對(duì)數(shù)能量熵的最優(yōu)小波包基搜尋算法

李姣軍，唐 娜，蘇理云，徐 勤

(重慶理工大學(xué) a.電子信息與自動(dòng)化學(xué)院;b.數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，重慶 400054)

近年來(lái)，小波包得到了快速發(fā)展，被越來(lái)越多地應(yīng)用到通信及其他領(lǐng)域中［1－8］。由于小波包有多種分解結(jié)構(gòu)，其中會(huì)有一種分解結(jié)構(gòu)可以最好地表達(dá)被分析的原始信號(hào)，這種分解結(jié)構(gòu)就是最優(yōu)的小波包基，所以很多人把研究方向投入到最優(yōu)小波包基的搜尋算法。目前所使用的最優(yōu)小波包基選取算法大致可歸為2類:一類是Volkan Kumbasar等［9－10］所提出的 Brute Force Algorithm(BFA)算法;另一類是1992年 Wickerhauser與Coifman［11－12］提出的基于熵值的 Best Basis Selection(BBS)算法。BFA算法的基本過(guò)程是列舉所有可能的二叉樹(shù)結(jié)構(gòu)，對(duì)其中滿足完全重構(gòu)條件的二叉樹(shù)結(jié)構(gòu)進(jìn)行對(duì)比，選取其中度量函數(shù)最小的一組結(jié)構(gòu)作為最優(yōu)基。BBS算法則是采用對(duì)完整小波包二叉樹(shù)結(jié)構(gòu)進(jìn)行自下而上的“靜態(tài)修剪”方法選擇最優(yōu)基，算法簡(jiǎn)單且高效［13］。BFA算法適用性要優(yōu)于BBS算法，但計(jì)算復(fù)雜度高于BBS，實(shí)用性不強(qiáng)。本文在BBS基礎(chǔ)上，選擇對(duì)數(shù)能量函數(shù)作為熵，進(jìn)行最優(yōu)小波包基的搜尋。

1 小波包介紹

小波包變換是小波變換的延伸，小波變換僅對(duì)信號(hào)的低頻部分進(jìn)行分解，而小波包變換則是對(duì)信號(hào)進(jìn)行低頻分解的同時(shí)也要對(duì)高頻部分進(jìn)行分解。因此與小波變換相比，小波包變換為信號(hào)頻帶分析提供一種更精確的方法。對(duì)比小波分解，小波包分解的優(yōu)勢(shì)主要表現(xiàn)在3個(gè)方面［14］:

1)可以對(duì)頻帶進(jìn)行多層次劃分;

2)小波包不僅對(duì)輪廓(低頻)進(jìn)行分解，還對(duì)多分辨分析沒(méi)有細(xì)分的細(xì)節(jié)(高頻)部分進(jìn)行進(jìn)一步的分解;

3)自適應(yīng)選擇頻帶，使其與信號(hào)頻譜相互匹配，提高了時(shí)頻分辨率。

由于小波包較小波體現(xiàn)了更多的優(yōu)勢(shì)，因此，目前對(duì)小波變換的研究和應(yīng)用較為廣泛。小波包的定義:

由

所定義的函數(shù) φn(n=2l或2l+1，l=0，1，…)為關(guān)于正交尺度函數(shù)Φ(t)的小波包。這里:φ0(t)=Φ(t)稱為尺度函數(shù);φ1(t)=φ(t)稱為為小波函數(shù);h0k和h1k分別為尺度函數(shù)和小波函數(shù)對(duì)應(yīng)的低通濾波器系數(shù)。

