泥沙顆粒相對隱蔽度在散體沙起動研究中的應用

孟 震，楊文俊

（長江科學院水利部江湖治理與防洪重點實驗室，武漢 430010）

泥沙顆粒相對隱蔽度在散體沙起動研究中的應用

孟 震，楊文俊

（長江科學院水利部江湖治理與防洪重點實驗室，武漢 430010）

運用泥沙隱蔽度的研究成果，結合泥沙起動的滾動模型，導出了以隱蔽度為參數的泥沙近底作用起動流速公式。通過對該式分別進行的極限分析和單調性分析，論述了散體沙起動的幾個物理現象，論證了寬級配非均勻沙的起動特性。經過對泥沙顆粒隱蔽度分布特性及泥沙起動標準的分析，建立了泥沙顆粒隱蔽度與無因次起動切應力之間的數值關系。最后借鑒前人的研究成果，驗證了本文公式的適用性。

隱蔽度；起動；極限；單調性；起動條件

1 概 述

泥沙起動研究已有200多年的歷史，研究前期主要針對散體均勻沙，如較著名的“六次方定律”和Shields無因次臨界拖拽力［1］等。這一時期對泥沙起動的處理方法一般分為3個步驟：①把泥沙顆粒概化為球體，忽略粒間作用力和粘結力；②通過對泥沙顆粒受力分析，建立滾動起動、滑動起動或跳躍起動方程，并推求泥沙近底作用起動流速；③采取某一水流流速分布來建立近底作用流速與垂線平均流速的關系，或者把近底作用流速轉化成無因次臨界起動切應力。

散體均勻沙的起動研究總體上還是比較成熟的，但是對散體非均勻沙的起動研究仍存在很多困難，至今起動公式仍沒有統(tǒng)一的形式。一般來講，散體非均勻沙起動的研究方法主要體現在4個方面［2］：①取寬級配非均勻沙中某一級配泥沙做代表，直接代入散體均勻沙的起動（流速、切應力、功率等，下同）公式；②引入一個附加力（阻力、動力及質量力），建立泥沙起動平衡方程，推求出具有一定物理意義的起動公式（秦榮昱、張啟衛(wèi)等）；③通過研究顆粒的絕對暴露度，建立被“增大”或“減小”后的等效粒徑，并代入起動平衡方程推求泥沙起動公式（劉興年等）；④研究顆粒的相對暴露度，分析泥沙顆粒的起動力臂和阻力臂，進而推求出以相對暴露度為參數的起動公式（韓其為等）。從上述中間的2種研究方法中，我們不難得到寬級配非均勻沙的起動特性：粗顆粒較之同粒徑的均勻沙易于起動，細顆粒較之同粒徑的均勻沙難于起動，中等粒徑泥沙顆粒與同粒徑的均勻沙起動條件相當［1，2］。

本文擬從3個方面來研究泥沙顆粒相對隱蔽度在散體沙起動中的應用：①借鑒韓其為的研究思想，建立以相對隱蔽度為參數的散體沙近底作用起動流速公式；②結合非均勻沙顆粒相對隱蔽度的研究成果，數學上論證寬級配非均勻散體沙的起動特性；③分析起動標準及相對隱蔽度分布特性，數值上建立散體沙起動臨界切應力與相對隱蔽度在不同起動標準下的對應關系。以下所述隱蔽度若無特殊說明均表示泥沙顆粒相對隱蔽度。

2 泥沙顆粒隱蔽度

如圖1所示，參考前人的研究方法［2］，將顆粒概化為二維“圓餅”狀。泥沙顆粒隱蔽度為床面上所研究表層泥沙顆粒的最低點到與下游顆粒接觸點之間沿床面的垂向距離（隱蔽長度）與所研究顆粒粒徑的比值，記為η。并定義1－η為泥沙顆粒的暴露度，記為ξ。研究表明［3］：對于均勻沙來講，統(tǒng)計意義上隱蔽度的取值區(qū)間為［0.067，0.5］；對于非均勻沙講，任意級配粒徑顆粒隱蔽度的期望的計算式為

