無網(wǎng)格法的研究發(fā)展及工程應(yīng)用簡(jiǎn)述

陳曉珞

0 引言

大量復(fù)雜的工程實(shí)際問題為計(jì)算力學(xué)提出了許多迫切需要解決的難題。傳統(tǒng)的依賴于網(wǎng)格的有限元法在處理大變形問題時(shí)經(jīng)常由于網(wǎng)格糾纏而導(dǎo)致求解失敗，而且局部應(yīng)力集中等現(xiàn)象的精細(xì)分析必須進(jìn)行網(wǎng)格細(xì)化并反復(fù)迭代求解。這使得通常的有限元在處理這一類問題時(shí)不僅要花費(fèi)大量的時(shí)間，而且求解過程非常繁瑣且計(jì)算精度較差?；谏鲜鲈颍瑹o網(wǎng)格法近幾年來引起了國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注。無網(wǎng)格法無需計(jì)算網(wǎng)格，可以避免大變形分析網(wǎng)格畸變而引起的計(jì)算困難，使其在處理移動(dòng)不連續(xù)、大變形、高梯度問題等方面比基于網(wǎng)格的近似方法具有特殊的優(yōu)越性。

1 無網(wǎng)格法的研究發(fā)展歷史[1］

對(duì)無網(wǎng)格法的研究可以追溯到20世紀(jì)70年代初對(duì)非規(guī)則網(wǎng)格有限差分法的研究，但由于當(dāng)時(shí)有限元法的巨大成功，這類方法沒有受到高度重視。1977年，有Lucy和Gingold等分別提出了基于拉格朗日公式的光滑質(zhì)點(diǎn)流體動(dòng)力學(xué)(SPH)法。經(jīng)過Johnson，Swegle等的改進(jìn)，SPH法的精度有所提高，并且改進(jìn)了其穩(wěn)定性。1994年Belytschko在修正了模糊單元法(DEM)的基礎(chǔ)上提出了無網(wǎng)格Galerkin法(EFG)。1995年，Liu等根據(jù)函數(shù)積分變換的思想，基于Galerkin法提出了再生核質(zhì)點(diǎn)法(RKPM)，隨后結(jié)合小波的概念，構(gòu)造了多尺度再生核質(zhì)點(diǎn)法(MRKPM)和小波質(zhì)點(diǎn)法。1996年，Liu等又引入了移動(dòng)最小二乘法的思想提出了移動(dòng)最小二乘法重構(gòu)核近似方法(MLSRK)。

1995年，Oden和Duarte等利用最小二乘原理建立單位分解函數(shù)，提出了Hp云團(tuán)法，并進(jìn)行了嚴(yán)格的數(shù)學(xué)論證。此后，Liszka等采用配點(diǎn)形式，提出了Hp無網(wǎng)格云團(tuán)法。Babuska等將單位分解法與有限元法結(jié)合，利用單位分解的形函數(shù)將局部定義的近似解相連接，構(gòu)造出總體常函數(shù)的近似解，提出了單位分解法(PUM)。Onate等采用最小二乘插值函數(shù)，采用配點(diǎn)格式離散微分方程，提出了有限點(diǎn)法(FPM)。Atluri等提出了局部邊界積分方程法(LBIE)，并在此基礎(chǔ)上，利用移動(dòng)最小二乘逼近構(gòu)造局部子域上的權(quán)函數(shù)和形函數(shù)，提出了無網(wǎng)格局部Petrov-Galerkin法(MLPG)。

徑向基函數(shù)(RBF)具有形式簡(jiǎn)單、各向同性等優(yōu)點(diǎn)，也可以用來構(gòu)造無網(wǎng)格形函數(shù)形成基于徑向基函數(shù)的無網(wǎng)格法。張雄等[3］基于徑向基函數(shù)構(gòu)造了配點(diǎn)型無網(wǎng)格法，并從加權(quán)殘量法出發(fā)構(gòu)造了最小二乘配點(diǎn)型無網(wǎng)格法和加權(quán)最小二乘無網(wǎng)格法。

2 三種主要的無網(wǎng)格法

根據(jù)所使用的計(jì)算模型的不同，無網(wǎng)格法可分為三大類[2］:1)基于配點(diǎn)的無網(wǎng)格法;2)基于弱式(主要是各種Galerkin弱式)的無網(wǎng)格法;3)基于積分弱式和配點(diǎn)結(jié)合的無網(wǎng)格法。以下僅就兩類討論三種主要的無網(wǎng)格法。

2.1 光滑質(zhì)點(diǎn)流體動(dòng)力學(xué)法(SPH法)

在通常的分類中，SPH法被歸為基于配點(diǎn)法的無網(wǎng)格法[2］。作為較早提出的一種無網(wǎng)格法，SPH法的主要思想是認(rèn)為任何一個(gè)連續(xù)系統(tǒng)可離散為一系列的任意分布的質(zhì)點(diǎn)，所有有關(guān)這一系統(tǒng)的量(物理的或數(shù)值的)都認(rèn)為集中于這些質(zhì)點(diǎn)上。它的基礎(chǔ)理論是插值理論，采用近似方法將偏微分方程轉(zhuǎn)換成積分方程，然后用質(zhì)點(diǎn)近似方法將連續(xù)形式的積分方程轉(zhuǎn)換成離散形式的方程。

