基于離散系統(tǒng)模型的系統(tǒng)辨識技術(shù)研究

楊峰輝,孔令哲

摘 要：系統(tǒng)傳遞函數(shù)是系統(tǒng)模型的數(shù)學形式，廣泛地應(yīng)用于自動控制領(lǐng)域。但由于通過數(shù)學建模的形式得到的系統(tǒng)傳遞函數(shù)多與實際情況不符，因此在多數(shù)工程中極少運用。通過已知輸入信號與輸出信號的采樣結(jié)果，利用矩陣運算與系統(tǒng)辨識技術(shù)，客觀地求出了系統(tǒng)真實的傳遞函數(shù)并利用Matlab仿真對其進行了驗證。經(jīng)過大量的實踐，該技術(shù)現(xiàn)已成功應(yīng)用于實際工程之中。

關(guān)鍵詞：系統(tǒng)辨識; 系統(tǒng)仿真; 數(shù)字模型; 矩陣運算

中圖分類號：TN911-34

文獻標識碼：A

文章編號：1004-373X(2011)09-0153-03

System Identification Technology Based on Discrete System Model

YANG Feng-hui,KONG Ling-zhe

(Northwest Institute of Electronic Equipment,CETC,Xian 710065,China)

Abstract： The system transfer function is the mathematical form of system model,which is widely used in the field of automatic control. However,the system transfer functions got by the form of the mathematical modeling are inconsistent with the actual situation in most cases,so they are rarely used in most projects. With the known input signal and output signal sampling results,the true transfer function of system is derived objectively by using matrix operations and system identification technology,and verified by means of Matlab simulation. It has been successfully applied to the practical engineering.

Keywords： system identification; system simulation; digital model; matrix operation

0 引 言

系統(tǒng)是一個內(nèi)涵十分豐富的概念，從廣義上來講，系統(tǒng)是指具有某些特定功能、相互聯(lián)系、相互作用的元素的集合。系統(tǒng)的數(shù)字模型則是用抽象的數(shù)學方程描述系統(tǒng)內(nèi)部物理變量之間的關(guān)系。通過對系統(tǒng)的數(shù)字模型的研究可以揭示系統(tǒng)的內(nèi)在運動和系統(tǒng)的動態(tài)性能。對于一些簡單的系統(tǒng)，可以通過基本定律如牛頓定律、基爾霍夫定律建立數(shù)字模型，這種建模方法通常稱之為“機理建模法”。而對于很多系統(tǒng)，由于系統(tǒng)的復雜性，難于寫出用數(shù)學表達式表示的數(shù)字模型，則必須利用實驗方法獲得實驗數(shù)據(jù)，通過系統(tǒng)辨識技術(shù)建立數(shù)字模型。因為數(shù)字模型是系統(tǒng)仿真的研究依據(jù)，所以數(shù)字模型的準確性是十分重要的，這是難點，也是重點。

凡是需要通過實驗數(shù)據(jù)確定數(shù)學模型和估計參數(shù)的場合都要利用辨識技術(shù)，辨識技術(shù)已經(jīng)推廣到工程和非工程的許多領(lǐng)域。適應(yīng)控制系統(tǒng)是辨識與控制相結(jié)合的一個范例，也是辨識在控制系統(tǒng)中的應(yīng)用。

1 理論基礎(chǔ)

數(shù)字模型的基本形式多為傳遞函數(shù)形式，所謂傳遞函數(shù)是基于拉氏變換引入的描述線性定常系統(tǒng)或線性元件的輸入-輸出關(guān)系的一種最常用的函數(shù)。傳遞函數(shù)全面反映線性定常系統(tǒng)或線性元件的內(nèi)在固有特性。

假設(shè)線性定常系統(tǒng)或元件在輸入信號x1(t)與輸出信號x2(t)間的內(nèi)在特性可用線性常系數(shù)微分方程表示，在信號x1(t)與x2(t)的初始條件為零的條件下，通過拉氏變換則有式(1)：

G(s)=X2(s)X1(s)=bms琺+bm－1s琺－1+…+b1s+b0ans琻+an－1s琻－1+…+a1s+a0

(1)

在初始條件為零時，線性定常系統(tǒng)或元件輸出信號的拉氏變換式X2(s)與其輸入信號的拉氏變換式X1(s)之比，稱為該系統(tǒng)或元件的傳遞函數(shù)。通常記為G(s)=X2(s)/X1(s)。

離散系統(tǒng)的廣泛應(yīng)用形式是以數(shù)字計算機，特別是以微型數(shù)字計算機為控制器的所謂數(shù)字控制系統(tǒng)。也就是說，數(shù)字控制系統(tǒng)是一種以數(shù)字計算機為控制器去控制具有連續(xù)工作狀態(tài)的被控對象的閉環(huán)控制系統(tǒng)。因此，數(shù)字控制系統(tǒng)包括工作于離散狀態(tài)下的數(shù)字計算機和工作于連續(xù)狀態(tài)下的被控對象兩大部分。數(shù)字控制系統(tǒng)的方框圖如圖1所示。

