汽車玻璃曲面展開系統(tǒng)研究與開發(fā)

沙智華，陳翠翠，張生芳

(大連交通大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，遼寧 大連 116028)

0 引言

為了滿足空氣動(dòng)力學(xué)、光學(xué)失真、汽車整體造型美觀、白車身型面限制等要求［1-2］，汽車前、后擋風(fēng)玻璃一般都設(shè)計(jì)為雙曲A級(jí)曲面，且整個(gè)曲面常由幾個(gè)分曲面復(fù)合而成.從加工工藝的角度出發(fā)，必須以曲面的設(shè)計(jì)模型為依據(jù)利用復(fù)雜曲面展開技術(shù)求取展開毛坯模型.一般CAD軟件，例如CATIA，都具有簡(jiǎn)單的復(fù)雜曲面展開功能，但對(duì)于設(shè)計(jì)復(fù)雜且曲面質(zhì)量要求嚴(yán)格的不可展曲面常出現(xiàn)展開運(yùn)算無(wú)法進(jìn)行的問題，而不能實(shí)現(xiàn)復(fù)雜曲面的展開.因此，汽車玻璃曲面展開技術(shù)是其制造中的一個(gè)難點(diǎn).基于汽車玻璃曲面幾何特點(diǎn)，本文提出曲線映射復(fù)雜曲面展開法，并開發(fā)了汽車玻璃曲面展開系統(tǒng)，實(shí)現(xiàn)了曲面高精度展開和汽車玻璃毛坯模型的自動(dòng)生成.

1 汽車玻璃曲面展開系統(tǒng)總體設(shè)計(jì)

1.1 曲線映射展開法原理

本文以某車型汽車前擋風(fēng)玻璃曲面為例，對(duì)其進(jìn)行曲率分析如圖1所示:曲面曲率分析1是整個(gè)曲面曲率的色標(biāo)顯示結(jié)果，箭狀曲率分析1是橫向主截面A-A和縱向中心截面B-B箭狀曲率分布，箭狀曲率分析3是曲面邊界的曲率分析圖.可以看出:汽車玻璃曲面是一種雙曲分布、曲率均勻變化、沿縱向中心截面對(duì)稱分布、拐角處曲率較大的A級(jí)復(fù)合式曲面.

圖1 汽車玻璃曲面模型及其曲率分析

目前存在的復(fù)雜曲面展開方法主要有幾何展開法、力學(xué)/能量展開法［3-7］兩類，這些方法的核心思想都是圍繞解決一個(gè)或多個(gè)幾何變量組合的變形最小化或變形能平衡問題展開的［4］，研究思路可總結(jié)為:首先對(duì)曲面進(jìn)行三角網(wǎng)格劃分，基于一定的展開原則和策略對(duì)曲面進(jìn)行幾何法初始展開，再針對(duì)展開中出現(xiàn)的疊片、裂紋、翻轉(zhuǎn)和變形等進(jìn)行力學(xué)/能量法調(diào)整、優(yōu)化.但這些方法存在計(jì)算量大、算法效率低、處理過(guò)程復(fù)雜等問題，且在展開過(guò)程中會(huì)產(chǎn)生二次誤差［8］.

針對(duì)這些方法的不足和汽車玻璃曲面的特點(diǎn)，本文提出了曲線映射復(fù)雜曲面展開法.其基本思想是離散化，即將無(wú)法精確求解的連續(xù)物體離散為有限單元體，用離散單元體的解近似代替連續(xù)物體求解來(lái)解決實(shí)際問題.基于這種思想，曲線映射法的原理為:假設(shè)曲面材料為各向同性，首先將復(fù)雜曲面離散成有限的曲線單元體，這樣復(fù)雜曲面展開問題就轉(zhuǎn)化為曲面上的曲線展開成直線的問題;然后為保持曲面展開前后面積不變，將曲面上的曲線按照弧長(zhǎng)不變的原則和角度對(duì)應(yīng)關(guān)系映射到平面上，得到曲線在平面上展開的映射點(diǎn);最后用光滑的曲線連接這些映射點(diǎn)就得到了曲面展開輪廓.

