)的快速正反演模擬，提供了快速的精確度高的數(shù)值模擬方法。

圖2 σ0=1．0 S，σa=0．01 S時(shí)異常電場(chǎng)曲線圖Fig．2 Whileσ0=1．0 S，σa=0．01 S，the anomalous electrical field curves

圖3 σ0=1．0 S，σa=0．01 S時(shí)異常電場(chǎng)曲線圖Fig．3 Whileσ0=1．0 S，σa=0．1 S，the anomalous electrical field curves

圖4 σ0=1．0 S，σa=－0．9 S時(shí)異常電場(chǎng)曲線圖Fig．4σ0=1．0 S，σa=－0．9 S，the anomalous electrical field curves

圖5 σ0=1．0 S，σa=－0．99 S時(shí)異常電場(chǎng)曲線圖Fig．5σ0=1．0 S，σa=－0．99 S，the anomalous electrical field curves

［1]HABASHY T M，GROOM W R，SPIESR B．Beyond the Born and Rytov Approximations:A Nonlinera Approach to Electromagnetic Scattering［J]．Journal of geophysical research，1993，98(B2):1759．

［2]ZHDANOV M S，F(xiàn)ANG S．Quasi－liner approximation in 3－D eledtromagnetic modeling［J]．Geophysics，1996，61(3):646．

［3]ZHDANOV M S，F(xiàn)ANG S，HURSAN G．Electromagnetic inversion using quasi－linear approximation［J]．Geophysics，2000，65(5):1501．

［4]ZHDANOV M S，DMITRIEV V I，F(xiàn)ANG S，et al．Quasi－analytical approximations and series in electromagnetic modeling［J]．Geophysics，2000，65(6):1746．

［5]孫建國(guó)．聲波散射數(shù)值模擬的兩種新方案［J]．吉林大學(xué)學(xué)報(bào):地球科學(xué)版，2006:863．

［6]劉寧，孫建國(guó)．起伏地表?xiàng)l件下的聲波散射數(shù)值模擬的積分方程法［J]．吉林大學(xué)學(xué)報(bào):地球科學(xué)版，2007:61．

［7]陳麗虹，孫建國(guó)，王忠仁．?dāng)M線性近似方法在2_5維電阻率正演中的應(yīng)用［C]．中國(guó)地球物理學(xué)會(huì)第十七屆學(xué)術(shù)年會(huì)，昆明:云南科技出版社，2001．

［8]陳麗虹，孫建國(guó)．地球物理反演的擬線性近似方法綜述［J]．地球物理學(xué)進(jìn)展，2002，17(3):464．

［9]孫建國(guó)．穩(wěn)定電流場(chǎng)的電位反射函數(shù)［C]．中國(guó)地球物理學(xué)會(huì)第十九屆年會(huì)．南京:南京師范大學(xué)出版社，2003．

圖6 σ0=0．1 S，σa=0．9 S時(shí)異常電場(chǎng)曲線圖Fig．6σ0=0．1 S，σa=0．9 S，the anomalous electrical field curves

圖7 σ0=0．01 S，σa=0．99 S時(shí)異常電場(chǎng)曲線圖Fig．7σ0=0．01 S，σa=0．99 S，The anomalous electrical field curves

［10]孫建國(guó)．穩(wěn)定電流場(chǎng)數(shù)值模擬的擬線性近似［C]．中國(guó)地球物理學(xué)會(huì)第二十屆年會(huì)，西安:西安地圖出版社，2004．

［11]陳麗虹，孫建國(guó)．穩(wěn)定電流場(chǎng)的擬線性近似方法研究［J]．石油地球物理勘探，2004，39(5):589．

［12]孫建國(guó)．直流電位場(chǎng)數(shù)值模擬的擬解析法［C]．中國(guó)地球物理學(xué)會(huì)第二十屆學(xué)術(shù)年會(huì)，西安:西安地圖出版社，2004．

［13]SUN J．On the electrical reflectivity tensor in d．c electric field modelling［J]．Geophysical Prospecting，2005(53):411．

［14]孫建國(guó)．穩(wěn)定電流場(chǎng)擬解析近似精度分析［C]．中國(guó)地球物理學(xué)會(huì)第二十一屆年會(huì)．長(zhǎng)春:吉林大學(xué)出版社，2005．

［15]孫建國(guó)．穩(wěn)定電流場(chǎng)擬解析近似的數(shù)值評(píng)價(jià)［C]．中國(guó)地球物理學(xué)會(huì)第二十二屆年會(huì)，成都:四川科學(xué)技術(shù)出版社，2006．

［16]傅良魁．電法勘探教程［M]．北京:地質(zhì)出版社，1983．

［17]張金會(huì)，孫建國(guó)．直流電場(chǎng)擬解析近似精度分析與評(píng)價(jià)［C]．中國(guó)地球物理學(xué)會(huì)第二十四屆年會(huì)．北京:中國(guó)大地出版社，2008．