SPH法滿足CFL條件，但具有張力不穩(wěn)定的缺點(diǎn)。美國(guó)Sandia國(guó)家實(shí)驗(yàn)室[4］提出了在SPH法中出現(xiàn)的張力不穩(wěn)定性的解決方案。另外，Dyka等提出了一種解決SPH法張力不穩(wěn)定性的方法，不僅消除了張力不穩(wěn)定性，還保證了計(jì)算的精確性。Swegle等提出了保守光滑方法來解決SPH法的張力不穩(wěn)定性問題。

SPH法中對(duì)邊界條件的處理是一個(gè)難點(diǎn)又是容易被忽略的問題。在早期的流體動(dòng)力學(xué)中應(yīng)用SPH法不需要處理邊界條件或僅需作簡(jiǎn)單的處理，但在廣義的邊界條件下，則會(huì)在邊界上出現(xiàn)密度的不連續(xù)現(xiàn)象。因此改進(jìn)廣義邊界條件下的SPH法，使其具有更好的適應(yīng)性是很必要的。

2.2 無網(wǎng)格Galerkin法(EFG法)

EFG法是典型的基于積分弱式的無網(wǎng)格法，一般應(yīng)用Galerkin方法獲得離散方程，通過對(duì)原控制方程的弱形式實(shí)施Galerkin過程，然后應(yīng)用無網(wǎng)格形狀函數(shù)進(jìn)行離散[2］。

EFG法只需節(jié)點(diǎn)信息而不需劃分單元，其節(jié)點(diǎn)可以隨機(jī)分布，且與積分網(wǎng)格無關(guān)。該方法采用移動(dòng)最小二乘函數(shù)近似試函數(shù)，這與伽遼金有限元法中常用的插值函數(shù)不同。它的基本思想是在變量域上用一些離散點(diǎn)的函數(shù)值并采用移動(dòng)最小二乘法來擬合場(chǎng)函數(shù)，從而擺脫了單元的限制。

EFG法解決場(chǎng)問題的一般步驟如下[5］:1)根據(jù)具體問題的平衡方程，利用變分原理得到EFG法整體平衡方程，利用最小二乘擬合可以將場(chǎng)函數(shù)表示成節(jié)點(diǎn)未知量和形函數(shù)的關(guān)系式，這樣場(chǎng)函數(shù)對(duì)坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)就可以表示成形函數(shù)對(duì)坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)，積分式采用高斯積分法計(jì)算。2)在整個(gè)區(qū)域布置節(jié)點(diǎn)，并劃分積分子域，根據(jù)節(jié)點(diǎn)疏密確定影響半徑。3)在所有高斯點(diǎn)上循環(huán)集成整體平衡方程組，并求解。

2.3 再生核質(zhì)點(diǎn)法(RKPM法)

RKPM法是在SPH法的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的。它是Liu針對(duì)SPH法的穩(wěn)定性的不足，通過對(duì)SPH法核函數(shù)乘以一項(xiàng)修正函數(shù)以滿足邊界上的相容性條件后，首次提出的[6］。引入了修正函數(shù)和具有緊支撐的光滑連續(xù)核函數(shù)并借鑒小波分析中多尺度分析技術(shù)，使得RKPM法完全消除了SPH法中的不穩(wěn)定性，并且具有了很多優(yōu)點(diǎn)。

RKPM方法離散方程的獲得一般是用Galerkin方法，具體實(shí)現(xiàn)過程和普通有限元方法并無區(qū)別。Aluru等用配點(diǎn)法來得到RKPM方法的離散方程，配點(diǎn)法的實(shí)現(xiàn)過程非常簡(jiǎn)單，但其穩(wěn)定性和收斂速度有待于進(jìn)一步的研究。

和其他無網(wǎng)格方法一樣，RKPM法數(shù)值實(shí)現(xiàn)中的一個(gè)難點(diǎn)是本質(zhì)邊界條件的處理。由于RKPM法的形函數(shù)并不是插值函數(shù)，所以它們并不滿足Kronecker delta條件，導(dǎo)致邊界上質(zhì)點(diǎn)處的近似值是區(qū)域內(nèi)部和邊界上質(zhì)點(diǎn)值的線性組合，所以本質(zhì)邊界條件的處理要比有限元法復(fù)雜。RKPM法處理本質(zhì)邊界條件的方法主要有:Lagrangian乘子法，約束質(zhì)點(diǎn)位移消除法，修正的變分原理法，坐標(biāo)變化法，引入在邊界處為零的核函數(shù)或修正函數(shù)，以及基于達(dá)朗伯原理的方法。

