一階差分方程周期邊值問題一個或多個正解的存在性

許曉婕，費祥歷

(中國石油大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院，山東東營257061)

一階差分方程周期邊值問題一個或多個正解的存在性

許曉婕，費祥歷

(中國石油大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院，山東東營257061)

用一類錐不動點定理首先給出一階差分周期邊值問題的存在性原則，并應(yīng)用此原則論證了該問題一個或多個正解的存在性，最后通過例證對該問題加以說明。

周期邊值問題;差分方程;正解;錐不動點定理

1 問題的提出

本文主要研究一階差分周期邊值問題一個或多個正解的存在性，其中是想得到的一個解。通常Δ表示向前差分，定義如下:

并且整數(shù)a≤b，［a，b］表示離散區(qū)間{a，a+1，…，b}。

常微分方程的初值和周期邊值問題已被廣泛地研究［1-4］，研究者主要是用上下解方法得出解的存在性結(jié)果。最近，關(guān)于一階微分方程初值問題又有了些新的結(jié)論［4-7］。但是，關(guān)于一階差分周期邊值問題卻很少有人研究。筆者應(yīng)用錐不動點定理［8］給出一些新的條件，確保問題(1)解的存在性。類似于文獻［9，10］的方法，證明一階差分周期邊值問題正解的存在性。

2 引理及定理

考慮線性周期問題

貫穿全文，假設(shè)問題(2)只有平凡解。顯然非其次問題

其中

引理1如果當n∈［1，N］時，0＜a(n)＜1，則對任意的(n，s)∈［1，N］×［1，N］，G(n，s)＞0。

為了方便，本文中令

下面給出錐不動點定理［2］。

定理1X=(X，‖·‖)是一個Banach空間，K是X中的一個錐，并且兩個常數(shù)r和R滿足0＜r＜R。假設(shè)Φ∩K→K(這里ΩR={x∈X，‖x‖＜R})是一個全連續(xù)映射，如果

(i)當λ∈［0，1］且x∈K∩?Ωr時，x≠λΦx，

(ii)當x∈K∩?ΩR且δ＞0時，存在ψ∈K{0}使得x≠Φx+δψ，則Φ在K∩{x∈X:r＜‖x‖＜R}中有一個不動點。

注2在定理1中，如果(i)和(ii)用下面兩個條件替換:

(i)*當λ∈［0，1］且x∈K∩?ΩR時，x≠λΦx，

(ii)*當x∈K∩?Ωr且δ＞0時，存在ψ∈K{0}使得x≠Φx+δψ，則Φ在K∩{x∈X:r＜‖x‖＜R}中有一個不動點。

3 主要結(jié)果

考慮如下周期邊值問題:

函數(shù)f(n，ξ)滿足f:［1，N］×R→R關(guān)于ξ連續(xù)。

注3稱映射f:［1，N］×R→R連續(xù)是指從拓撲空間［1，N］×R到拓撲空間R上的連續(xù)。全文中拓撲空間［1，N］指的是離散拓撲。

定理2假設(shè)存在a(n)∈(0，1)和0＜r＜R使得

如果下面兩個條件之一成立:

則問題(4)至少有一個正解。

證明由于M＞m＞0，改寫方程如下:

考慮N-維Banach空間，

賦予范數(shù)

令

易證K是B中的一個錐。

當y∈B時，定義映射Φ

顯然，Φ是B上一個全連續(xù)映射(詳見參考文獻［11］)。下面證明Φ(K)?K。

事實上，對任意的y∈K有

且

所以有

因此，Φ(K)?K。

首先假設(shè)條件(i)成立，證明問題(4)至少有一個解。

由第一個不等式可得

令ψ≡1，則ψ∈K。下面證明

假設(shè)式(7)不成立，則存在y0∈K∩?Ωr和δ＞0使得

注意到y(tǒng)(n)≡1是邊值問題(3)當h(n)=a(n)時的唯一解，則

因為y0∈K∩?Ωr，則，則對任意的n∈［1，N］，有

這表明μ≥μ+δ0，矛盾。因此式(7)成立。

另一方面，由第二個不等式可得

則可證

如果式(8)不成立，則存在y0∈K∩?ΩR和0≤λ0≤1，使得

顯然，λ0＞0，‖y0‖=R。如果λ0=1，則y0=Φy0，y0就是邊值問題(4)的一個解，所以只須考慮λ0＜1。因此對任意的n∈［1，N］，有

因此，‖y0‖=R＜R，矛盾。

式(7)和(8)表明注1成立，則Φ有一個不動點y∈K∩(ˉΕRΩr)。顯然，這個不動點就是問題

(4)的一個正解，且滿足r≤‖y‖≤R。

應(yīng)用類似的方法可以證明當條件(ii)成立時，由定理1也可以得出相應(yīng)的結(jié)論。

由定理2可以直接得出下面的幾個結(jié)論。

定理3假設(shè)存在a(n)∈(0，1)和0＜r＜p＜R使得

如果下面兩個條件之一成立:

則問題(4)至少存在兩個正解y1，y2滿足r≤‖y1‖＜p＜‖y2‖≤R.