小波包有多種形式的分解，不同的小波包分解結(jié)構(gòu)具有不同的性質(zhì)，且反映不同的信號(hào)特征。眾多的分解結(jié)構(gòu)構(gòu)成小波包基庫(kù)，每一種小波包基都能夠完整地保存信號(hào)的全部能量，并可以對(duì)原始信號(hào)進(jìn)行重構(gòu)，因此在對(duì)待分析信號(hào)進(jìn)行小波包分解時(shí)，希望根據(jù)不同的信號(hào)特征在小波包基庫(kù)中選擇一個(gè)最好的小波包基來(lái)表達(dá)信號(hào)的特點(diǎn)。對(duì)信號(hào)f(t)進(jìn)行小波包分解時(shí)，是將信號(hào)投影到小波包基上，從而獲得一系列系數(shù)，并用這一系列的系數(shù)來(lái)刻畫(huà)f(t)的特征。如果這一系列系數(shù)之間值的差距越大并且只有少數(shù)系數(shù)很大，則越好，因?yàn)榭梢杂眠@些少數(shù)大的系數(shù)代表f(t)的特征，顯然這樣的小波包基則是所要尋找的較優(yōu)的基;但如果這一系列系數(shù)值的差別并不大，也就是刻畫(huà)信號(hào)的系數(shù)攜帶的信息差不多，則能量集中性差，會(huì)使權(quán)重接近而難以取舍，那么很難找出f(t)的特征，因此與之對(duì)應(yīng)的基就不是最優(yōu)基。下面提出一種最優(yōu)小波包基的搜索算法，并應(yīng)用到多載波通信系統(tǒng)中。

2 最優(yōu)基算法

2.1 最優(yōu)基的選擇

從小波包基庫(kù)中任意選取1個(gè)小波包基均能在不同程度上反映待分析信號(hào)的特性，只是每個(gè)小波包基反映信號(hào)所用的數(shù)據(jù)量不同，最優(yōu)小波包基應(yīng)該是用盡可能少的數(shù)據(jù)來(lái)反映盡可能多的信息。對(duì)某一特定信號(hào)而言，選擇一個(gè)“最優(yōu)度量準(zhǔn)則”下性質(zhì)好的最優(yōu)基進(jìn)行分解，則可以使展開(kāi)的系數(shù)之間存在明顯差異，這樣便可以較好地刻畫(huà)信號(hào)特征。對(duì)于如何選擇最優(yōu)基，通常是要定義一個(gè)信息花費(fèi)代價(jià)函數(shù)，對(duì)于一個(gè)給定的向量來(lái)說(shuō)，代價(jià)越小表示越有效。然后在小波包庫(kù)中尋找一個(gè)使代價(jià)函數(shù)最小的基，那么此基便是最優(yōu)基。其中最關(guān)鍵部分就是信息花費(fèi)代價(jià)函數(shù)。代價(jià)函數(shù)的定義有很多種，選取原則也較為寬泛，任何關(guān)于序列的實(shí)函數(shù)、能測(cè)得集中度的可加性函數(shù)均可作為代價(jià)函數(shù)。通常作為最優(yōu)小波包基搜索的代價(jià)函數(shù)有門(mén)閥函數(shù)和熵，其中以熵應(yīng)用最為普遍，且大部分的文獻(xiàn)是應(yīng)用香農(nóng)(shannon)熵。但是熵也包括很多種類，比如 lp范數(shù)熵、SURE熵、對(duì)數(shù)能量熵等，而本文則選用對(duì)數(shù)能量熵作為代價(jià)函數(shù)，打破一直以來(lái)應(yīng)用shannon的慣例。對(duì)數(shù)能量熵的定義為［15］

其中:s是待分析原始信號(hào);si是在正交基上的投影系數(shù)，同時(shí)滿足E(0 )=0，且，即熵E是遞增的價(jià)值函數(shù)。熵值直接反映了它所處狀態(tài)的均勻程度:熵值越小，它所處的狀態(tài)越是有序，越不均勻;系統(tǒng)的熵值越大，它所處的狀態(tài)越是無(wú)序，越均勻。本研究希望用小波包對(duì)待分析信號(hào)分解時(shí)的系數(shù)之間的差異明顯，即不均勻性，這樣易舍棄非關(guān)鍵信息，用較少數(shù)的數(shù)據(jù)反映盡可能多的信息。最優(yōu)基的選擇能使分解系數(shù)間彼此有較大差異而信息損失又較少。