和其他無網(wǎng)格方法一樣，目前尚沒有一種處理RKPM方法本質(zhì)邊界條件非常簡(jiǎn)單而完美的方法。

3 以上三種無網(wǎng)格法的應(yīng)用

3.1 SPH 法

這種方法最初在天體物理學(xué)領(lǐng)域中用來模擬三維無界空間中天體的演化。如今，SPH法在計(jì)算流體力學(xué)和計(jì)算固體力學(xué)也有廣泛運(yùn)用，例如Monaghan將SPH法用于自由面水波的模擬，Edmond和Shao Songdong用SPH法結(jié)合大渦模型模擬近岸孤立波的爬升，Libersky將SPH法應(yīng)用于爆炸問題模擬，Swegle和Attaway使用SPH法進(jìn)行水下爆炸模擬研究，Liu把SPH法應(yīng)用于模擬水的沖擊減震方面的研究。除了在流體力學(xué)中的應(yīng)用外，SPH法還在人為粘性和熱傳導(dǎo)中有比較多的應(yīng)用。

3.2 EFG 法

EFG法的主要用處在于求解邊值問題的數(shù)值解，如固體力學(xué)、計(jì)算流體力學(xué)、熱力學(xué)、聲學(xué)、電磁學(xué)等。目前，EFG法在固體力學(xué)應(yīng)用較多[8］，主要有以下幾個(gè)方面:

1)斷裂力學(xué):EFG法對(duì)局部高梯度應(yīng)力分布良好的表現(xiàn)能力和它不需要單元網(wǎng)格的特點(diǎn)，使它很適合用于斷裂力學(xué)的計(jì)算并跟蹤裂紋的擴(kuò)展。

2)巖土工程:巖土工程的復(fù)雜性在于其材料的高度非均勻性和離散性，裂隙、節(jié)理及成層結(jié)構(gòu)的存在，通常的數(shù)值分析工具往往無法很好地反映實(shí)際情況。EFG法在這個(gè)方面的應(yīng)用則較好的解決了這類問題。

3)板、殼分析:EFG法本身所具有的、能自然求得高次連續(xù)解答的優(yōu)良性能，使得它很適合用于板、殼結(jié)構(gòu)的分析。

4)新材料的性能分析和模擬:對(duì)于不能以彈性模量、泊松比等參數(shù)來簡(jiǎn)單衡量力學(xué)性能的新型材料而言，對(duì)這些材料性能的模擬就顯得相對(duì)復(fù)雜。利用EFG方法求解，可通過賦予積分網(wǎng)格中積分點(diǎn)不同的材料參數(shù)來模擬材料特性的非均勻分布。

此外，EFG法在梁的振動(dòng)分析、隨機(jī)力學(xué)分析和可靠度分析、地下水流分析、非破壞評(píng)價(jià)、求解河道水流動(dòng)力等方面也有廣泛的應(yīng)用。

3.3 RKPM 法

RKPM法作為一種有潛力的無網(wǎng)格方法，逐漸引起人們的關(guān)注，越來越多的關(guān)于RKPM法的研究也在不斷地進(jìn)行。

Liu和Chen等[9］用RKPM法對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)和聲學(xué)問題進(jìn)行了研究。計(jì)算了波動(dòng)方程和梁的橫向振動(dòng)方程，將RKPM法計(jì)算結(jié)果和解析解進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證了不同膨脹參數(shù)對(duì)RKPM法計(jì)算結(jié)果的影響。RKPM法在大變形分析領(lǐng)域取得的成果很引人注目。Chen等用RKPM方法對(duì)金屬成型大變形過程進(jìn)行了模擬。采用基于Lagrangian的再生核函數(shù)近似，對(duì)金屬薄片沖壓成型過程及冷鐓粗過程進(jìn)行了數(shù)值模擬。Chen等用配點(diǎn)法離散接觸約束的邊界積分方程，提出了處理本質(zhì)邊界的一系列方法。

除此之外，RKPM法在固體力學(xué)，微電機(jī)系統(tǒng)的力學(xué)分析以及在空氣動(dòng)力學(xué)中對(duì)某些計(jì)算模型進(jìn)行了計(jì)算[10］，得到了比較好的計(jì)算結(jié)果。

4 結(jié)語(yǔ)

無網(wǎng)格法應(yīng)用范圍廣泛，雖然發(fā)展歷史不長(zhǎng)，只有短短二三十年。但是在傳統(tǒng)的計(jì)算力學(xué)領(lǐng)域，解決特殊問題，如大變形問題、裂紋擴(kuò)展問題等，以及一些新興的工程科學(xué)領(lǐng)域，如生命科學(xué)、納米技術(shù)等，無網(wǎng)格法所表現(xiàn)出的優(yōu)勢(shì)越來越明顯。雖然它在理論基礎(chǔ)及嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明上還有不足，但是隨著無網(wǎng)格法研究的進(jìn)一步發(fā)展和深入，這些問題的解決應(yīng)該只是時(shí)間的問題了。

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