圖1 泥沙顆粒暴露度、隱蔽度示意圖Fig.1 Exposure and hidden degree of sediment

式中：ηi，j為顆粒Di在顆粒Dj影響的綜合隱蔽度；Pi，j為對應組合的概率；Ni為顆粒Di在表層床沙中的粒數。

3 泥沙起動公式

3.1 泥沙顆粒水下受力及力矩分析

泥沙起動流速（切應力）是一個瞬時量，所研究的泥沙顆粒是表層床沙，也就是說所建立的泥沙起動公式僅僅適合“第一層”床沙。對于床面表層的散體沙，可以忽略粒間作用力和粘結力。水下泥沙顆粒所受力一般為水流拖拽力、水流升力（脈動上舉力）、水下重力。若忽略滲流梯度力的影響，可把泥沙受力、泥沙起動力矩和阻力矩的相關表達式列成表1。

表1 泥沙顆粒水下受力及力矩表達式Table 1 Equations for the force and moment of underwater sediment particles

3.2 近底作用起動流速

如圖2所示，根據表1中的表達式，我們可以建立粒徑為Di的泥沙顆粒滾動起動模型的力矩平衡方程Md＝Mf，即

其中，ξi＋ηi＝1，可以解得

圖2 泥沙顆粒水下受力圖Fig.2 Forces of underwater sediment particles

3.3 水流推力力臂系數

理論上講，可以從2個角度來解決該系數的取值問題：①經驗計算，即借鑒韓其為對特征高度的經驗取值，等價于本文利用的水流推力有效力臂，可以求出該系數；②數值計算，即利用微積分計算出泥沙顆粒所受的水流力矩及推力，二者的比值為水流推力的有效力臂。

3.3.1 經驗計算

根據韓其為的研究思想，假定水流推力作用點距球心上方1／6直徑處，這樣就得到

解得kξ＝1－1／3（1－η）。代入均勻沙隱蔽度的期望0.283 5［3］，這樣得到均勻沙水流推力力臂修正系數kξ＝0.534 8。

3.3.2 數值計算

對于推移質泥沙顆粒來講，河床上泥沙顆粒起動后，仍將“下落”（滾落、滑落、沉落）到河床的“凹槽”處，等待下次起動。當所研究顆粒與下游顆粒發(fā)生碰撞（或向下游顆粒翻越）時，可以忽略下游顆粒對其隱蔽性的影響，該模型可近似概化為光滑平板上單顆粒起動（見圖3）。當所研究顆粒“下落”到下游“凹槽”處時，下次起動時，要考慮下游顆粒對其隱蔽作用的影響（見圖4）。于是要分2種情況來研究水流推力力臂系數：

圖3 碰撞力作用下的水流推力力臂系數計算圖解Fig.3 Calculation of arm-of-force coefficient by flow thrust under collision force

圖4 床面形態(tài)影響下的水流推力力臂系數計算圖解Fig.4 Calculation of arm-of-force coefficient by flow thrust under the effect of the bed form

（1）不受床面形態(tài)影響下的單顆粒起動。該模型考慮了顆粒間碰撞力的作用，此時可以忽略下游顆粒的影響，該模型可概化為光滑平板上單顆粒起動。根據對泥沙顆粒的“面積元”進行積分來求解其力矩及受力可得

這里的流速采用指數型流速分布公式，指數m取6［2］，可以計算出kξ≈0.550。

（2）受床面形態(tài)影響下的單顆粒起動。該模型考慮了顆粒間隱蔽度的作用，忽略水流在泥沙隱蔽長度范圍內水流速度（孔隙流）的影響，同理可以計算出水流推力力臂系數，