2.2 最優(yōu)基的快速搜索

假設(shè)小波包樹(shù)是一個(gè)N層分解的二叉樹(shù)，則整個(gè)搜索過(guò)程是對(duì)小波包二叉樹(shù)結(jié)構(gòu)進(jìn)行由下而上的“靜態(tài)修剪”，計(jì)算每個(gè)節(jié)點(diǎn)處的信息花費(fèi)代價(jià)函數(shù)即對(duì)數(shù)能量熵，并從底層開(kāi)始逐級(jí)向上比較父節(jié)點(diǎn)與子節(jié)點(diǎn)的信息花費(fèi)代價(jià)函數(shù)的大小。若父節(jié)點(diǎn)比子節(jié)點(diǎn)之和的對(duì)數(shù)能量熵小，則保留父節(jié)點(diǎn)的對(duì)數(shù)能量熵值，否則以子節(jié)點(diǎn)之和的對(duì)數(shù)能量熵值代替父節(jié)點(diǎn)，然后再同更上一層進(jìn)行上述比較，直至搜索到最頂層，此時(shí)的樹(shù)結(jié)構(gòu)便是最優(yōu)樹(shù)結(jié)構(gòu)，即最優(yōu)小波包基［16］。整個(gè)搜索過(guò)程如圖1所示。

2.3 算法實(shí)現(xiàn)舉例

應(yīng)用Matlab按照上述搜索方法對(duì)輸入的語(yǔ)音信號(hào)test進(jìn)行小波包分解，搜索最優(yōu)小波包基。此處以N=3為例。

圖2中各節(jié)點(diǎn)處所標(biāo)注的數(shù)字為各節(jié)點(diǎn)的對(duì)數(shù)能量熵值，即代價(jià)函數(shù)，如圖2(a)所示;然后自下向上搜索，計(jì)算末端節(jié)點(diǎn)熵值，與上一層父節(jié)點(diǎn)比較，標(biāo)記熵值最小的節(jié)點(diǎn)，如圖2(b)所示;最后按照標(biāo)記的輸出，得到最優(yōu)基。

圖1 最優(yōu)小波包基搜索流程

圖2 最優(yōu)小波包基搜索例圖

2.4 算法應(yīng)用

近幾年，在通信領(lǐng)域中小波包的應(yīng)用非常廣泛，尤其是在多載波調(diào)制系統(tǒng)中。由于小波包自身具有良好的尺度正交性和平移正交性，可以作為多載波調(diào)制系統(tǒng)中的子載波，來(lái)對(duì)抗子載波間干擾和符號(hào)間干擾。這種調(diào)制方式稱為基于小波包變換的正交多載波調(diào)制，簡(jiǎn)稱小波包調(diào)制。這種調(diào)制方式有多種方案［17］，其中以小波包分復(fù)用(wavelet packet division multiplexing，WPDM)技術(shù)最為突出。WPDM主要是將一串?dāng)?shù)據(jù)流經(jīng)串并變換后轉(zhuǎn)換成K路子數(shù)據(jù)，每一路子數(shù)據(jù)用小波包函數(shù)進(jìn)行調(diào)制。由于WPDM中應(yīng)用小波包函數(shù)調(diào)制子數(shù)據(jù)流，那么就涉及到最優(yōu)小波包基的選擇，將本文所講述的算法應(yīng)用到WPDM中，把搜索得到的最優(yōu)小波包基根據(jù)子載波分配算法分配給各子數(shù)據(jù)流進(jìn)行調(diào)制，這樣可以有效地提高頻譜利用率、實(shí)現(xiàn)頻帶利用最優(yōu)化，提高數(shù)據(jù)傳輸速率，進(jìn)一步提高通信系統(tǒng)性能。

3 結(jié)束語(yǔ)

本算法是在已成熟的BBS算法基礎(chǔ)上進(jìn)行創(chuàng)新，以對(duì)數(shù)能量熵代替香農(nóng)熵進(jìn)行最優(yōu)小波包基的搜尋，算法簡(jiǎn)單高效，實(shí)用性強(qiáng)，但仍具有一定的缺陷(如在未知分解層數(shù)即未知末端節(jié)點(diǎn)的情況下算法受到約束)，有待進(jìn)一步改進(jìn)和提高。本算法的一個(gè)應(yīng)用領(lǐng)域是多載波通信系統(tǒng)，但對(duì)于應(yīng)用小波包進(jìn)行圖形處理、故障診斷等諸多領(lǐng)域同樣適用。

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