證明只證明條件(i)成立的情況，條件(ii)成立的情況類似可得。完全類似定理2的證明，有

因此由定理1和注1可分別求得方程至少存在兩個正解y1，y2，并且由式(11)易知r≤‖y1‖＜p＜‖y2‖≤R。

定理4假設(shè)存在a(n)∈(0，1)和0＜a1＜b1＜a2＜b2＜…＜an＜bn使得

如果下面兩個條件之一成立:

則問題(4)至少存在n重正解yi(1≤i≤n)滿足ai≤‖yi‖≤bi，1≤i≤n.

注4在定理4中，如果條件(i)和(ii)替換成下面兩個條件:

則方程(4)至少存在2n－1重正解。

4 應(yīng)用

假設(shè)函數(shù)f(n，ξ)滿足f:［1，N］×［0，+∞)→［0，+∞)關(guān)于ξ連續(xù)。需要說明的是在求解周期邊值問題正解的存在性時并不需要知道m(xù)，M的確切數(shù)值。

考慮周期邊值問題

其中0＜a(n)＜1。

為了敘述方便，引入下面的符號:

本節(jié)還需假設(shè)下面一些條件成立:

(H3)存在一個p＞0，只要，就有對任意的n∈［1，N］，f(n，ξ)＜a(n)p;

(H4)存在一個p＞0，只要就有對任意的n∈［1，N］，f(n，ξ)＞a(n)ξ。

注5存在一個p＞0，只要，就有對任意的n∈［1，N］，f(n，ξ)＜a(n)ξ，(H3)成立。

注6存在一個p＞0，只要，就有對任意的n∈［1，N］，f(n，ξ)＞a(n)p，(H4)成立。

定理5假設(shè)(H1)和(H3)成立，則邊值問題(12)至少有兩個正解使得0＜‖y1‖＜p＜‖y2‖且對任意的n∈［1，N］，0＜y1(n)＜p＜y2(n)。

證明分別取r充分小和R充分大，則由定理3直接可得定理5。特別地，有下面的結(jié)論:

推論1由下面的條件

替換(H1)，定理5的結(jié)論仍然成立。

定理6假設(shè)(H2)和(H4)成立，則邊值問題(12)至少存在兩個解和y2=使得0＜‖y1‖＜p＜‖y2‖且對任意的n∈［1，N］，0＜y1(n)＜p＜y2(n)。

證明分別取r充分小和R充分大，則由定理3直接可得定理6。

推論2由下面的條件:

替換(H2)，定理6的結(jié)論仍然成立。

定理7如果下面兩個條件:

有一個成立，則邊值問題(12)至少有一個正解。

證明由定理5和定理6類似證明可得。

推論3如果下面兩個條件:

(1*)f0=∞且f∞=0(次線形)和(2*)f0=0且f∞=∞(超線性)有一個成立，則邊值問題(12)至少有一個正解。

例1如果a(n)∈(0，1)，0＜α，β＞1，或者α，β＞1，則邊值問題

至少有一個正解。

證明非線性項f(n，y(n))=yα(n)+yβ(n)，如果a(n)∈(0，1)，0＜α，β＞1，則f0=∞，f=0;如果α，β＞1，則f0=0，f∞=∞。無論哪種情況，由推論3邊值問題(13)至少有一個正解。

例2假設(shè)方程

其中a(n)∈(0，1)，0＜α＜1＜β，δ(n)＞0，則方程(14)至少有兩個正解，如果

證明為了證明此結(jié)論，應(yīng)用推論3，非線性項f(n，y(n))=δ(n)［yα(n)+yβ(n)］，顯然

則T(0+)=T(∞)=0且

這說明(H3)成立。

因此推論1的條件均滿足，所以方程(14)至少有兩個正解。

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(編輯 修榮榮)

Existence of single and multiple solutions for first order discrete periodic boundary value problems

XU Xiao-jie，F(xiàn)EI Xiang-li
(College of Mathematics and Computational Science in China University of Petroleum，Dongying 257061，China)

The existence principle of single and multiple positive solutions for the first order discrete periodic boundary value problems was studied by employing a fixed point theorem in cones.Based on this principle，the existence of single and multiple positive solutions for the problems was given.Some new results about nonlinear difference equations on a finite discrete segment with periodic boundary conditions were demonstrated.

periodic boundary value problem;discrete equation;positive solution;fixed point theorem in cones

O 175.08

A

10.3969/j.issn.1673-5005.2011.01.036

2010－01－12

中國石油大學(xué)(華東)基礎(chǔ)科研基金(Y070815)

許曉婕(1977－)，女(漢族)，遼寧鳳城人，講師，博士研究生，從事微分方程理論及應(yīng)用研究。

1673-5005(2011)01-0179-05