這種曲線映射展開法采用曲線代替曲面，減少了傳統(tǒng)的用三角網(wǎng)格代替曲面而造成的曲面展開累積誤差，提高了展開精度;同時(shí)，展開對(duì)象從曲面轉(zhuǎn)化為曲線，簡(jiǎn)化了處理過(guò)程，避免了傳統(tǒng)展開方法出現(xiàn)的裂紋、翻轉(zhuǎn)、變形等情況，使系統(tǒng)易于實(shí)現(xiàn).

1.2 汽車玻璃曲面展開系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)流程

基于上述曲線映射展開法原理，本文以Visual C++為平臺(tái)，采用OpenGL圖形處理接口開發(fā)了汽車玻璃曲面展開系統(tǒng)，該系統(tǒng)開發(fā)流程如圖2所示.

首先，讀取曲面點(diǎn)集坐標(biāo)值信息，用雙三次準(zhǔn)均勻有理B樣條曲面對(duì)汽車玻璃進(jìn)行建模及曲面重構(gòu);然后，設(shè)置曲面展開精度參數(shù)，繪制與曲面相交的平面族，利用曲面求交獲得曲面上的曲線并計(jì)算曲線弧長(zhǎng);接著，以弧長(zhǎng)不變的原則將曲面上的曲線按照角度對(duì)應(yīng)關(guān)系映射到平面上，得到曲線在平面上展開的映射點(diǎn)，用B樣條曲線插值法連接這些映射點(diǎn)就得到曲面展開輪廓;最后，檢驗(yàn)展開結(jié)果是否滿足系統(tǒng)的精度要求，如果是則輸出曲面展開結(jié)果，否則返回到設(shè)置曲面展開精度參數(shù)步驟，重新進(jìn)行曲面展開.

由曲面展開流程可以看出，曲面展開系統(tǒng)主要由讀取點(diǎn)集信息、曲面建模與重構(gòu)、獲取曲面上的曲線、曲線映射展開等四部分組成，下面分別對(duì)其關(guān)鍵技術(shù)做進(jìn)一步介紹.

圖2 汽車玻璃曲面展開系統(tǒng)流程圖

2 曲面建模與重構(gòu)

通常，汽車玻璃曲面模型是利用軟件通過(guò)復(fù)雜的調(diào)面過(guò)程得到的，沒有具體的數(shù)學(xué)描述模型，而建立曲面數(shù)學(xué)模型與曲面幾何模型重構(gòu)是汽車玻璃曲面展開系統(tǒng)的基礎(chǔ).因此，本文首先獲取汽車玻璃曲面點(diǎn)集(型值點(diǎn))信息，然后對(duì)曲面進(jìn)行建模與重構(gòu)，建立曲面展開系統(tǒng)研究對(duì)象.

2.1 采集曲面點(diǎn)集

為保證曲面模型不失真，要求采集的曲面點(diǎn)集盡量均勻、密集、有序且必須包含邊界點(diǎn).

本文采集曲面點(diǎn)集的方法為:首先，將曲面劃分為上側(cè)邊界、曲面主體、下側(cè)邊界三個(gè)區(qū)域;接著，過(guò)曲面縱向中心截面的中間控制點(diǎn)作曲面的切面，有順序地建立與此切面互相垂直、保持等距間隔的交叉平面族;然后，將這些平面族分別與曲面上側(cè)邊界、曲面主體、曲面下側(cè)邊界求交，即可得到具有一定規(guī)律的有序交點(diǎn)集;最后，分區(qū)選擇曲面交點(diǎn)集，測(cè)量這些交點(diǎn)的三維坐標(biāo)值，并按順序保存在文本文檔中.

利用這種方法，本文應(yīng)用 Visual Basic對(duì)CATIA進(jìn)行自動(dòng)化對(duì)象編程實(shí)現(xiàn)曲面模型點(diǎn)集信息的采集.基于汽車玻璃曲面的對(duì)稱性，取曲面一半作為系統(tǒng)研究對(duì)象，當(dāng)平面族間隔距離為40mm時(shí)，取得19×16型值點(diǎn)，如圖3所示.