當然，在輸入與輸出之間，可以建立一個基于“特殊傅里葉變化”的傳遞函數(shù)來仿真此過程，這個傳遞函數(shù)就可以認為是“離散系統(tǒng)模型”。這里不妨設(shè)它為GF(z)，對于客觀存在的實際系統(tǒng)，此模型存在通式，通式為式(2)：

C(z)=GF(z)?R(z)

=b0+b1z－1+b2z－2+…+bnz－n1+a1z－1+a2z－2+…+anz－n

(2)

這就是“基于離散系統(tǒng)模型的系統(tǒng)辨識技術(shù)”的基礎(chǔ)模型。其中，GF(z)為“離散系統(tǒng)模型”，R(z)為輸入信號，C(z)為輸出采樣結(jié)果。

圖1 數(shù)字控制系統(tǒng)方框圖

2 理想系統(tǒng)驗證

以經(jīng)典模型為例，驗證此方法的可行性與準確度。數(shù)字控制系統(tǒng)方框圖如下圖2所示。

圖2 理想系統(tǒng)數(shù)字控制系統(tǒng)方框圖

通過z變換，根據(jù)開環(huán)傳遞函數(shù):

G(s)=1－e－T0ss?ks(s+a)

(3)

求取開環(huán)脈沖傳遞函數(shù):

G(z)=z［G(s)］=(1－z－1)?z1s?ks(s+a)

(4)

轉(zhuǎn)化后有:

G(z)=k［(aT0-1+e-aT0)z+(1-e-aT0-aTe-aT0)］a2(z-1)(z-e-aT0)

(5)

當R(z)為單位階躍信號，參數(shù)a，k與T0取1時，可算得式(6),式(7):

C(z)R(z)=0.368z+0.264z2－z+0.632

(6)

C(z)=0.368z2+0.264zz3－2z2+1.632z－0.632

(7)

由此可知，對于單位階躍信號R(z)，通過此系統(tǒng)后的采樣輸出為C(z)。

現(xiàn)在，僅依靠單位輸入信號R(z)與采樣輸出信號C(z)，應(yīng)用“基于離散系統(tǒng)模型的系統(tǒng)辨識技術(shù)”方法，利用已有的程序，通過參數(shù)估計，不難求得:

C(z)=0.368 0z2+0.260 0zz3－2.000 2z2+1.632 1z－0.631 9

(8)

與原始模型高度吻合，在工業(yè)控制與仿真中可以應(yīng)用。因此，此方法在理論上是可行的，且精準度較高。

3 實際工程應(yīng)用

此思想經(jīng)過系統(tǒng)仿真和詳細計算，取得了較為完整的數(shù)據(jù)，并將它應(yīng)用到某系列天線伺服系統(tǒng)中，實際控制分析結(jié)果和預期十分吻合，現(xiàn)將設(shè)計過程介紹如下。

3.1 結(jié)構(gòu)分析

要研究面向?qū)ο罂刂疲纫獙ο篌w有較為完整的認識，針對某型號單電機伺服天線，簡化的數(shù)字控制系統(tǒng)基本模型如圖3所示。

圖3 簡化的數(shù)字控制系統(tǒng)基本模型

若將“ACU”部分看為一個整體，設(shè)傳遞函數(shù)為G1(s)；設(shè)“保持器”部分傳遞函數(shù)為GH(s)；“PDU”視為反饋環(huán)節(jié)，設(shè)傳遞函數(shù)為H(s)；“ADU”、“伺服電機”和“被控對象”與“電流環(huán)路”、“速度環(huán)路”歸為一體，設(shè)傳遞函數(shù)為G0(s)。則系統(tǒng)方框圖可簡化為圖4。

圖4 二次簡化數(shù)字控制系統(tǒng)基本模型

實際上，觀測到的并非是真實的天線位置C，而是通過軸角編碼器處理過顯示在ACU上的的數(shù)字信號C0。因此，從某種意義上講，真實的控制對象并非是天線，而是軸角編碼器上報給ACU的數(shù)字信號。當然，前期的測量與校驗工作充分證實了在誤差容許的范圍之內(nèi)，C與C0在空間范圍內(nèi)等同，即，控制軸角編碼器的數(shù)字信號等同于控制天線的空間姿態(tài)。因此，在測試中可以將系統(tǒng)理想化為單位負反饋系統(tǒng)，也就是認為PDU的傳遞函數(shù)H(s)為常量1。同時，為了方便測試，不給系統(tǒng)環(huán)路帶來更多的微分、積分與慣性環(huán)節(jié)，在測算過程中，人為地將G1(s)作成單純的比例調(diào)節(jié)器K。而由于z變換的需要，GH(s)與G0(s)在變換中將歸為一體，設(shè)變換后的傳遞函數(shù)為G(z)，系統(tǒng)方框圖可進一步簡化，如圖5所示。

