有限個(gè)漸近非擴(kuò)張非自映像公共不動(dòng)點(diǎn)的逼近

戴 敏，向長(zhǎng)合

(重慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，重慶 400047)

不動(dòng)點(diǎn)理論是目前正在迅速發(fā)展的非線性泛函分析理論的重要組成部分，非擴(kuò)張映像既是不動(dòng)點(diǎn)理論中的一個(gè)重要內(nèi)容，又是Banach壓縮映像的一種自然推廣。1972年由Goebel和Kirk引入的漸近非擴(kuò)張映像是非擴(kuò)張映像的真推廣。本文在文獻(xiàn)［1］的啟發(fā)下引入具誤差的廣義N步非自映像迭代序列，討論了不同條件下有限個(gè)漸近非擴(kuò)張非自映像公共不動(dòng)點(diǎn)的逼近問(wèn)題，得到的結(jié)果是對(duì)文獻(xiàn)［1－6］的推廣。

1 預(yù)備知識(shí)

定義1［2］設(shè)K是Banach空間X的子集，映象F:K→K稱為漸近非擴(kuò)張映象，如果{k}是實(shí)數(shù)序列

i且滿足

定義2［3］設(shè)E是Banach空間，C是E的非空非擴(kuò)張收縮核，B:E→C是非擴(kuò)張保核收縮映像。設(shè)T是C到E的非自映像，稱T為漸近非擴(kuò)張非自映像，如果存在序列，滿足

定義3 2007年，文獻(xiàn)［1］研究了具誤差的廣義N步迭代序列 {xn}，定義為

并得到如下定理:

定理1［1］設(shè)E是滿足Opial條件的一致凸Banach空間，C是E的非空閉凸子集C是N個(gè)具有公共不動(dòng)點(diǎn)的漸近非擴(kuò)張映像，其公共漸進(jìn)系數(shù)kn滿足。若式(1)中出現(xiàn)的序列{βni}?[b，c]?(0，1)，i=1，2，…，N，則由式(1)定義的具誤差的廣義N步迭代序列{xn}弱收斂于T，T，…，T的某一公共不動(dòng)點(diǎn) x*∈C。

在定理1中，要求T1，T2，…，TN是C→C的自映像，若T1，T2，…，TN變?yōu)镃→E的非自映像，上述結(jié)論是否成立呢?本文將證明對(duì)如下定義給出的N步迭代序列，相應(yīng)結(jié)論仍然成立。

定義4 設(shè)C是Banach空間E的非空凸子集，T1，T2，…，TN是從C到E的映像，x1是C中給定的一點(diǎn)，則具誤差的廣義N步非自映像迭代序列 { xn}定義為

為得到不同條件下具誤差的廣義N步非自映像迭代序列分別弱收斂和強(qiáng)收斂于有限個(gè)漸近非擴(kuò)張非自映像公共不動(dòng)點(diǎn)，引入如下引理:

引理1［4］設(shè)是3個(gè)非負(fù)數(shù)列，滿足cn，n≥n0，其中 n0是某非負(fù)整數(shù)，則極限存在。

引理2［5］非自映像半閉原理。設(shè)E是一致凸Banach空間，K是E的非空有界閉凸子集。設(shè)T:K→E是完全連續(xù)的漸近非擴(kuò)張映像，漸進(jìn)系數(shù) { kn}?［1，∞)，且當(dāng)n→∞時(shí)kn→1，則I－T在0點(diǎn)半閉。

引理3［6］設(shè) E 是一致凸 Banach 空間，若

2 主要結(jié)果

引理4 設(shè)E是賦范線性空間，C是E的非空子集，T1，T2，…，TN:C→E是N個(gè)具有公共不動(dòng)點(diǎn)的漸進(jìn)非擴(kuò)張非自映像，{xn}是C中任意給定的一個(gè)點(diǎn)列，若，且，則

證明

定理2 設(shè)E是滿足Opial條件的一致凸Banach空間，B:E→C是非擴(kuò)張保核收縮映像，C是E的非空閉凸子集，又是E的非擴(kuò)張收縮核。T1，T2，…，TN:C→E是N個(gè)具有公共不動(dòng)點(diǎn)的漸近非擴(kuò)張映像，其公共漸近系數(shù) kn滿足。若式(2)中出現(xiàn)的序列{βni}?[b，c]?(0，1)，i=1，2，…，N，則由式(2)定義的具誤差的廣義N步非自映像迭代序列 { xn}弱收斂于 T1，T2，…，TN的某一公共不動(dòng)點(diǎn)x*∈C。

證明因非空，任取p∈F。首先，證明極限存在。由于是C中有界點(diǎn)列(i=1，2，…，N)且極限存在，令

有

由式(3)和序列(2)得

運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法，可得到

從而，有

然后，證明點(diǎn)列{xn}滿足引理5的條件。由式(4)和式(5)得

于是

又

再次由式(5)及式(7)(其中i=N－1)，根據(jù)引理3，得

利用數(shù)學(xué)歸納法，有

又由

即，點(diǎn)列{xn}滿足引理4的條件。根據(jù)引理4，有

由于E是一致凸Banach空間，因而E是自反的，C中有界點(diǎn)列{xn}必有子列{xnk}弱收斂于E中某個(gè)點(diǎn)x*。因?yàn)镃是E的閉凸子集，所以C弱閉，從而x*∈C。由式(9)N。根據(jù)引理2，(I－ T)x*=0，i=1，2，…，N，即，x*∈F。

最后，證明{xn}弱收斂于x*。若不然，由于E自反，存在{xn}的子列{xmk}弱收斂于C中異于x*的點(diǎn)y*，同樣根據(jù)引理 2得 y*∈F。又因?yàn)槿谓o p∈F，極限存在，特別地，和都存在。由于E滿足Opial條件，有

矛盾。因此，{xn}弱收斂于x*∈F。證畢

同文獻(xiàn)［1］可得到如下定理:

定理3 在定理2的條件下，若T1，T2，…，TN中至少有一個(gè)是半緊的，則由式(2)定義的具誤差的廣義N步非自映像迭代序列{xn}強(qiáng)收斂于T1，T2，…，TN在C中某一公共不動(dòng)點(diǎn)x*。

［1］向長(zhǎng)合.有限個(gè)漸近非擴(kuò)張映像公共不動(dòng)點(diǎn)的逼近［J］.重慶師范大學(xué)報(bào):自然科學(xué)版2007，24(1):7－10.

［2］Goebel K，Kirk W A.A fixed point theorem for asymptotically nonexpansive mappings［J］.Proc Amer Math Soc，1972(35):171－174.

［3］Tian Y X，Chang S S，Huang J L.On the apporximation problem of common fixed points for a finite family of non-self asympotptically quasi-nonexpansive-type mappings in Banach spaces［J］.computers ＆mathematics，2007(53):1847 －1853.

［4］Zhou Y Y，Chang S S.Convergence of implicit iterative process for a finite family of asymptotically nonexpansive mapppings in Banach spaces［J］.Numer Funct Anal and Optimiz，2002，23:911 －921.

［5］Chidume C E，Ofoedu E U，Zegeye H.Strong and weak convergence theorems for asymptotically nonexpansive mappings［J］.Math Anal Appl，2003，280:364 －374.

［6］Schu J.Weak and strong convergence to fixed points of asymptotically nonexpansive mappings［J］.Bull Austral Math Soc，1991，43:153 －159.