代入均勻沙隱蔽度的期望0.283 5［3］及流速分布指數m＝6，可以計算出kξ＝0.509 1。耦合上述2種模型，可取泥沙顆粒水流推力力臂系數為式（5）與式（6）的平均值0.530。可以發(fā)現這2個角度得出的結論是基本一致的。當推力力臂系數越大泥沙越容易起動，為提高泥沙起動條件的預測精度，可以確定水流推力力臂系數為0.530。對于寬級配非均勻沙來講，由于任意級配顆粒的隱蔽度受床沙級配特性的影響［3］，無法在數值上構建出任意級配粒徑顆粒的水流推力力臂修正系數。但可以定性分析：由于較大顆粒的隱蔽度期望較小，依照上述計算方法，對應的水流推力力臂系數要略大于0.53；小顆粒對應的水流推力力臂系數要略小于0.53。為統(tǒng)一研究寬級配非均勻沙的分級起動，可假定寬級配非均勻沙水流推力力臂系數的平均值與均勻沙水流推力系數相等。

4 起動公式分析

研究泥沙隱蔽度的目的是為更好地解決泥沙起動流問題，以往人們對泥沙顆粒隱蔽度的分析都是在統(tǒng)計意義上進行的，即泥沙顆粒隱蔽度要小于0.5。事實上，床面泥沙確實存在一些極端情況，在分析文中所推求的泥沙顆粒近底作用起動流速公式之前，首先給出3點說明：

（1）統(tǒng)計意義上來講，泥沙起動為泥沙輸移初始階段，河床泥沙在水流的作用下自動組織成穩(wěn)定的穩(wěn)定的床面，即表層泥沙趨向于起動，“次表層”泥沙處于穩(wěn)定狀態(tài)（瞬時意義）。

（2）對于散體非均勻沙來講，大部分表層泥沙顆粒的隱蔽度都不大于0.5。當某個顆粒的隱蔽度趨近于零時，則稱該顆粒處于“完全暴露”狀態(tài)（見圖5（a））。而對于極個別的表層沙顆粒來講，顆粒隱蔽度也有可能大于0.5，此時水流升力（脈動上舉力）起主要作用，該泥沙仍可以跳躍起動，則稱該顆粒處于“偽完全隱蔽”狀態(tài)（見圖5（b））。由于泥沙顆粒以這種起動（非輸移）形式的概率很小（約占3%）［4］，在研究泥沙顆粒隱蔽度時，往往忽略瞬時“偽完全隱蔽”狀態(tài)的影響。當上游顆粒在所研究顆粒起動之前“下落”（包括沉落、滑落和滾落）到該顆粒上游的“空隙”處（見圖5（b））時，該顆粒則會因為被上下游2個顆?！翱ㄗ　倍荒芩矔r起動，則稱該顆粒處于“完全隱蔽”狀態(tài)（見圖5（c））。由于此狀態(tài)下“粒間作用力”不能忽略，所建立的平衡方程（2）不成立。為修正該方程，在此給出2個假定：其一，由于水流推力力矩作用不大，我們約定此時所研究顆粒隱蔽度趨于1（暴露度長度趨于零，則水流推力力臂近似為零）；其二，把“粒間作用力”N一部分與水流升力（脈動上舉力）抵消，也即方程（2）中的上舉力系數趨近于零，另一部分附加到顆粒自身水下重力上，用顆粒體積系數α′修正。由于“粒間作用力”N大大增加了泥沙顆粒起動的阻力矩，使得該顆粒成為真正的不能瞬時起動的“次表層”泥沙。事實上，王興奎［4］（1993）通過對顆粒臨界起動脈動分析，提出脈動上舉力不僅要大于顆粒水下重力，還要持續(xù)一段時間ΔT，泥沙顆粒才能起動。由于“空隙”的存在，假定上游顆粒趨向于會在Δt時間內“下落”（包括沉落、滑落和滾落）“空隙”處，泥沙顆粒隱蔽度在大于0.5時是否仍能起動，取決于Δt與ΔT的大小關系：若上游顆?！跋侣洹睍r間Δt小于水流脈動上舉力持續(xù)時間ΔT，該顆粒在起動前會被上下游2個顆粒“卡住”，即該顆粒處于“完全隱蔽”狀態(tài)；否則當“下落”時間Δt大于水流脈動上舉力持續(xù)時間ΔT時，這說明在上游顆粒“下落”之前，該顆粒早已被水流脈動上舉力揚起向下游運動。