這樣簡化的優(yōu)點是使復雜的系統(tǒng)具有了簡單明了的傳遞結(jié)構(gòu)，但同時，非線性因素介入其中，為后期的參數(shù)估計帶來不便。

圖5 最終簡化數(shù)字控制系統(tǒng)基本模型

3.2 采樣

由于“基于離散系統(tǒng)模型的系統(tǒng)辨識技術(shù)”對數(shù)據(jù)的依賴性極高，因此，采樣過程相對比較規(guī)范。

首先，要定性采樣，即要保證被測模型間關(guān)系相對穩(wěn)定。以方位采樣為例：在對方位采樣時，起始轉(zhuǎn)角、轉(zhuǎn)向、天線狀態(tài)(如俯仰角度，使能狀態(tài))等要基本相同。

其次，要定量采樣，即通過改變比例系數(shù)K完成多狀態(tài)采集。采樣內(nèi)容要覆蓋面廣，必須包括欠阻尼、過阻尼過程。如天線條件允許，甚至可以包括振蕩過程(或阻尼系數(shù)ζ較小的)。豐富的采樣數(shù)據(jù)可以展現(xiàn)出模型的各個性能，揭示非線性狀態(tài)，這樣有利于模型的建立。

最后，要符合概率統(tǒng)計的基礎(chǔ)原理，即針對同一狀態(tài)對此采樣。因為采樣過程本身就是一個概率事件，大量的數(shù)據(jù)有利于揭示數(shù)據(jù)本質(zhì)。

3.3 數(shù)據(jù)處理

面對大量數(shù)據(jù)，要歸一化處理。以順時針轉(zhuǎn)動，比例系數(shù)為0.3，2倍單位階躍觸發(fā)信號采樣數(shù)據(jù)結(jié)果為例。歸一化處理后如圖6所示。

圖6 數(shù)據(jù)歸一化圖

由此可見，各曲線基本吻合，趨勢一致，這可以說明數(shù)據(jù)較為客觀真實且天線線性度較好，可以用于系統(tǒng)辨識。

3.4 系統(tǒng)辨識

基于離散系統(tǒng)模型的系統(tǒng)辨識技術(shù)利用已有的程序，通過參數(shù)估計，可以求得式(9):

G(z)=0.020 8z2+0.349 8z(z3－1.271 2z2+0.365 1z－0.091 9)(z－1)

(9)

3.5 綜合處理

由于非線性因素的存在，還需將各組數(shù)據(jù)統(tǒng)一處理后需匯總統(tǒng)算，以求出最大的模型。

經(jīng)反復試驗后可求出開環(huán)傳遞函數(shù)G(z)，形式為式(10):

G(z)=0.033 0z+0.569 7z3－1.271 2z2+0.365 1z－0.091 9

(10)

此傳遞函式廣泛使用于采得的各組數(shù)據(jù)，且吻合度較高。分別以比例系數(shù)為0.5，0.3，0.15三組數(shù)據(jù)為例。仿真結(jié)果對照圖如圖7所示。

圖7 仿真對照圖

圖7中黑色線為仿真結(jié)果，淺灰線為采樣結(jié)果。

模型客觀地展示了對象的主要特征。同時對比曲線，可清晰地看到非線性所帶來的偏差。

4 結(jié) 語

模型優(yōu)于實體，因為模型能夠更深刻地反映實際系統(tǒng)的主要特征和運動規(guī)律，它是對實際系統(tǒng)更高層次的抽象，本身就是對實體認識的結(jié)果。

就模型本身而言，其主要特征是被控對象主體機能的體現(xiàn)(如轉(zhuǎn)動慣量、電磁特性等)，因此它能為研究被控對象的特性提供依據(jù)(如幅頻特性、相頻特性、帶寬、截止頻率等)。同時，在調(diào)節(jié)控制方面，可依托模型實現(xiàn)仿真，完成最優(yōu)PID調(diào)節(jié)甚至是最優(yōu)信號控制。

當然，非線性始終是理論模型的難題。但鑒于此方法是“基于離散系統(tǒng)模型的系統(tǒng)辨識技術(shù)”，滯后環(huán)節(jié)是可以通過運算式辨析于傳遞函數(shù)的。而如死區(qū)、遲滯等環(huán)節(jié)，因為它們同樣通過采樣數(shù)據(jù)作用于原始模型中，因而在系統(tǒng)辨識過程中，它們就顯現(xiàn)出來了。雖然在綜合處理中將其忽略，但在深度研究中也可以此為依據(jù)展開分析。

絕對的非線性是不存在的，可以利用分段函數(shù)或高階傳遞函數(shù)逼近非線性環(huán)節(jié)，甚至可以利用函數(shù)來完成非線性環(huán)節(jié)的仿真。通過使用Matlab下Simulink非線性環(huán)節(jié)模塊，結(jié)合現(xiàn)行模型，定能獲得更逼真的仿真模型。

系統(tǒng)辨識是一門技術(shù)，也是一門藝術(shù)。除了控制理論基礎(chǔ)與數(shù)學能力外還需要積累豐富的經(jīng)驗。只有在進一步辯證的研究過程中才能完善此方法。

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注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文