圖3 采集的曲面點(diǎn)集

2.2 曲面建模

汽車玻璃曲面是由自由型曲線、曲面構(gòu)成的復(fù)雜空間曲面，而B樣條方法能夠精確表示和設(shè)計(jì)自由型曲線、曲面.基于這一點(diǎn)，根據(jù)汽車玻璃曲面幾何特點(diǎn)及采集的曲面點(diǎn)集信息，本文確定采用雙三次準(zhǔn)均勻有理B樣條曲面對(duì)汽車玻璃曲面進(jìn)行描述.其數(shù)學(xué)模型為:

式中，p(u，v)為張量積B樣條曲面;Di，j(i=0，1，…，mm －1;j=0，1，…，nn－1)為曲面控制頂點(diǎn);Ni，k(u)和Nj，l(v)分別為沿u向的k次和沿v向的l次 B樣條基函數(shù)并由節(jié)點(diǎn)矢量 U(u0，u1，…，um+k+1)和 V(v0，v1，…，vn+l+1)按德布爾-考克斯公式?jīng)Q定.

由式(1)可以看出:B樣條曲面模型是由曲面控制頂點(diǎn)和節(jié)點(diǎn)矢量決定的，而不是曲面型值點(diǎn).本文通過(guò)采集曲面點(diǎn)集獲得曲面型值點(diǎn)，利用這些型值點(diǎn)來(lái)計(jì)算控制頂點(diǎn)及節(jié)點(diǎn)矢量，從而得到B樣條曲面模型，這個(gè)過(guò)程稱為B樣條曲面反算，其中型值點(diǎn)個(gè)數(shù)m×n與控制頂點(diǎn)個(gè)數(shù)mm×nn的關(guān)系為mm=m+k－1，nn=n+l－1;B樣條曲面節(jié)點(diǎn)矢量采用規(guī)范累積弦長(zhǎng)參數(shù)化方法計(jì)算可得.

對(duì)于本文汽車玻璃B樣條曲面模型:m=19，n=16，k=l=3 ，曲面控制頂點(diǎn)可由19×16型值點(diǎn)反算求得，節(jié)點(diǎn)矢量計(jì)算可得

將控制頂點(diǎn)及節(jié)點(diǎn)矢量代入式(1)即可得到曲面數(shù)學(xué)模型.

基于汽車玻璃B樣條曲面數(shù)學(xué)模型及Open-GL二維求值器機(jī)理，利用B樣條曲面繪制函數(shù)實(shí)現(xiàn)汽車玻璃重構(gòu)曲面在系統(tǒng)窗口的顯示.同時(shí)，為方便系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)，過(guò)曲面縱向中心截面的中間控制點(diǎn)(Ox，Oy，Oz)建立用戶坐標(biāo)系，其中XOY面是曲面的切面.如圖4所示曲面重構(gòu)結(jié)果及用戶坐標(biāo)系.

圖4 B樣條重構(gòu)曲面、控制頂點(diǎn)及控制網(wǎng)格

3 獲取曲面上的曲線——曲面求交

獲取曲面上的曲線是曲線映射展開法及汽車玻璃曲面展開系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)的關(guān)鍵.本文中曲面上的曲線通過(guò)曲面與平面求交的方法獲得，其步驟為:首先構(gòu)建與曲面相交的平面族;然后曲面與平面求交，獲得曲面上的曲線;最后計(jì)算曲線弧長(zhǎng).

3.1 構(gòu)建與曲面相交的平面族

本文以曲面縱向中心截面的中間控制點(diǎn)為展開基點(diǎn)，這樣可以有效的抵消曲面對(duì)稱方向的累積誤差，提高了展開精度.過(guò)展開基點(diǎn)建立與XOY面垂直、呈等角α輻射狀分布的平面族，平面的數(shù)量為t，則有(t－1)·α =180°.通過(guò)這些平面與曲面求交獲得的曲線也是過(guò)展開基點(diǎn)呈等角輻射分布狀，從而避免了網(wǎng)狀曲線雙向延展的問題，使系統(tǒng)處理過(guò)程更加簡(jiǎn)潔.

在系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)過(guò)程中，這些呈輻射分布的平面族是利用過(guò)空間任一旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)矩陣T實(shí)現(xiàn)的.