圖5 非均勻沙顆粒的3種特殊狀態(tài)示意圖Fig.5 Three special states of non-uniform sediment particles

（3）對于散體均勻沙來講，由于顆粒間一般不會形成足夠大的“空隙”，無論是在理論意義還是現實意義上，床面表層泥沙的隱蔽度都不會大于0.5，也就是說：均勻沙顆粒理論上不存在處于“偽完全隱蔽”狀態(tài)，其主要以滾動起動形式為主，泥沙起動平衡方程（2）完全適合床面表層的任何散體均勻沙顆粒。從動態(tài)角度上講，某些均勻沙顆粒可以存在處于“完全暴露”狀態(tài)（發(fā)生碰撞或翻越下游顆粒時）。

4.1 極限分析

本文已經推求出了泥沙近底作用起動流速公式（考慮函數的連續(xù)性，去掉了下標i）：

式中，CD，CL，αD，αL，α，kξ為對應的一些常數。

下面分3種情況對式（7）進行極限分析。

4.1.1 “完全暴露”

如圖6所示，由于此時所研究顆粒的隱蔽度趨于零，不難計算出這說明當某個顆粒處于“完全暴露”狀態(tài)時，微小的流速的水流都可以使該泥沙顆粒起動。也就是說：泥沙輸移初始階段之前，極個別“完全暴露”泥沙顆粒會通過微動滾落到“低凹”處（具有一定的隱蔽度）來自動組織成較穩(wěn)定的床面。這表明把泥沙顆粒的“極個別動”作為泥沙起動標準并不合適。

圖6 泥沙顆粒“完全暴露”狀態(tài)示意圖Fig.6 “Com pletely exposed”state of sediment particles

4.1.2 “極限跳躍”

以“偽完全隱蔽”狀態(tài)的極端“極限跳躍”為例（完全不考慮水流推力力矩的作用），如圖7所示，個別表層泥沙顆粒的隱蔽度趨近1時，水流推力不能有效地促使該顆粒向下游轉動，但是由于上游顆粒并不能給予該顆粒有效的“壓力”，水流升力（脈動上舉力）仍能促使該顆粒以跳躍方式起動［4］，此時上舉力系數為某一常數。若把隱蔽度趨于1代入式（7）可以得到

式（9）也就是被廣泛采用的泥沙躍移起動流速公式?？梢园l(fā)現：該式的適用范圍是處于“偽完全隱蔽”狀態(tài)的泥沙顆粒（忽略了水流推力作用的極端情況），并且式（9）的躍移起動流速較之式（7）的滾動起動流速為大。事實上，這與Choi（2000）的試驗結論［4］（滾動起動的拖拽力最小，跳躍起動的拖拽力最大）也是一致的。但是泥沙顆粒以這種形式起動的概率很?。ǔ浞治闪鲄^(qū)，約占3%）［4］。

圖7 泥沙顆粒“偽完全隱蔽”狀態(tài)示意圖Fig.7 “Pseudo com p letely hidden”state of sediment particles

4.1.3 “完全隱蔽”

如圖8所示（η＝1），受“粒間作用力”N的影響，認為上舉力系數CL趨近與零。把此時的隱蔽度和上舉力系數代入式（7）得到

這說明“次表層”泥沙顆粒不會起動（除非在某一時刻能成為表層泥沙顆粒）。參考M.S.Yalin的觀點（在相鄰顆粒沒有他移以前，該顆粒不可能進入運動狀態(tài)［1］），可認為“完全隱蔽”的泥沙顆粒處于“自鎖”狀態(tài)。