［18]張金會(huì)，孫建國(guó)．格林函數(shù)的奇異性處理［J]．地球物理學(xué)進(jìn)展，2009，24(6):2106．

P 631.3

A

1001—1749(2011)02—0147—06

0 前言

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目“40574052”;國(guó)家高技術(shù)研究發(fā)展計(jì)劃(863)(2006AA06Z109);國(guó)家重點(diǎn)基礎(chǔ)研究發(fā)展計(jì)劃(973)(2007CB209603)

2010－09－28改回日期:2010－12－27

張金會(huì)(1980－)，男，河北衡水人，博士，研究方向?yàn)橹绷麟妶?chǎng)模擬。

近年來(lái)我國(guó)資源形勢(shì)日益嚴(yán)峻，大規(guī)模的經(jīng)濟(jì)建設(shè)對(duì)金屬礦的需求越來(lái)越大，對(duì)于資源的需求應(yīng)該立足于國(guó)內(nèi)，因此要加大國(guó)內(nèi)金屬礦勘探的力度。在金屬礦勘探中，電法勘探占有重要地位，研究直流電場(chǎng)快速數(shù)值模擬，對(duì)于推進(jìn)電法勘探的發(fā)展有著重要的意義。三維直流電場(chǎng)數(shù)值模擬的方法很多，大致可以分為微分方法和積分方法。在傳統(tǒng)的數(shù)值方法中，都會(huì)遇到大型矩陣或求解大型線性代數(shù)方程組的問(wèn)題，這對(duì)計(jì)算機(jī)硬件要求高，計(jì)算周期長(zhǎng)。尤其是在復(fù)雜地質(zhì)條件下，這些問(wèn)題更為突出，所以尋求快速精確的數(shù)值模擬方法，一直是地球物理工作者的研究重點(diǎn)。積分方程法在解決三維直流電場(chǎng)問(wèn)題中有其優(yōu)點(diǎn)，如積分方程法只需對(duì)異常體進(jìn)行計(jì)算，而不需要對(duì)背景區(qū)域進(jìn)行計(jì)算，微分方程法在計(jì)算過(guò)程中存在誤差累積并傳遞到下一次迭代中，而積分方程法不存在誤差的累積和傳遞?；谶@些優(yōu)點(diǎn)，前人對(duì)積分方程法進(jìn)行了很多的研究。T M Habashy等［1]提出用局部非線性近似方法，對(duì)電磁場(chǎng)問(wèn)題進(jìn)行研究，但這種方法運(yùn)算復(fù)雜不適于實(shí)際應(yīng)用推廣。Zhdanov等［2]受到TM Habashy的局部非線性近似方法的啟發(fā)，在遇電磁場(chǎng)散射場(chǎng)問(wèn)題時(shí)提出了擬線性近似方法求解散射場(chǎng)的積分方程。這種方法通過(guò)假設(shè)異常電場(chǎng)Ea(r)與正常電場(chǎng)E0(r)之間是由電反射張量聯(lián)系起來(lái)的擬線性關(guān)系，即:。簡(jiǎn)化了電磁散射的積分方程，從而可以提高計(jì)算速度，電反射張量由最優(yōu)化的方法求出。Zhdanov［3]在2000年將擬線性近似方法應(yīng)用于電磁場(chǎng)反演，并用來(lái)反演美國(guó)新墨西哥州的CSAMT數(shù)據(jù)。由于擬線性近似時(shí)仍無(wú)法避開(kāi)解線性代數(shù)方程組，因此Zhdanov經(jīng)過(guò)研究后，提出假設(shè)電反射張量在異常體內(nèi)為緩變函數(shù)，由一種相對(duì)簡(jiǎn)單的替代方法確定，這種方法稱(chēng)為擬解析近似方法［4]，并提出了擬解析近似序列。孫建國(guó)［5、6]在通過(guò)電磁場(chǎng)中的擬線性近似方法和擬解析方法研究的基礎(chǔ)上，先后提出將擬線性近似方法和擬解析近似方法的應(yīng)用，擴(kuò)展到直流電場(chǎng)模擬及聲波散射模擬。孫建國(guó)［7～9]分別對(duì)2.5維直流電阻率正演和地球物理反演中擬線性近似方法的應(yīng)用進(jìn)行了討論，接下來(lái)又研究了穩(wěn)定電流場(chǎng)的電位反射函數(shù)。孫建國(guó)［10～12]2004年對(duì)穩(wěn)定電流場(chǎng)中的擬線性近似方法進(jìn)行了研究，給出了直流電位場(chǎng)數(shù)值模擬的擬解析方法。在2005年孫建國(guó)［13、14]研究了直流電場(chǎng)中的電反射張量，給出直流電場(chǎng)中的擬線性近似方法和擬解析近似方法的理論公式，并對(duì)電反射張量進(jìn)行了詳細(xì)的分析，對(duì)穩(wěn)定電流場(chǎng)擬解析近似方法也進(jìn)行精度分析。在2006年，孫建國(guó)［15]又對(duì)穩(wěn)定電流場(chǎng)擬解析近似方法進(jìn)行了數(shù)值評(píng)價(jià)。在2008年，張金會(huì)［17]用擬解析近似方法對(duì)均勻場(chǎng)中的異常球體進(jìn)行了研究，并對(duì)擬解析近似方法的精度進(jìn)行了分析和研究。