二維Volterra積分方程Chebyshev譜配置解法及誤差分析

陳少軍，王奇生

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二維Volterra積分方程Chebyshev譜配置解法及誤差分析

陳少軍，王奇生

（五邑大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，廣東 江門 529020）

利用乘積型Chebyshev多項(xiàng)式的Gauss、Gauss-Radau、Gauss-Lobatto點(diǎn)作為配置點(diǎn)，給出了二維Volterra積分方程的譜配置求解方法，同時(shí)給出了誤差分析的結(jié)果.

二維Volterra積分方程；Chebyshev配置點(diǎn)；譜配置方法；誤差分析

計(jì)算機(jī)的迅猛發(fā)展和快速Fourier變換的出現(xiàn)，大大減少了譜方法的計(jì)算量. 譜方法最受青睞的優(yōu)越性在于它具有“無窮階”的收斂速度，近年來，Volterra積分方程的譜配置解法引起了人們的廣泛興趣，如文獻(xiàn)[1]給出了一類二維Volterra積分方程的數(shù)值試驗(yàn)，但沒有給出計(jì)算方法的格式; 文獻(xiàn)[2]給出了二維Volterra積分方程的Jacobi配置方程，但沒有給出誤差分析的結(jié)果; 文獻(xiàn)[3]給出了二維Volterra積分方程的Legendre譜方法及誤差估計(jì)的結(jié)果. 本文主要是研究二維Volterra積分方程的Chebyshev譜配置方法，并給出誤差分析的結(jié)果.

引入等價(jià)的半范數(shù)及離散內(nèi)積的定義

考慮下面的二維Volterra積分方程

1 Chebyshev譜配置方法

將配置點(diǎn)（2）代入方程（1）得到

引入變換

則方程（4）變換為

應(yīng)用Gauss求積公式得:

于是得到配置方程

把式（7）代入式（6）得到

2 誤差估計(jì)定理

其中

由引理1，得到

即定理成立.

下面給出二維Volterra積分方程Chebyshev譜配置解的誤差分析結(jié)果.

證明 因?yàn)?/p>

整理得

由引理2得到

結(jié)合式（4）、（5）、（12），得

整理得

因此

其中

則

因?yàn)?/p>

且

估計(jì)式（17）、（18）、（19），則

因此

定理得證.

[1]CHEN Yanping, TANG Tao. Spectral methods for weakly singular volterra integral equations with smooth solutions[J]. Journal of Computational and Applied Mathematics, 2009, 233(4): 938-950.

[2]TANG Tao, XU Xiang, CHENG Jin. On spectral methods for volterra integral equations and the convergence analysis[J]. Journal of Computational Mathematics, 2008, 26(6): 825-837.

[3]CHEN Shaojun, WANG Qisheng. Legendre spectral method and convergence analysis for two dimension volterra integral equation[C]// Proceedings of the Ninth International Conference on Matrix Theory and its Applications. Shanghai: World Academic Press, 2010, 3: 121-124.

[4]CANUTO C, HUSSAINI M Y, QUARTERONI A, et al. Spectral methods: fundamentals in single domains. New York: Spring-Verlag, 2006.

Chebyshev Spectral Collocation Method and Error Analysis for the Two-dimensional Volterra Integral Equation

CHENShao-jun, WANGQi-sheng

(School of Mathematics and Computational Science, Wuyi University, Jiangmen 529020, China)

In this paper, the Chebyshev spectral collocation method for two-dimensional Volterra integral equation is obtained by using the Gauss, Gauss-Radau and Gauss-Lobatto points of product-type Chebyshev polynomials as collocation points. The results of the error analysis are also given.

the two-dimensional Volterra integral equation; Chebyshev collocation points; spectral collocation method; error analysis

1006-7302（2011）02-0015-05

O175. 5

A

2010-10-18

廣東省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（104529001005845）

陳少軍（1982—）男，河南正陽人，碩士研究生，研究方向?yàn)槲⒎e分方程數(shù)值解法；王奇生，教授，博士，碩士生導(dǎo)師，通信作者，研究方向?yàn)槲⒎e分方程數(shù)值解法.