圖8 泥沙顆?！巴耆[蔽”狀態(tài)示意圖Fig.8 “Completely hidden”state of sediment particles

綜上所述，我們可以得到一個論點：所研究泥沙顆粒在不同時間不同地點的隱蔽度變化可以直接影響該泥沙顆粒的運動狀態(tài)，這也就能很好地解釋床面上某些顆粒在不同情況下為何出現“容易移動”、“難以起動”和“走走停停”的現象。

4.2 單調性分析

根據泥沙起動流速的物理意義，可以認為u2b是一個關于隱蔽度的單值函數，對η求導數后得

5 散體均勻沙起動切應力

褚君達對國內外散體均勻沙起動條件的研究進行了匯總，為了方便與其他學者的研究成果進行比較，他取近底流速的特征高度為泥沙顆粒粒徑，即認為近底作用流速與摩阻流速的轉化關系為［5］ub＝8.5u*。若把該式代入式（7）可得

把CD＝0.4，CL＝0.1，kξ＝0.53，αD＝π／4，α＝π／6代入式（12）得起動切應力為

文獻［3］已分析出均勻沙隱蔽度的取值區(qū)間為［0.067，0.5］。對于床面上的散體沙來講，總有某些顆粒的隱蔽度很小，略大于0.067；也總存在某些顆粒的隱蔽度很大，略小于0.5；也有一些顆粒隱蔽度介于期望0.283 5左右。把泥沙顆粒隱蔽度從0.067到0.5變化代入式（13），可以得到無因次起動切應力（shields數），即

這也說明：對于泥沙顆粒隱蔽度不同的取值，可以得到對應的泥沙起動條件。該區(qū)間基本涵蓋了褚君達對眾多學者的統(tǒng)計值［5］，與錢寧的統(tǒng)計區(qū)間［0.03～0.06］也是一致的［1］。由于泥沙顆粒在不同的情況下完全有可能呈現出不同的隱蔽度，也就對應不同的起動條件，因此眾多學者的研究成果都具有一定的合理性。

另外，根據克雷默（H.Kramer）對泥沙起動的判別標準［6］：①弱動—床面上這里或那里有屈指可數的細顆粒處于運動狀態(tài)；②中動—床面上有中等大小顆粒在運動，運動強度已無法計數；③普動—各種大小的顆粒已投入運動，并持續(xù)地普及床面各處。

床面上表層泥沙在沖刷前都被各自的“次表層”泥沙“支撐”，表層顆粒間互不影響，此時表層顆粒的隱蔽度較小，甚至某些顆粒的隱蔽度較小，很容易在較小水流作用下起動；隨著水流強度的增大，表層泥沙顆粒會發(fā)生相互擠壓與碰撞，顆粒自動組織成相對穩(wěn)定的床面，此時顆粒的隱蔽度則相應增大，對應的顆粒難變得以起動。筆者認為：

（1）當表層顆粒排列非常疏松時（沖刷前），η可取0.067，此時θc＝0.020 7，該值可以認為是泥沙“弱動”標準下的起動條件。

（2）當表層顆粒排列比較緊密時（沖刷中），η可取0.283 5，此時θc＝0.042 2，該值可以認為是泥沙“中動”標準下的起動條件。

（3）當表層顆粒排列非常密實時（粗化層），η可取0.500，此時θc＝0.059 1，該值可以認為是泥沙“普動”標準下的起動條件。

另外，對于非均勻沙來講，式（13）同樣適合研究散體非均勻沙起動。在研究分級起動時，大顆粒的隱蔽度較小，小顆粒的隱蔽度較大，中等顆粒隱蔽度居中，至于某一級配粒徑顆粒的起動條件，這還取決于該級配泥沙顆粒在整體床沙中所占的比重［3］。

6 結語與展望

（1）在前人研究的基礎上，從理論上建立了以隱蔽度（或“暴隱比”）為參數的散體起動流速的理論公式。通過對該式分別進行的極限分析和單調性分析，不僅論述了泥沙顆粒起動的幾個特殊現象，也從數學上論證了寬級配非均勻沙的起動特性。

