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    拉格朗日中值定理的基本證法及應(yīng)用小結(jié)

    2011-10-12 13:04:06夏綠玉
    關(guān)鍵詞:開區(qū)間羅爾中值

    夏綠玉

    (銅陵職業(yè)技術(shù)學(xué)院,安徽銅陵244000)

    拉格朗日中值定理的基本證法及應(yīng)用小結(jié)

    夏綠玉

    (銅陵職業(yè)技術(shù)學(xué)院,安徽銅陵244000)

    拉格朗日中值定理是幾個(gè)中值定理中最重要的一個(gè),是微分學(xué)應(yīng)用的橋梁,在高等數(shù)學(xué)的一些理論推導(dǎo)中起著很重要的作用。文章通過介紹幾種不同構(gòu)造函數(shù)的方法證明拉格朗日中值定理,并講解拉格朗日定理的在不等式證明中的簡單運(yùn)用。闡述構(gòu)造函數(shù)的方法和運(yùn)用拉格朗日跳躍證明不等式的方法。

    拉格朗日中值定理;羅爾定理;不等式

    拉格朗日中值定理是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識,它的證明過程中滲透的構(gòu)造函數(shù)思想可以訓(xùn)練邏輯思維能力和解決問題能力。本文通過對定理證明過程的小結(jié)說明類比、構(gòu)造的數(shù)學(xué)思想;通過對不等式證明的講解,體現(xiàn)跳躍證明不等式的方法。首先講一下羅爾中值定理拉格朗日中值定理及其幾何意義。

    一、定理證明

    1.羅爾(Rolle)中值定理

    如果函數(shù)f(x)滿足條件:(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù);(2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo);(3)f(a)=f(b)則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ζ,使得f'(ζ)=0。

    羅爾中值定理的幾何意義:如果連續(xù)光滑曲線y=f(x)在點(diǎn)A、B處的縱坐標(biāo)相等,那么,在弧上至少有一點(diǎn)C(ζ,f(ζ)),曲線在C點(diǎn)的切線平行于x軸,如圖1。

    注意定理中三個(gè)條件缺少其中任何一個(gè),定理的結(jié)論將不一定成立;但不能認(rèn)為定理?xiàng)l件不全具備,就一定不存在屬于(a,b)的ζ,使得f'(ζ)=0。這就是說定理的條件是充分的,但非必要的。

    2.拉格朗日(lagrange)中值定理

    若函數(shù)f(x)滿足如下條件:(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù);(2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo);則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ζ,使f'

    拉格朗日中值定理的幾何意義:函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖形是連續(xù)光滑曲線弧AB上至少有一點(diǎn)C,曲線在C點(diǎn)的切線平行于弦。如圖2。

    圖二

    從拉格朗日中值定理的條件與結(jié)論可見,若f(x)在閉區(qū)間[a,b]兩端點(diǎn)的函數(shù)值相等,即f(a)=f(b),則拉格朗日中值定理就是羅爾中值定理。換句話說,羅爾中值定理是拉格朗日中值定理的一個(gè)特殊情形。正因?yàn)槿绱?,我們只需對函?shù)f(x)作適當(dāng)變形,便可借助羅爾中值定理導(dǎo)出拉格朗日中值定理。

    3.證明拉格朗日中值定理

    (1)教材證法

    顯然,函數(shù)F(x)滿足在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),而且F(a)=F(b).于是由羅爾中值定理知道,至少存在一點(diǎn)ζ(a<ζ<b),

    即f'

    (2)用作差法引入輔助函數(shù)法

    顯然,函數(shù)φ(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),φ(a)=φ(b)=0,因此,由羅爾中值定理得,至少存在一點(diǎn)ζ∈(a,b),

    (3)用迭加法引入輔助函數(shù)法

    讓f(x)迭加一個(gè)含待定系數(shù)的一次函數(shù)y=kx+m,例如令φ(x)=f(x)-(kx+m)或φ(x)=-f(x)+kx+m,通過使φ(a)=φ(b),確定出k,m,即可得到所需的輔助函數(shù)。

    例如由φ(x)=f(x)-(kx+m),令φ(a)=φ(b)

    得f(a)-(ka+m)=f(b)-(kb+m),從而,而m可取任意實(shí)數(shù),這樣我們就得到了輔助函數(shù)-x-m,由m的任意性易知迭加法可構(gòu)造出無數(shù)個(gè)輔助函數(shù),這些函數(shù)都可用于證明拉格朗日中值定理。

    二、拉格朗日定理證明應(yīng)用

    拉格朗日定理是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用理論的基礎(chǔ),應(yīng)用廣泛。下面我們討論它在不等式證明上的應(yīng)用。證明不等式都是先找到一個(gè)函數(shù),在閉區(qū)間上運(yùn)用拉格朗日中值定理,再通過一定的放縮比較,得到結(jié)論。

    例1證明對一切h>-1,h≠0成立,不等式:

    證明:設(shè)f(x)=In(1+x),則

    當(dāng)h>0時(shí),由0<θ<1可推知

    當(dāng)-1<h<0時(shí),由0<θ<1可推得

    從而得到事實(shí)所要證明的結(jié)論。

    證明:在區(qū)間[α,β]上對函數(shù)tanx使用中值定理,可知存在ξ∈(α,β),使得

    例3設(shè)f(x)在f'(x)上[a,b]連續(xù),f'(x)在(a,b)內(nèi)存在,若f(a)=f(b)=0,且有c∈(a,b)使得f(c)<0,證明存在ξ∈(a,b)使得f'(ξ)>0。

    證明:分別在[a,c],[c,b]上用中值定理有

    從而f'(ξ1)<0,f'(ξ2)>0在[ξ1,ξ2]再用中值定理,得

    [1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M].北京:高等教育出版社,2001.

    [2]常庚哲,史濟(jì)懷,等.數(shù)學(xué)分析教程[M].北京:高等教育出版社,2003.

    [3]陳如邦,等.高等數(shù)學(xué)[M].北京:高等教育出版社,2009.

    (責(zé)任編輯:王朝勇)

    O172.1

    A

    1671-752X(2011)01-0093-02

    2010-12-18

    夏綠玉(1983-),女,安徽銅陵人,銅陵職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部教師,碩士在讀,研究方向:概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)。

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