MATLAB優(yōu)化工具箱在蝸桿傳動優(yōu)化設(shè)計中的應(yīng)用

苗君明

(遼寧裝備制造職業(yè)技術(shù)學(xué)院，遼寧 沈陽 110161)

蝸桿傳動是在空間交錯的兩軸間傳遞運(yùn)動和動力的一種傳動機(jī)構(gòu)。由于蝸輪蝸桿傳動具有傳動比大、傳動平穩(wěn)、結(jié)構(gòu)緊湊等優(yōu)點，所以在工程中的應(yīng)用十分廣泛。在蝸桿傳動中，通常采用淬硬磨削的鋼制蝸桿，而采用貴重金屬的青銅等材料制造蝸輪齒輪，以使傳動副具有良好的減摩性、耐磨性和抗膠合能力。為了節(jié)約貴重金屬，降低成本，直徑較大的蝸輪常采用組合結(jié)構(gòu)。本文以MATLAB軟件為平臺，利用MATLAB優(yōu)化工具箱進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計，得到滿足使用要求體積最小的蝸輪，從而節(jié)約貴重有色金屬，節(jié)約了成本。

1 數(shù)學(xué)模型的建立

1.1 目標(biāo)函數(shù)和設(shè)計變量

如圖1所示，蝸輪齒圈的結(jié)構(gòu)尺寸包括:齒頂圓直徑 da、齒根圓直徑 df、齒圈的外徑 de、內(nèi)徑d0、齒寬b。蝸輪齒圈的體積為:

蝸輪齒數(shù)z2=uz1

式中，u是齒數(shù)比;z1是蝸桿齒數(shù)。

蝸輪齒寬b=ψda1=ψm(q+2)

式中q是直徑系數(shù)

ψ是齒寬系數(shù)，當(dāng)z1=1～2時，ψ=0.75;當(dāng)z1=3～4時，ψ=0.67。

將上述關(guān)系代入蝸輪齒圈的體積計算式中，經(jīng)過整理得到目標(biāo)函數(shù)

從上式可見，蝸輪齒圈的體積與蝸桿齒數(shù)z1、模數(shù)m、直徑系數(shù)q和齒數(shù)比u的函數(shù)。由于齒數(shù)比u一般是已知量，因此，取蝸桿齒數(shù)z1、模數(shù)m、直徑系數(shù)q作為設(shè)計變量，即

因此，目標(biāo)函數(shù)可以寫成

圖1 蝸輪尺寸參數(shù)

1.2 約束條件

(1)蝸桿齒數(shù)的限制

對于動力傳動，要求z1=2～4。因此有

(2)蝸輪齒數(shù)的限制

一般要求z2=uz1=30～80。因此有

(3)模數(shù)的限制

對于中小功率的蝸桿動力傳動，要求2≤m≤18。因此有

(4)蝸桿直徑系數(shù)的限制

對應(yīng)上述模數(shù)的范圍，要求8≤q≤16。因此有

(5)蝸輪齒面接觸強(qiáng)度的限制根據(jù)蝸輪齒面接觸強(qiáng)度條件

式中K是載荷系數(shù);

T2是蝸輪傳遞的轉(zhuǎn)矩;

［σH］是蝸輪齒圈材料的許用接觸應(yīng)力。

(6)蝸輪齒根彎曲強(qiáng)度的限制

由于蝸輪輪齒的齒根是圓弧形，抗彎能力較高，很少發(fā)生蝸輪輪齒折斷。所以，對于閉式蝸桿傳動，通常不再進(jìn)行蝸輪齒根彎曲強(qiáng)度計算。

(7)蝸桿剛度的限制

要求蝸桿工作時最大撓度不大于m/50，即

式中，蝸桿支承跨度L=0.9d2=0.9muz1

彈性模量E=2.1×105MPa

將上述關(guān)系代入上式整理得到

上述優(yōu)化設(shè)計數(shù)學(xué)模型的約束條件共有8個邊界約束和2個性能約束。

2 工程應(yīng)用實例

已知某普通圓柱蝸桿傳動的輸出軸扭矩T2=9484 N·m，工作平穩(wěn)(載荷系數(shù)K=1.21)，齒數(shù)比u=20，蝸輪齒圈材料為ZQSn10－1，許用接觸應(yīng)力［σ［H］］=268 MPa，傳動效率 η =0.80。試按照蝸輪齒圈體積最小的要求進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計。

2.1 傳統(tǒng)設(shè)計方法

由選擇蝸桿傳動類型、按齒面接觸疲勞強(qiáng)度進(jìn)行設(shè)計、蝸桿與蝸輪的主要參數(shù)與幾何尺寸、校核齒根彎曲疲勞強(qiáng)度等步驟確定蝸輪蝸桿傳遞的模數(shù)m、齒數(shù)z和直徑系數(shù)q分別為8、2、10。蝸輪體積為1.6×105mm3。

2.2 利用MATLAB工具箱優(yōu)化設(shè)計

(1)建立優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)模型

將已知數(shù)據(jù)代入目標(biāo)公式，整理得到

經(jīng)過分析，約束條件 g1(X)≥0相對于g3(X)≥0來說是消極約束，約束條件g4(X)≥0相對于g2(X)≥0來說也是消極約束。因此，可以將g1(X)≥0和g4(X)≥0這兩個消極約束條件去掉?？梢?，這是一個三維有8個不等式約束的非線性優(yōu)化設(shè)計問題。

(2)優(yōu)化方法與結(jié)果分析

采用MATlAB編寫優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)程序和約束函數(shù)程序，調(diào)用MATLAB的optimtool優(yōu)化工具箱，初始值x=［123］，輸入目標(biāo)函數(shù)與限制函數(shù)名稱。運(yùn)行結(jié)果，X=［2.97228.564］，f=5.5795×104mm3。對于優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行圓整，取離散最優(yōu)化解:蝸桿齒數(shù)z1=3，模數(shù)m=2，直徑系數(shù)q=9，則蝸輪齒圈體積V*=5.8118×104mm3。經(jīng)檢驗，滿足g(1)－g(10)的約束條件，符合設(shè)計要求，故優(yōu)化結(jié)果可用。

3 結(jié)論

與傳統(tǒng)設(shè)計方法比較，利用MATLAB優(yōu)化工具箱對蝸輪蝸桿傳動進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計，大大地減小整個傳動機(jī)構(gòu)的體積，提高了經(jīng)濟(jì)效益和工作效率。

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