（2）分析起動標準及相對隱蔽度分布特性，建立散體沙起動臨界切應力與相對隱蔽度在不同起動標準下的數值關系。同時也從泥沙顆粒相對隱蔽度的角度闡述了人們對泥沙起動條件認識不一的原因。

（3）兩個半世紀以來，國內外學者取得大量卓越的泥沙起動流速研究成果，但是仍存在一些微觀問題需要我們探索。例如，CD，αD，CL，αL，α，m等系數的準確取值，近底流速特征高度的準確取值，懸移質含沙量對推移質泥沙顆粒起動流速的影響，泥沙起動標準不統(tǒng)一等。

［1］ 錢 寧，萬兆惠.泥沙運動力學［M］.北京：科學出版社，1983：229－233.（QIAN Ning，WAN Zhao-hui.Dynamics of Sediment Movement［M］.Beijing：Science Press，1983：229－233.（in Chinese））

［2］ 韓其為，何明民.非均勻沙起動機理及起動流速［J］.長江科學院院報，1996，13（3）：12－17.（HAN Qi-wei，HEMing-min.IncipientMechanism and Incipient Velocity of Non-uniform Sediment［J］.Journal of Yangtze River Scientific Research Institute，1996，13（3）：12－17.（in Chinese））

［3］ 孟 震，楊文俊.基于二維泥沙顆粒的相對隱蔽度初步研究［J］.長江科學院院報，2011，（5）：1－4.（MENG Zhen，YANG Wen-jun.Preliminary Research on 2-D Hidden Degree of Sediment Particles［J］.Journal of Yangtze River Scientific Research Institute，2011，（5）：1－4.（in Chinese））

［4］ 王興奎，邵學軍，李丹勛.河流動力學基礎［M］.北京：清華大學出版社，2002：209－210.（WANG Xing-kui，SHAO Xue-jun，LIDan-xun.Fundamentals of River Dynamics［M］.Beijing：Tsinghua University Press，2002：209－210.（in Chinese））

［5］ 褚君達.無粘性泥沙的起動條件［J］.水科學進展，1993，4（1）：37－43.（CHU Jun-da.Conditions of Incipient Motion of Non-cohesive Sediments［J］.Advances in Water Science，1993，4（1）：37－43.（in Chinese））

［6］ 張瑞謹.河流泥沙動力學［M］.北京：中國水利水電出版社，1998：63－84.（ZHANG Rui-jin.River Sediment Dynamics［M］.Beijing：ChinaWater Power Press，1998：63－84.（in Chinese） ）

（編輯：周曉雁）

Hidden Degree Applied in the Research on Incipient M otion of Cohesionless Sediment Particles

MENG Zhen，YANGWen-jun
（Key Laboratory of Management of Rivers and Lakes＆Flood Control of Ministry ofWater Resources，Yangtze River Scientific Research Institute，Wuhan 430010，China）

Based on the results of sediment hidden degree research，an incipient velocity formula with hidden degree as its parameter was deduced in this paper using the rollingmodel of sediment incipientmotion.The formula was applied in limit analysis and monotonicity analysis to theoretically expound the physical phenomena of incipient motion and to demonstrate the starting characteristic of broadly graded non-uniform cohesionless sediment.The numerical relations between hidden degree and non-dimensional incipient shear stresswere established via the analysis on incipientmotion criterion and the characteristic of hidden degree distribution of cohesionless sediment particles.Finally，former research achievements are taken tomanifest the applicability of this incipient velocity formula.

hidden degree；incipientmotion；limit；monotonicity；incipientmotion conditions

TV142

A

1001－5485（2011）07－0001－06

2010-11-01

國家重點基礎研究發(fā)展計劃（973計劃）資助課題（2007CB7141O6）；國家自然科學基金資助項目（51079008）；湖北省自然科學基金（2010CDB00201）

孟 震（1985-），男，河南商丘人，碩士，從事水力學及河流動力學研究，（電話）13628676681（電子信箱）edison9981＠gmail.com。