3.2 曲面求交及弧長(zhǎng)計(jì)算

曲面參數(shù)方程為式(1)，平面族代數(shù)方程采用點(diǎn)法式表示為:

將式(1)、式(2)聯(lián)立得曲面與平面的交線方程為:

式(3)是一個(gè)以u(píng)和v為變量的二元非線性方程.理論上，可令其中一個(gè)變量u以定步長(zhǎng)變化，而后求解一元高次非線性方程組，進(jìn)而得到交點(diǎn)(px(u，v)，py(u，v)，pz(u，v))，但實(shí)際上交線方程次數(shù)非常高、難以計(jì)算.本文采用改進(jìn)的數(shù)值搜索法進(jìn)行曲面求交，避免一元高次方程的求解，其方法為:令變量u和分別以定步長(zhǎng)δ1、δ2進(jìn)行搜索，(px(u，v)，py(u，v)，pz(u，v))為曲面上的精確點(diǎn)，若此點(diǎn)到曲面的距離小于或等于ε即滿足式(4)則此點(diǎn)即為交線上的點(diǎn)，ε為交點(diǎn)逼近曲面的誤差準(zhǔn)則，根據(jù)交點(diǎn)間的關(guān)系將多個(gè)交點(diǎn)連接起來(lái)就得到了交線即曲面上的曲線.曲線弧長(zhǎng)利用交點(diǎn)線段距離累加得到.曲面求交及弧長(zhǎng)計(jì)算的精度是由誤差準(zhǔn)則ε和參數(shù)u、v的搜索步長(zhǎng)δ1、δ2來(lái)保障的.

在系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)過(guò)程中，主要采用兩種方法來(lái)優(yōu)化程序:其一是對(duì)不同轉(zhuǎn)角范圍內(nèi)的交線采用分別處理法，假設(shè)轉(zhuǎn)角為 β，當(dāng) β =0°時(shí)，v=0，u從0遞增到0.5;當(dāng)0°＜ β＜90°時(shí)，u從0遞增到0.5，v從1遞減到0;β =90°時(shí)，u=0，v從1遞減到0;90°＜ β＜ 180°時(shí)，u從1遞減到0.5，v從1遞減到0;β =180°時(shí)，v=0，u從1遞減到0.5.其二是利用平面斜率的特點(diǎn)，以0°＜β＜90°為例進(jìn)行說(shuō)明，若u=ui、v=vj時(shí)獲得一個(gè)交點(diǎn)，那么下個(gè)交點(diǎn)的搜索起始位置為u=ui+δ1、v=vj，而不是v=1.這兩種處理方法大大減少了程序中不必要的循環(huán)和計(jì)算，同時(shí)又能避免在相同v、不同的u下取得重復(fù)交點(diǎn)的問題，提高了交線計(jì)算的準(zhǔn)確性.

當(dāng) α =6°，ε =0.02mm，δ1= δ2=0.05mm時(shí)，得到曲面上的曲線結(jié)果如圖5所示.

圖5 曲面上的曲線

4 曲線映射展開

獲得曲線弧長(zhǎng)之后，曲線就要按照弧長(zhǎng)不變的原則和角度對(duì)應(yīng)關(guān)系映射到平面上.映射平面為XOY面.由于求交平面是呈等角a輻射分布的，根據(jù)角度對(duì)應(yīng)關(guān)系，曲線在平面上的展開直線也是等角分布.因此第i條曲線映射到平面的過(guò)稱為:

輸入:展開直線斜率ki=tan(i·α)，展開直線起點(diǎn)都為展開基點(diǎn)(Ox，Oy，Oz)，直線長(zhǎng)度 l=L弧長(zhǎng).

映射關(guān)系:求解方程組

輸出:展開直線端點(diǎn)(xi，yi，Oz)即為曲線在平面上的映射點(diǎn).

最后，將展開曲線的端點(diǎn)利用三次B樣條曲線進(jìn)行插值，即可得到汽車玻璃曲面展開平面的輪廓，如圖6所示.

圖6 汽車玻璃曲面展開輪廓圖

5 結(jié)論

本文提出了曲線映射展開法，此方法展開精度高且易于實(shí)現(xiàn)，可適用于非封閉、小曲率、不可分割曲面的展開.汽車玻璃曲面正符合這種曲面幾何特點(diǎn)，基于曲線映射展開法，本文開發(fā)了汽車玻璃曲面展開系統(tǒng)，并對(duì)該系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)的關(guān)鍵技術(shù)進(jìn)行了研究.展開實(shí)例表明，該系統(tǒng)可實(shí)現(xiàn)汽車玻璃毛坯的自動(dòng)生成，對(duì)縮短新型汽車玻璃制造周期、降低生產(chǎn)成本能起到積極的推動(dòng)作用.

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